新高考数学一轮复习题型归纳与强化测试专题63 离散型随机变量及其分布列和数字特征（2份，原卷版+解析版）

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【考纲要求】
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
【考点预测】
1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
4.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \a\vs4\al(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－E（X））2pi)为随机变量X的方差，并称eq \r(D（X）)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
5.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
【常用结论】
随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量.
【方法技巧】
1.分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
2.离散型随机变量分布列的求解步骤
3.求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值.
(2)求ξ取每个值的概率.
(3)写出ξ的分布列.
(4)由均值的定义求E(ξ).
(5)由方差的定义求D(ξ).
二、【题型归类】
【题型一】离散型随机变量
【典例1】（2021·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考三模）下面说法错误的是（ ）
A．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的；
B．利用频率分布直方图计算的样本数字特征是样本数字特征的估计值；
C．两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
D．在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体被抽取的可能性越大．
【解析】【答案】D
【分析】直接利用离散型随机变量的分布，频率分布直方图，线性相关的应用，分层抽样中的个体与抽取的可能性的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，离散型随机变量的各个可能值表示的事件时彼此互斥的不会同时发生，所以A正确；
对于B中，利用频率分布直方图计算的一般数字特征是样本数字特征的估计值，所以B正确；
对于C中，两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近与1，所以C正确；
对于D中，在分层抽样的过程中，哪一层的样本即便越多，该层中个体被抽到的可能性也是相同的，所以D不正确.
故选：D.
【典例2】（多选）（2023·全国·校联考模拟预测）麦克斯韦妖（Maxwell＇s demn），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且（，2，…n），定义X的信息熵，则下列说法正确的有（ ）
A．n=1时
B．n=2时，若，则与正相关
C．若，，
D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且（j=1,2,…,m）则
【解析】【答案】ABD
【分析】求出判断出A；分析对于的单调性判断B；利用数列求和求出判断C；计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断D作答.
【详解】对于A，若，则，因此，A正确；
对于B，当n=2时，，，
令，则，
即函数在上单调递增，所以与正相关，B正确；
对于C，，，则，
，而，
于是
，令，
则，两式相减得
，因此，，C错误；
对于D，若，随机变量的所有可能的取值为，且（），
，
，
由于，即有，则，
因此，所以，即成立，D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
【典例3】（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）在财务审计中， 我们可以用 “本・福特定律” 来检验数据是否造假. 本・福特定律指出， 在一组没有人为编造的自然生成的数据 (均为正实数) 中， 首位非零的数字是这九个事件不是等可能的. 具体来说， 随机变量是一组没有人为编造的首位非零数字， 则 . 则根据本 • 福特定律， 首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为 (保留至整数).
【解析】【答案】6
【分析】根据题意结合对数运算求解.
【详解】由题意可得：．
故答案为：6.
【题型二】离散型随机变量的分布列
【典例1】（2023·广东·统考二模）多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.
(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；
(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.
【解析】【答案】(1)分布列见解析，
(2).
【分析】（1）根据超几何分布求出的概率，列出分布列，求出数学期望即可；
（2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装.求出，结合条件概率和计算即可求解.
【详解】（1）设抽到红球的个数为X，则X的取值可能为4，3，2，
，，，
所以X的分布列为：
故.
（2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装.
因为穿红色衣物的概率为，
则穿蓝色衣物的概率为，
穿红色连衣裙的概率为，穿蓝色连衣裙的概率为，
则当天穿连衣裙的概率为.
所以小李同学当天穿连衣裙的概率为.
【典例2】（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）为指导高一新生积极参加体育锻炼，某高中在新生中随机抽取了400名学生，利用一周时间对他们的各项运动指标（高中年龄段指标）进行考查，得到综合指标评分．综合指标评分结果分为两类：60分及以上为运动达标，60分以下为运动不达标．统计结果如下：
(1)完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“运动达不达标与性别有关”；
(2)现从运动不达标的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选4人进行运动示范指导，设抽取的4人中女生的人数为，当时，取得最大值，求的值．
参考公式：．
参考数据：
【解析】【答案】(1)填表见解析；能在犯错误的概率不超过0.001的䍨提下认为“运动达不达标与性别有关”
(2)
【分析】（1）根据已知可完成列联表，计算出的值并与参考数据比较可得答案；
（2）女生人数求出与之对应概率可得答案.
【详解】（1）列联表为
因为，
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“运动达不达标与性别有关”；
（2）由（1）知，运动不达标的男生、女生人数分别足60，80，按照分层抽样共抽取7人，
则男生、女生分别抽取3人、4人，从这7人中任选4人，则女生人数，
则，
，
所以的最大值为，即．
【典例3】（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议.
(1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望.
(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了名代表，卫生监督管理部门邀请了名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.（备注:最大似然估计即最大概率估计，即当P（X=k）取值最大时，X的估计值为k）
【解析】【答案】(1)分布列见解析，3.2
(2)详见解析.
【分析】(1)根据离散型随机变量的概率公式计算得分布列及期望；
(2)设收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B，人数，，设参加会议的群众代表的人数为Y，则由离散型随机变量的概率公式可得，
设，
由组合数公式计算得，
分类讨论是否为整数即可得出结果.
【详解】（1）X的可能取值为2，3，4，则，
，，
则X的分布列为
（2）设食品药品监督管理部门邀请的代表记为集合A，人数为，卫生监督管理部门邀请的代表为集合B，人数为，则收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B.人数为Card（A∪B）.
设参加会议的群众代表的人数为Y，则.
