新高考数学二轮复习函数与导数压轴小题突破练习专题13 倍值函数（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）已知函数的定义域为，若存在闭区间，使得满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍增区间”，下列函数存在“倍增区间”的是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A.：在上单调递增，则根据题意有有两个不同的解，不成立，所以A不正确.
对于B：在上单调递增，根据题意有在上有两个不同的解，解得：，符合题意，所以B正确.
对于C： ，若，函数在单增，则有有两个解，即在上有两个解，不符合，若 ，仍然无解，所以C不正确.
对于D：在上单调递增，则有两个解，不成立，所以D不正确.
故选B.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为、的单调性相同，
所以为定义域上的增函数，
因为存在使得在上的值域为，
所以，即有两解，
即在R上有两个不相等的实数根，
令，则在上有两个不同的解，
所以，解得，
故选：D．
3．（2023春·浙江衢州·高二校联考期中）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ）
A．函数存在“和谐区间”
B．函数不存在“和谐区间”
C．函数存在“和谐区间”
D．函数（且）不存在“和谐区间”
【答案】D
【解析】对于选项A，存在区间，在上是单调增函数，在上的值域是，故A正确；
对于选项B，假设存在区间，函数在区间上为增函数，
由在上的值域是，可得，
解得 ，这与矛盾，故假设错误，所以选项B正确；
对于选项C，由函数，
可得，
取区间，在此区间上，所以函数在区间上为增函数．
因为，，所以函数在区间上的值域为，所以选项C正确；
对于选项D，不妨设，因为内层函数为增函数，外层函数也为增函数，
所以，函数在其定义域内为增函数，
假设函数存在“和谐区间”，则由得，
所以、是方程的两个根，
即、是方程的两个根．
令，可得，，
设关于的二次方程的两根分别为、，则，则、，
即关于的二次方程有两个正根，故函数存在“和谐区间”，D错.
故选：D.
5．（2023·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是
A．函数存在“和谐区间”
B．函数不存在“和谐区间”
C．函数存在“和谐区间”
D．函数（，）不存在“和谐区间”
【答案】D
【解析】函数中存在“和谐区间”,则①在内是单调函数；②或,若,若存在“和谐区间”,则此时函数单调递增,则由,得存在“和谐区间”正确.若,若存在“和谐区间”,则此时函数单调递增,则由,得,即是方程的两个不等的实根,构建函数,所以函数在上单调减,在上单调增,函数在处取得极小值，且为最小值,,无解,故函数不存在“和谐区间”,正确.若函数,,若存在“和谐区间”,则由,得,即存在“和谐区间”,正确.若函数,不妨设,则函数定义域内为单调增函数,若存在“和谐区间”, 则由,得,即是方程的两个根,即是方程的两个根,由于该方程有两个不等的正根，故存在“和谐区间”,结论错误,故选D.
考点：1、函数的定义域、值域及函数的单调性；2、导数的应用及“新定义”问题.
6．（2023·宁夏银川·高一校考期中）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数：①；②；③；④.其中存在“倍值区间”的有（ ）
A．①③B．②③C．②④D．①②③④
【答案】B
【解析】对于①，函数为增函数，若函数存在“倍值区间”，则，由图象可得方程无解，故函数不存在“倍值区间”；
对于②，函数 为减函数，若存在“倍值区间”，则有得：，，
例如：，.所以函数存在“倍值区间”；
对于③，若函数存在“倍值区间”，则有，解得.所以函数函数存在“倍值区间”；
对于④，当时，.当时，，从而可得函数在区间上单调递增.若函数存在“倍值区间”，且，则有，无解.所以函数不存在“倍值区间”.
故选：B.
7．（2023·安徽·高三统考期末）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
①； ②；
③； ④
A．①②③④B．①②④C．①③④D．①③
【答案】C
【解析】函数存在“倍值区间”，即函数的图像与直线有交点，
与直线有交点是（0，0），（2,4）；对于，构造函数；所以没有零点，即与直线没有交点；
与直线的交点是（0，0），（1,2）.解方程即，当无解；有两解.故
不满足题意.选C.