若，则，
则，
，
，
令，得，解得，
以代替k，得，
令，得，解得，
所以，
若为整数，则当
或时，取得最大值，
所以估计参加会议的群众代表的人数为或，
若不是整数，则当时，
取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为，
其中，表示不超过的最大整数.
【点睛】思路点睛：第二问设收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B，人数，，设参加会议的群众代表的人数为Y，则由离散型随机变量的概率公式可得，
设，
由组合数公式化简计算得，
关键在于分类讨论是否为整数即可得出结果.
【题型三】离散型随机变量的均值
【典例1】（2023·广东·统考二模）多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.
(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；
(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.
【解析】【答案】(1)分布列见解析，
(2).
【分析】（1）根据超几何分布求出的概率，列出分布列，求出数学期望即可；
（2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装.求出，结合条件概率和计算即可求解.
【详解】（1）设抽到红球的个数为X，则X的取值可能为4，3，2，
，，，
所以X的分布列为：
故.
（2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装.
因为穿红色衣物的概率为，
则穿蓝色衣物的概率为，
穿红色连衣裙的概率为，穿蓝色连衣裙的概率为，
则当天穿连衣裙的概率为.
所以小李同学当天穿连衣裙的概率为.
【典例2】（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）年，基站正式获得国家工信部人网批准，自此，中国进入“时代”.相比于、具有“更高网速、低延时高可靠、低功率海量连接”的特点，目前这一技术被广泛应用于工业、能源、教育等多个领域.某运营商为了解网络使用满意度，从运营系统中选出名客户进行调查，其中，青年（岁）客户与中老年（岁）客户的比例为，在名持满意态度的客户中，中老年客户的比例为.
(1)完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为对网络的满意度和年龄有关联？
(2)为更好地推广网络，运营商计划开展抽奖活动，规则如下：参与者从装有个红球，个白球（形状，大小，质地完全相同）的箱子中随机摸一个球，摸出后放回，摸到红球奖励元充值券，摸到白球奖励元充值券.若计划有名客户参与抽奖，求运营商需提供充值券总金额的数学期望.
附：，.
【解析】【答案】(1)列联表答案见解析，认为对网络的满意度和年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于
(2)元
【分析】（1）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）设为名客户中摸出红球的人数，则，利用二项分布的期望公式可求出，由题意可得出，利用期望的性质可求得的值.
【详解】（1）解：由题意可得，青年共有人，中老年有人，
持满意态度的中老年有人，青年有人，
持不满意态度的中老年有人，青年有人，得列联表如下：
零假设为对网络的满意度和年龄无关联.
由列联表得，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为对网络的满意度和年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.
（2）解：每名客户摸出红球的概率为，
设为名客户中摸出红球的人数，则，所以，
又，所以，
故运营商需提供充值券总金额的数学期望为元.
【典例3】（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）某企业引进一条先进的生产线，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为，其质量指标等级划分如下表：
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图：

(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，求“抽出的产品中恰有1件一等品”的概率；
(2)若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取14件产品，再从这14件产品中任取3件产品，求一等品的件数的分布列及数学期望；
(3)若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表（）：
试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大．
【解析】【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图，求得1件产品为一等品的概率为，进而求得其概率；
（2）由频率分布直方图，结合分层抽样抽取的件产品中，二等品有件，一等品有件，得到随机变量的所有可能取值，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解；
（3）由频率分布直方图，得到该产品的质量指标值与利润（元）的关系，求得每件产品的平均利润，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：记“抽出的产品中恰有1件一等品”为事件，
由频率分布直方图可得，1件产品为一等品的概率为，
则抽出的产品中恰有1件一等品的概率为.
（2）解：由频率分布直方图可知，质量指标值的产品中，
可得的频率为，的频率为，
利用分层抽样抽取的件产品中，二等品有件，一等品有件，
所以随机变量的所有可能取值为，
可得，，
，，
所以随机变量的分布列为
所以.
（3）解：由频率分布直方图可得，该产品的质量指标值与利润（元）的关系如下表所示（）
故每件产品的平均利润：
，
所以当时，，
即当时，每件产品的平均利润达到最大．
【题型四】常用分布列的均值
【典例1】（2020·浙江杭州·浙江省杭州第二中学校考模拟预测）已知甲盒子中有1个黑球，1个白球和2个红球，乙盒子中有1个黑球，1个白球和3个红球，现在从甲乙两个盒子中各取1个球，分别记取出的红球的个数为，则有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【解析】【答案】C
【分析】题中事件服从两点分布，分别计算出成功概率，再由两点分布均值与方差计算公式计算并比较大小即可.
【详解】由题可知，两个盒子取出红球的服从两点分布，且,
则，即，
且,，即.
故选：C
【点睛】本题考查求两点分布事件的均值与方差，属于基础题.
【典例2】（2023·四川绵阳·统考二模）下列关于随机变量X的四种说法中，正确的编号是（ ）
①若X服从二项分布，则；
②若从3男2女共5名学生干部中随机选取3名学生干部，记选出女学生干部的人数为X，则X服从超几何分布，且；
③若X的方差为，则；
④已知，，则．
A．②③B．①③C．①②D．①④
【解析】【答案】C
【分析】根据二项分布的期望公式判断①；求出超几何分布的期望判断②；根据方差的性质判断③；根据条件概率公式判断④.
【详解】若X服从二项分布，则，①正确；
选出女学生干部的人数为X的值为，且服从超几何分布，
所以，②正确；
若X的方差为，则，③错误；
因为，，所以，④错误.
故选：C.
【典例3】（2023·贵州黔东南·统考一模）已知贵州某果园中刺梨单果的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数的期望为（ ）
A．20B．60C．40D．80
【解析】【答案】B
【分析】由正态分布对称性及已知得，又质量在的单果的个数，应用二项分布的期望公式求期望.
【详解】因为(单位)服从正态分布，且，
所以，
若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，
则质量在的单果的个数，
所以.
故选：B
【题型五】离散型随机变量的方差
【典例1】（2023·重庆·统考模拟预测）某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”.

(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？
使用直播销售情况与年龄列联表
(2)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：
方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不是不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，；
方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.
针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.
参考数据：独立性检验临界值表
其中，．
【解析】【答案】(1)列联表见解析，能
(2)从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一，理由见解析
【分析】（1）由题意填写列联表，计算，对照附表得出结论．
（2）计算方案一、方案二的期望与方差，比较即可得出结论．
【详解】（1）由图2知，样本中经常使用直播销售的用户有人，
其中年轻人有人，非年轻人人，
由图1知，样本中的年轻人有人，
不常使用直播销售的用户有人，其中年轻人有人，非年轻人人，
补充完整的列联表如下，
计算，
依据小概率值的独立性检验，能认为经常使用网络直播销售与年龄有关．
（2）方案一：设获利万元，则的所有可能取值为，
，
，
方案二：设获利万元，则的所有可能取值为，
，
，
所以，
从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一更稳定，
所以，从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一．
【典例2】（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择，某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从A区和B区参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：

假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.
(1)从区和区参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望；
(2)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.
(3)现以该抽取的20户家庭中所得数据为该小区整体发生的概率，已知这户家庭网购次数超过20次，求这户家庭是区的概率.
【解析】【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题可知，X的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出；
（2）判断服从超几何分布，求其分布列，根据方差公式计算可知，．
（3）利用条件概率公式求解即可；
【详解】（1）由样本频率估计总体概率，则
从区参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，
从区参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，
的可能取值为0，1，2.则
，，
所以；
（2）依题可知，的可能取值为，且服从超几何分布，
，，，
，，，
因为，，所以，
，
，
所以，.
（3）设事件从该小区中随机抽取一户家庭为区的家庭为事件，
设事件从该小区中随机抽取一户家庭为区的家庭为事件，
事件该家庭网购次数超过20为事件.
，
，
，
，
.
【典例3】（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：
假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响．
(1)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望；
(2)从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20户数，比较方差与的大小．
【解析】【答案】(1)1；
(2).
【分析】（1）利用古典概率求出每个单元抽取的概率，再求出的可能值及各个值对应的概率，并求出期望作答.
（2）分别求出、的可能值，再求出各个值对应的概率，利用方差公式计算并比较大小作答.
【详解】（1）由茎叶图知，A组三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的有3户，从A组随机抽取1户，网购生鲜蔬菜次数大于20的概率，
B组三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的有7户，从B组随机抽取1户，网购生鲜蔬菜次数大于20的概率，
的可能值为0，1，2，
，，
所以X的数学期望.
（2）由（1）知，的可能值为0，1，2；的可能值0，1，2，显然、均服从超几何分布，
，
，；
，
，，
所以.
【题型六】常用分布的方差
【典例1】（2020·浙江金华·校联考二模）口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）
A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
【解析】【答案】A
【分析】当时，的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出， ；当时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出， ，即可得解．
【详解】当时，ξ的可能取值为1，2，3，
，，，
∴，；
当时，η可取1，2，3，4，
，，
，，
∴，
；
∴，．
故选：A．
【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.
【典例2】（多选）（2023·全国·模拟预测）下列命题中正确的是（ ）
A．已知，,则
B．已知，,则
C．样本数据6，7，5，8，5，6，9，8的第85百分位数是8
D．已知随机变量，若，，则
【解析】【答案】ABC
【分析】A选项，由即可得答案；
B选项，由条件概率的公式即可得答案；
C选项，对样本数据从小到大排列，再由百分位数的求法即可得答案；
D选项，根据二项分布的期望和方差公式即可得答案.
【详解】由，得，A正确；
由，得，B正确；
样本数据6，7，5，8，5，6，9，8，从小到大排列为5，5，6，6，7，8，8，9，因为，排列后第7个数据是8，所以第85百分位数是8，C正确；
因为，，
所以，，，D错误．
故选:ABC．
【典例3】（2022·浙江·模拟预测）已知变量X，Y满足回归模型，令，利用，的样本数据得到经验回归直线方程，则根据样本数据估计变量X的方差为 .
【解析】【答案】23
【分析】根据方差与均值的关系解决即可.
【详解】因为，
所以，
因为，，，
所以根据方差与均值的关系得，
.
故答案为：23
三、【培优训练】
【训练一】（2023·全国·校联考模拟预测）麦克斯韦妖（Maxwell＇s demn），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且（，2，…n），定义X的信息熵，则下列说法正确的有（ ）
A．n=1时
B．n=2时，若，则与正相关
C．若，，
D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且（j=1,2,…,m）则
【解析】【答案】ABD
【分析】求出判断出A；分析对于的单调性判断B；利用数列求和求出判断C；计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断D作答.
【详解】对于A，若，则，因此，A正确；
对于B，当n=2时，，，
令，则，
即函数在上单调递增，所以与正相关，B正确；
对于C，，，则，
，而，
于是
，令，
则，两式相减得
，因此，，C错误；
对于D，若，随机变量的所有可能的取值为，且（），
，
，
由于，即有，则，
因此，所以，即成立，D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
【训练二】（2023·山西临汾·校考模拟预测）魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的几何体．魔方与华容道、法国的单身贵族（独立钻石棋）并称为智力游戏界的三大不可思议．在2018WCA世界魔方芜湖公开赛上，杜宇生以3.47秒的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录，勇夺世界魔方运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手．
(1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望；
(2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，首局比赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局胜利，则他赢得下一局比赛的概率为0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局比赛的概率为0.5，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？
【解析】【答案】(1)分布列见解析；
(2)小王应选择“五局三胜制”
【分析】（1）依题意得到的可能取值，再利用独立事件与互斥事件的概率公式求得其对应的概率，从而得解；
（2）分类讨论小王不同选择下对应的获胜概率，从而得解.
【详解】（1）因为采用三局两胜制，所以的可能取值为，
表示小王或小吴连胜两局；表示小王与小吴前两局一胜一负；
所以，，
所以的分布列为：
则的数学期望为.
（2）若小王选择“三局两胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜；
则小王获胜的概率为；
若小王选择“五局三胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜；
则小王获胜的概率为
，
因为，
所以小王应选择“五局三胜制”.
【训练三】（2023·浙江宁波·统考一模）某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？
(2)现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.
（i）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；
（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为
附：
【解析】【答案】(1)有的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关
(2)（i）分布列见解析，；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用计算卡方进行检验即可；
（2）（i）依题意，先得到的所有可能取值，再依次求得对应的概率即可得解；（ii）利用分步计数原理，结合数列的累乘法与古典概型的概率公式即可得解.
【详解】（1）依题意，完善列联表如下，
所以.
故有的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关.
（2）（i）由题知，随机变量的所有可能取值为，
，
，
所以的分布列为
所以.
（ii）不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，
假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结，
令根绳子打结后可成圆的种数为，
那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，
由此可得，，
所以，
所以，
显然，故；
另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有
；
所以.
【点睛】关键点睛：本题第二小问第二步的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数列的累乘法求得结果.
【训练四】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
(1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为.
①直接写出，，的值；
②求与的关系式，并求出.
【解析】【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)①，，；②，
【分析】1）由离散型随机变量的分布列可解；
（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求，再由数列知识，由递推公式求得通项公式.
【详解】（1）的所有可能取值为1，2，3.则
；；.
所以随机变量的分布列为：
数学期望.
（2）若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为.
则有.
记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”.
所以
.
即.
所以，且.
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列.
所以，.
即次传球后球在甲手中的概率是.
【训练五】（2023上·全国·高三专题练习）为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：
并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.
(1)补全频率分布表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）：
(2)已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.
（i）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件，且、均为随机事件，证明：：
（ii）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.
①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得元优惠；
②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得元优惠，以后每天中午均获得元优惠（其中，为已知数且）.
校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为（），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.
附：，其中.
【解析】【答案】(1)频率分布表见解析，根据小概率值的独立性检验，可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关
(2)（i）证明见解析；（ii）当时，选择传统型优惠方案；当时，选择“饥饿型”优惠方案，理由见解析
【分析】（1）根据题意补全频率分布表，然后计算，与临界值表对比即可；
（2）（i）证法一：根据题意得到，，然后结合条件概率公式得到，最后利用作差法和条件概率公式证明即可；
证法二：根据题意得到，，然后结合条件概率公式得到，，最后利用作差法和条件概率公式证明即可；
（ii）根据题意得到两种方案的优惠期望，然后分、和三种情况考虑即可.
【详解】（1）（1）设组的频率为t，则组的频率为，
估计学生与最近食堂间的平均距离，解得，
故可补全频率分布表如下：
据此结合样本容量为2000可列出列联表如下：
零假设：学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关.
注意到.
据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关.
（2）（i）证法一：由题意得，，
结合，.
结合条件概率公式知，即.
，
即成立.
证法二：由题意得，，
所以，同理，
于是，
故
，即成立.
（ⅱ）设李明在校庆期间去食堂甲就餐的次数为，
若选择传统型优惠方案获得的优惠为X元，若选择“饥饿型”优惠方案获得的优惠为Y元，
则，，对，有，
故，
，
令，结合得，记为.
若，则，，
此时李明应选择“饥饿型”优惠方案；
若，则，，
此时李明应选择传统型优惠方案.
若，则，.
注意到，
.
因此
，
即.
此时李明选择获得的优惠更分散的方案，即获得的优惠方差更大的方案，即“饥饿型”优惠方案.
综上所述，当时，李明应选择传统型优惠方案；
当时，李明应选择“饥饿型”优惠方案.
【训练六】（2023·河南开封·统考一模）某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率.
(1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望；
(2)2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复.
（i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率；
（ii）求甲第（，2，，16）天选择“单车自由行”的概率，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数.
【解析】【答案】(1)4
(2)（i）；
（ii）；2天
【分析】（1）由合计得分可能的取值，计算相应的概率，再由公式计算数学期望即可；
（2）（i）利用互斥事件的加法公式和相互独立事件概率乘法公式求概率．；
（ii）由题意，求与的关系，通过构造等比数列，求出，再由求出对应的n.
【详解】（1）由题意，每位游客得1分的概率为，得2分的概率为，
随机抽取三人，用随机变量表示三人合计得分，则可能的取值为3，4，5，6，
，，
，，
则.
所以三人合计得分的数学期望为4.
（2）第一天选择“单车自由行”的概率为，则第一天选择“观光电车行”的概率为，
若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，
若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，则后一天选择“单车自由行”的概率为，
（i）甲第二天选择“单车自由行”的概率；
（ii）甲第天选择“单车自由行”的概率，有，
则 ，，
∴，
又∵，∴，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴．
由题意知，需，即，
，即，
显然n必为奇数，偶数不成立，
当时，有即可，
时，成立；
时，成立；
时，，则时不成立，
又因为单调递减，所以时，不成立．
综上，16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数只有2天．
【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用全概率公式得到，从而利用数列的相关知识求得，从而得解.
四、【强化测试】
【单选题】
1. （2021·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考三模）下面说法错误的是（ ）
A．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的；
B．利用频率分布直方图计算的样本数字特征是样本数字特征的估计值；
C．两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
D．在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体被抽取的可能性越大．
【解析】【答案】D
【分析】直接利用离散型随机变量的分布，频率分布直方图，线性相关的应用，分层抽样中的个体与抽取的可能性的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，离散型随机变量的各个可能值表示的事件时彼此互斥的不会同时发生，所以A正确；
对于B中，利用频率分布直方图计算的一般数字特征是样本数字特征的估计值，所以B正确；
对于C中，两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近与1，所以C正确；
对于D中，在分层抽样的过程中，哪一层的样本即便越多，该层中个体被抽到的可能性也是相同的，所以D不正确.
故选：D.
2. （2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）Lgistie分布在数据分析中常常用于分类变量回归，若连续随机变量满足：，则称服从位置参数为，形状参数为的Lgistic分布，则（ ）
A．满足二项分布的随机变量也是连续随机变量
B．若连续随机变量满足，则服从Lgistic分布
C．若服从位置参数为，形状参数为的Lgistic分布，则
D．若服从位置参数为，形状参数为的Lgistic分布，则
【解析】【答案】C
【分析】根据二项分布为离散型随机变量的分布可判断A选项；利用Lgistic分布的定义可判断B选项；根据Lgistic分布的概率公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，满足二项分布的随机变量是离散型随机变量，A错；
对于B选项，根据Lgistic分布的定义可知，
若连续随机变量满足，则不服从Lgistic分布，B错；
对于C选项，若服从位置参数为，形状参数为的Lgistic分布，
则，
所以，，，
故，C对；
对于D选项，若服从位置参数为，形状参数为的Lgistic分布，
则，，
所以，，
因为，所以，，D错.
故选：C.
3. （2022上·广东·高三校联考阶段练习）某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质，现从不同地区采集了100个样本，勘探队中的成员甲提议用如下方式进行检测，先将100个样本分为10组，每组再选取部分样本进行混合，对混合样本进行检测，如果不含该矿物质，则检测下一组，若含有该矿物质，则逐个检测；成员乙提议将100个样本分为5组或20组等等．假设每个样本含有该矿物质的概率．且每个样本是否含有该矿物质相互独立．则下列选项中检测次数的期望值最小的是（ ）（参考数据：）
A．5个一组B．10个一组C．20个一组D．逐个检验
【解析】【答案】B
【分析】分别求出每组检测次数的可能值及概率计算出期望，然后可得总检测次数的期望，最后比较可得．
【详解】若5个一组时，每组检测次数为，或5，，，
的分布列是
，
总检测次数的期望为，
若10个一组时，每组检测次数为，或11，，，
的分布列是
，
总检测次数的期望为，
若20个一组时，每组检测次数为，或21，，，
的分布列是
，
总检测次数的期望为，
若逐个检测，总检测次数为100，
因此10个一组检测次数的期望值最小，
故选：B．
4. （2023·全国·模拟预测）两对孪生兄弟共4人随机排成一排，设随机变量表示孪生兄弟相邻的对数，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的分布列计算概率即可.
【详解】4人排成一排共有种不同的排法，
的所有可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
所以.
故选：B.
5. （2023·陕西·校联考模拟预测）已知随机变量X的分布列为：
则（ ）
A．2B．C．D．1
【解析】【答案】C
【分析】根据分布列的性质及期望公式即得.
【详解】由，解得，
则.
故选：C.
6. （2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，给出以下论述：
①；
②；
③
④前天甲午餐总费用的数学期望为.
其中正确的是（ ）
A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③
【解析】【答案】B
【分析】先根据题意找到递推式，即可判断②，由递推式可求出，从而判断③，根据期望公式，期望的性质以及，即可判断④．
【详解】若甲在第天选择了米饭套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐，
甲在第天选择了面食套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐，
所以第天选择米饭套餐的概率，故②正确；
因为，所以甲在第1天选择了米饭套餐，所以，故①正确；
由②得，，所以，
又由题意得，，是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，故③错误；
前天甲午餐总费用的数学期望为，故④正确.
故选：B.
7. （2024·浙江温州·统考一模）已知离散型随机变量的分布列如下表所示.
则（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】D
【分析】根据随机变量的方差公式可得.
【详解】由分布列可得
，
，
故选：D
8. （2023·山西·统考一模）已知随机变量的分布列如下：
其中，2，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【解析】【答案】B
【分析】由题知，进而根据二项分布的期望与方差公式，方差的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由表中数据可知，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，.
故选：B
【多选题】
9. （2023·江苏南京·模拟预测）某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为元/件.现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20％的隐藏款.某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回.若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次.记X为检验结束时所进行的检验次数，则（ ）
A．
B．
C．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.5094
D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则
【解析】【答案】ABD
【分析】根据抽样方式可计算概率，判断A,C,根据概率计算可得分布列，进而得期望，用错位相减法求期望即可判断B，根据成本计算可求解D.
【详解】解：对于A，记检测到隐藏款的概率为，则，故正确；
对于B，由题意得的分布列为
且；
记,
则，
两式相减得
，
所以，故正确
对于C，没有抽到隐藏品的概率为，他抽到隐藏款的概率为，故错误，
对于D，设总共有件盲盒，则成本为元，则定价才能保证获利，故正确
故选：ABD
10. （2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）设随机变量的分布列如下：
则下列说法正确的是（ ）
A．当为等差数列时，
B．数列的通项公式可能为
C．当数列满足时，
D．当数列满足时，
【解析】【答案】AC
【分析】根据题意可得.对A：结合等数数列的性质分析运算；对B：利用裂项相消法分析运算；对C：根据等比数列求和分析运算；对D：取，分析运算即可.
【详解】由题意可得：，且，
对A：当为等差数列时，则，
可得，故，A正确；
对B：若，满足，
则，
故数列的通项公式不可能为，B错误；
对C：当数列满足时，满足，
则，
可得，C正确；
对D：当数列满足时，则，
可得，D错误；
故选：AC.
11. （2023·贵州·校联考模拟预测）下列命题中正确是（ ）
A．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强
B．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均增加0.5个单位
C．若随机变量的期望，则
D．若，且，则
【解析】【答案】BCD
【分析】根据相关关系的定义可判断A；根据回归方程的解析式可判断B；由数学期望的性质可判断C；由二项分布的方差结合方差的性质可判断D.
【详解】对于A：线性相关系数越接近于1，两个变量的相关性越强，
反之，线性相关性越弱，故A错误.
对于B：在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，
响应变量将平均增加0.5个单位，故B正确；
对于C：随机变量的期望为，则；
所以，，故C正确；
对于D：因为，，
则，解得，故D正确.
故选：BCD.
12. （2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）下列说法正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B．对于随机事件与，若，，则事件与独立
C．若随机变量，，若最大，则
D．设随机变量服从正态分布，若，则
【解析】【答案】BCD
【分析】对于A，利用百分位数的定义判断即可；对于B，利用对立事件和条件概率的公式，结合独立事件的定义判断即可；对于C，根据随机变量的均值与方差公式，结合二项分布的概率公式求解即可；对于D，利用正态曲线的特点判断即可.
【详解】对于A，把数据从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，因为，
则这组数据的第百分位数为，故A错误；
对于B，，又，所以，即事件与相互独立，故B正确；
对于C，因为随机变量，所以，故，又，当最大时，；又，
此时，故C正确；
对于D，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称，又因为，所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
【填空题】
13. （2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）小青准备用万元投资A，B两种股票，已知两种股票收益相互独立，且这两种股票的买入都是每股1万元，每股收益的分布列如下表所示，若投资A种股票万元，则小青两种股票的收益期望和为 万元.
股票A的每股收益分布列
股票B的每股收益分布列
【解析】【答案】/
【分析】先计算两种股票每股收益的期望，再计算投资后的两种股票收益期望综合即可.
【详解】由题中两种股票每股收益的分布列可知：
，
，
所以两种股票的收益期望和为
.
故答案为：10.8
14. （2023·广东汕头·金山中学校考三模）现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.1张彩票中奖金额的均值是 元.
【解析】【答案】2
【分析】设每张彩票的中奖金额为随机变量，则.由已知求出取不同值的概率，得出分布列，进而根据期望公式，即可得出答案.
【详解】设每张彩票的中奖金额为随机变量，则.
由题意可知，，，，，，
所以.
所以，的分布列为
所以，.
故答案为：2.
15. （2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）设随机变量（且），当最大时， .
【解析】【答案】2
【分析】利用超几何分布的概率公式及期望公式计算即可.
【详解】由随机变量，则，
因为最大，所以有，
即
整理得，
又，所以，则，
故答案为：2
16. （2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）若随机变量的数学期望和方差分别为，，则对于任意，不等式成立.在2023年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分150分，某校高三共有500名学生参加考试，全体学生的成绩,则根据上述不等式，可估计分数不低于100分的学生不超过 人.
【解析】【答案】10
【分析】可令，由题意得出，再结合全体学生的成绩的期望，计算得出，进而得出答案.
【详解】取，，所以或，
又因为，所以，即估计分数不低于100分的学生
不超过（人）.
故答案为：10
【解答题】
17. （2023·上海嘉定·统考一模）某学校组织竞赛，有A，B，C三类问题可供选择，其中A问题答对可得5分，答错0分，B问题答对只可得3分，但答错只有2分，C问题答对得4分，答错0分，现小明与小红参加此竞赛，小红答对3种问题的概率均为0.5，小明答对A，B，C问题的概率分别为0.3，0.7，0.5.
(1)小红一共参与回答了3题，且该题分为为、和这类题，记X为小红的累计得分，求X的分布列；
(2)小明也参与回答了3道问题，3道问题可以是同一类，也可以不是同一类，记Y为小明的累计得分，求该如何分配问题，使得E[Y]最大.
【解析】【答案】(1)
(2)3道题均为类
【分析】（1）列出的所有可能取值，计算出各值的概率即可列出分布列；
（2）列出所有选择情况，计算比较即可；
【详解】（1）的可能取值为、、6、7、8、11、12、，
因为当有1种情况，所以，
因为当有种情况，所以，
因为当有种情况，所以，
因为当有2种情况，所以，
因为当有1种情况，所以，
因为当有1种情况，所以
因为当有种情况，所以，
所以X的分布列为：
（2）若3道题均为类，因为，
，
，
，
所以，
若3道题均为类，因为，
，
，
，
所以，
若3道题均为类，因为，
，
，
，
所以，
若3道题分别为、、，
因为，
，
，
，
，
，
所以,
若3道题分别为、、，
因为，
，
，
，
，
，
所以，
若3道题分别为、、，
因为
，
，
，
，
，
所以，
若3道题分别为、、，
因为，
，
，
，
，
，
所以，
若3道题分别为、、，
因为，
，
，
，
，
，
所以，
若3道题分别为、、，
因为，
，
，
，
，
，
所以，
若3道题分别为、、，
因为，
，
，
，
，
，
所以，
所以3道题均为类，可使得最大.
18. （2023·湖北荆州·湖北省松滋市第一中学校考模拟预测）为增强学生科技意识，提高学生科学素养，学校开展了“科技节”系列活动．活动期间，学校图书馆从只借阅了一本图书的学生中随机抽取名，并对这些学生借阅科技类图书的情况进行了调查．数据统计如表单位：人：
(1)是否有的把握认为性别与借阅科技类图书有关？
(2)图书馆为了鼓励学生借阅科技类图书，规定学生每借阅一本科技类图书奖励积分分，每借阅一本非科技类图书奖励积分分，积分累计一定数量可以用积分兑换自己喜爱的图书．用表中的样本频率作为概率的估计值．
①现有名学生每人借阅一本图书，记此人增加的积分总和为随机变量，求的分布列和数学期望；
②现从只借阅一本图书的学生中选取人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少？
参考公式和数据：，其中．
【解析】【答案】(1)有 的把握认为性别与借阅科技类图书有关
(2)①分布列见解析， ；②人
【分析】（1）利用独立性检验进行检验判断即可；
（2）①利用独立事件的概率公式即可得解；②利用二项分布的概率公式得到不等式组，解之即可得解.
【详解】（1）依题意，补全列联表，
则 ，
所以有 的把握认为性别与借阅科技类图书有关．
（2）①因为用表中的样本频率作为概率的估计值，
所以借阅科技类图书的概率 ，
因为名学生每人借阅一本图书，这人增加的积分总和为随机变量 ，
所以随机变量 的可能取值为，，，，
， ，
， ，
从而 的分布列为：
所以 ．
记人中借阅科技类图书的人数为 ，
则随机变量 满足二项分布 ，
设借阅科技类图书最有可能的人数是 ，
则 ，即 ，
解得 ，故 ，
所以，现从只借阅一本图书的学生中选取人，其中借阅科技类图书最有可能的人数是人．
19. （2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）身高体重指数（）这个概念，是由19世纪中期的比利时通才凯特勒最先提出，它的计算公式如下：身高体重指数（）=体重（）÷身高（m）的平方.成人的数值低于18.5，则体重过轻，在则正常；在为过重，在为肥胖，不低于32为非常肥胖，且专家指出最理想的体重指数是22.某科研小组设计了一套方案；并在两类人群中进行对比实验，其中科学饮食组采用科学饮食方案，对照组采用随意饮食方案.半年后，分别在两组中各随机选取100人，都分布在内，按分成5组进行统计：，，，，.统计后分别制成如下的频率分布直方图.

(1)求a，b，并估计科学饮食组的80%分位数（结果精确到小数点后两位）；
(2)现采用分层抽样的方法从对照组选取的100人中抽取25人，再从这25人中随机抽取2人，记其中“肥胖”（不含非常肥胖）的人数为X，求X的分布列与数学期望.
【解析】【答案】(1)，，；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）利用频率分布直方图的性质及百分位数的求法计算即可；
（2）根据分层抽样的抽样方法先确定抽取的肥胖人数与非肥胖人数，再利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
，
由图象计算可得科学饮食组前三个区间所占频率为，
前四个区间所占频率为，
所以80%分位数在区间内，不妨设为，
所以；
（2）根据对照组的频率分布直方图可知在区间内的人数有人，
非肥胖的人数为人，
可取，
所以，
分布列如下：
所以.
20. （2023·四川自贡·统考一模）2025年四川省将实行3＋1＋2的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1，再从政治、地理、化学、生物中4选2，形成自己的高考选考组合.
(1)若某小组共6名同学根据方案进行随机选科，求恰好选到“物化生”组合的人数的期望；
(2)由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求.随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计数据，写出下列联表中a，d的值，并判断是否有95％的把握认为“选科与性别有关”？
附：.
【解析】【答案】(1)
(2)40，20，有95％的把握认为“选科与性别有关
【分析】（1）根据列举法求出一个学生恰好选到“物化生”组合的概率，确定6名同学根据方案进行随机选科，符合二项分布，即可求得答案；
（2）由题意确定的值，计算的值，与临界值表比较，即得结论.
【详解】（1）设物理、历史2门科目为，政治、地理、化学、生物科目为，
则根据高考选考组合要求共有组合为，
，共12种，
所以一个学生恰好选到“物化生”组合的概率为，
则6名同学根据方案进行随机选科，符合二项分布，
故恰好选到“物化生”组合的人数的期望为；
（2）由题意可得；
则，
所以有95％的把握认为“选科与性别有关”.
21. （2023·福建·校联考模拟预测）为了解学生中午的用穊方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：
并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.
(1)补全频率分布表，并判断是否有99.9%的把握认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）：
(2)已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.
（i）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件，且、均为随机事件，证明：：
（ii）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.
①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得元优惠；
②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得元优惠，以后每天中午均获得元优惠（其中，为已知数且）.
校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为（），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.
附：，其中.
【解析】【答案】(1)频率分布表见解析，有99.9%的把握
(2)（i）证明见解析；（ii）当时，选择传统型优惠方案；当时，选择“饥饿型”优惠方案，理由见解析
【分析】（1）根据题意补全频率分布表，然后计算，与临界值表对比即可；
（2）（i）证法一：根据题意得到，，然后结合条件概率公式得到，最后利用作差法和条件概率公式证明即可；
证法二：根据题意得到，，然后结合条件概率公式得到，，最后利用作差法和条件概率公式证明即可；
（ii）根据题意得到两种方案的优惠期望，然后分、和三种情况考虑即可.
【详解】（1）设组的频率为，则组的频率为，
估计学生与最近食堂间的平均距离，解得，故可补全频率分布表如下：
据此结合样本容量为2000可列出列联表如下：
零假设：学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关.
注意到.
据小概率值的独立性检验，推断不成立，即有99.9%的把㥳认为学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近有关.
（2）（i）证法一：由题意得，，结合，.
结合条件概率公式知，即.
，
即成立.
证法二：由题意得，，所以，同理，
于是.
故
，即成立.
（ⅱ）设李明在校庆期间去食堂甲就餐的次数为，若选择传统型优惠方案获得的优惠为元，若选择“饥饿型”优惠方案获得的优惠为元，则，，对，有
，故，
令结合得，记为.
若，则，，此时李明应选择“饥饿型”优惠方案；若，则，，此时李明应选择传统型优惠方案.
若，则，.注意到，
.
因此
，
即.此时李明选择获得的优惠更分散的方案，即获得的优惠方差更大的方案，即“饥饿型”优惠方案.
综上所述，当时，李明应选择传统型优惠方案；
当时，李明应选择“饥饿型”优惠方案.
22. （2023·广西玉林·校联考模拟预测）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各人进行分析，从而得到表（单位：人）：
(1)完成如表；对于以上数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为我市市民网购与性别有关联？
(2)①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人赠送优惠券，求选取的人中至少有人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．
参考公式：．常用的小概率值和对应的临界值如下表：
【解析】【答案】(1)能，理由见解析
(2)①；②，
【分析】（1）完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）①所抽取的名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
②分析可知，，利用二项分布的期望和方差公式可求得、的值.
【详解】（1）解：完善列联表如下表所示（单位：人）：
零假设性别与网购之间无关联，
由列联表得，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为我市市民网购与性别有关联.
（2）解：①由题意可知，所抽取的名女市民中，经常网购的有人，
偶尔或不用网购的有人，
所以，选取的人中至少有人经常网购的概率为；
②由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为，
将频率视为概率，所以，从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为，
由题意可知，，所以，，.
专题63 离散型随机变量及其分布列和数字特征
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：离散型随机变量
题型二：离散型随机变量的分布列
题型三：离散型随机变量的均值
题型四：常用分布列的均值
题型五：离散型随机变量的方差
题型六：常用分布的方差
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
4
3
2
P
运动达标占比
运动不达标占比
男生
40%
15%
女生
25%
20%
运动达标
运动不达标
总计
男生
女生
总计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
运动达标
运动不达标
总计
男生
160
60
220
女生
100
80
180
总计
260
140
400
X
2
3
4
P
0.1
0.6
0.3
X
4
3
2
P
年龄
网络满意度
合计
满意
不满意
青年（岁）
老年（岁）
合计
0.01
0.05
0.025
2.706
3.841
5.024
年龄
5G网络满意度
合计
满意
不满意
青年（岁）
140
40
180
中老年（岁）
80
40
120
合计
220
80
300
质量指标值m
[70，80）
[80，85）
[85，90）
[90，100]
质量指标等级
废品
三等品
二等品
一等品
质量指标值m
[70，80）
[80，85）
[85，90）
[90，100]
利润y（元）
－t2
2t
4t
7t
0
1
2
3
质量指标值
[70，80）
[80，85）
[85，90）
[90，100]
利润（元）

0.15
0.15
0.4
0.3
年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户
不常使用直播销售用户
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户
90
30
120
不常使用直播销售用户
70
10
80
合计
160
40
200
性别
速度
合计
快
慢
男生
65
女生
55
合计
110
200
0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
性别
速度
合计
快
慢
男生
65
35
100
女生
45
55
100
合计
110
90
200
1
2
3
1
2
3
学生与最近食堂间的距离
合计
在食堂就餐
0.15
0.10
0.00
0.50
点外卖
0.20
0.00
0.50
合计
0.20
0.15
0.00
1.00
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
学生与最近食堂间的距离
合计
在食堂就餐
0.15
0.20
0.10
0.05
0.00
0.50
点外卖
0.05
0.20
0.15
0.10
0.00
0.50
合计
0.20
0.40
0.25
0.15
0.00
1.00
学生距最近食堂较近
学生距最近食较堂远
合计
在食堂就餐
700
300
1000
点外卖
500
500
1000
合计
1200
800
2000
1
6
0.951
0.049
1
11
0.904
0.096
1
21
0.818
0.182
X
0
2
3
P
m
2m
0
1
2
1
2
3
…
2022
2023
…
收益/万元
概率
收益/万元
概率
0
2
10
50
100
1000
0.8545
0.1
0.03
0.01
0.005
0.0005
2
3
6
7
8
11
12
2
3
6
7
8
11
12
性别
借阅科技类图书
借阅非科技类图书
男生
女生
性别
借阅科技类图书
借阅非科技类图书
总计
男生
女生
总计








0
1
2
选择物理
选择历史
合计
男生
a
10
女生
30
d
合计
30
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
学生与最近食堂间的距离
合计
在食堂就餐
0.15
0.10
0.00
0.50
点外卖
0.20
0.00
0.50
合计
0.20
0.15
0.00
1.00
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
学生与最近食堂间的距离
合计
在食堂就餐
0.15
0.20
0.10
0.05
0.00
0.50
点外卖
0.05
0.20
0.15
0.10
0.00
0.50
合计
0.20
0.40
0.25
0.15
0.00
1.00
学生距最近食堂较近
学生距最近食较堂远
合计
在食堂就餐
700
300
1000
点外卖
500
500
1000
合计
1200
800
2000
经常网购
偶尔或不用网购
合计
男性
女性
合计
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经常网购
偶尔或不用网购
合计
男性
女性
合计