8．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”.下列结论错误的是（ ）
A．函数（）存在1级“理想区间”
B．函数（）不存在2级“理想区间”
C．函数（）存在3级“理想区间”
D．函数，不存在4级“理想区间”
【答案】D
【解析】A中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是，
所以存在1级“理想区间”，所以A正确；
B中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是，所以不存在2级“理想区间”，所以B正确；
C中，由，得，当时，，所以在上为增函数，假设存在，使得，则有，即，由，得或，所以当时，满足条件，即区间为，所以C正确；
D中，若存在“4级理想区间” ，则是方程的两个根，由和在内有3个交点，如图所示，所以该方程存在两个不等的根，故存在“4级理想区间” ，所以D错误，
故选：D
9．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为函数为“倍缩函数”，且为递增函数
所以存在，使在上的值域为
则 ，由此可知等价于 有两个不等实数根
令
则，令
解得
代入方程得
解得，因为有两个不等的实数根
所以t的取值范围为
所以选B
10．（2023·吉林·统考三模）函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”．下列结论错误的是( )
A．函数（）存在级“理想区间”
B．函数不存在级“理想区间”
C．函数存在级“理想区间”
D．函数，不存在级“理想区间”
【答案】D
【解析】易知是的一级“理想区间”，故A正确；
设，，当时，，当时，，因此，即无零点，因此不存在2级“理想区间”，故B正确；
由，得或，则是的一个3级“理想区间”，故C正确；
借助正切函数图像知与在内有三个交点，
因此有4级“理想区间”，故D错误．
故选：D．
11．（2023·湖南郴州·高一统考期末）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足以下两个条件：（1）在[m，n]上是单调函数；（2）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）个.
①②③
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】①是增函数，若存在区间是函数的“倍值区间”，
则 ，即 有两个实数根，分别是， ，即存在“倍值区间”，故①存在；
②是单调递增函数，若存在区间是函数的“倍值区间”，
则，即，存在两个不同的实数根，分别是， ，即存在“倍值区间”，故②存在；
③ ，在单调递减，在单调递增，
若在区间单调递减，则 ，解得，不成立，
若在区间 单调递增，则，即有两个不同的大于1的正根，
解得：不成立，故③不存在.
存在“倍值区间”的函数是①②.
故选：C.
12．（2023·江西抚州·高一统考期末）函数的定义域为，若满足：（1）在内是单调函数：（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为 是单调函数
若 ，则是减函数，所以为增函数；
若，则是增函数，所以为增函数；
由于，
所以
所以
又因为 ，所以满足有两解的t的取值范围为 .
故选：D
13．（2023·福建龙岩·高一统考期末）若函数的定义域为，满足：①在内是单调函数；②存在区间，使 在上的值域为，则称函数为“上的优越函数”．如果函数是“上的优越函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为是“上的优越函数”且函数在上单调递减，
若存在区间，使在上的值域为，
由题意得，，
所以，，
即与在时有2个不同的交点，
根据二次函数单调性质可知，即．
故选：D．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“上的类成功函数”．已知函数是“上的类成功函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知函数是“上的类成功函数”，可得在上的值域为．由在上单调递减，得，即方程在上必有两个不相等的实数根，
即在上必有两个不相等的实数根．设，则原问题可转化为直线与函数的图象在上有两个不同的交点．因为，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，图象如下图所示：
所以在上，．又，所以，
故选：C．
15．（2023·湖南邵阳·高三校考阶段练习）函数的定义域为D，若满足如下两个条件：（1）在D内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“希望函数”，若函数是“希望函数”，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由复合函数的单调性可知，函数f（x）＝lga（ax+t）（a＞0，a≠1）在定义域上为增函数，
结合“希望函数”的定义可知，，即，
∴有两个不同的正数解，即有两个不同的正数解，
∴1+4t＞0，且﹣t＞0，解得．
故选：A．
16．（2023·陕西渭南·高三统考竞赛）函数的定义域为，若满足：(1)在内是单调函数；(2)存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数 是“梦想函数”，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数是“梦想函数”，
所以在上的值域为，且函数是单调递增的.
所以，即
∴有2个不等的正实数根，令
即有两个不等正根，
∴且两根之积等于，
解得.
故选：A.
二、多选题
17．（2023·江苏无锡·高一江苏省江阴市第一中学校考期中）已知函数定义域为，若存在闭区间，使在内单调，且在上的值域为，则称区间为的和谐区间，下列结论正确的有（ ）
A．在上存在和谐区间B．在上存在和谐区间
C．在上存在和谐区间D．在上存在和谐区间
【答案】ABC
【解析】由题意知：函数存在闭区间上单调递增且，则为的和谐区间.
对于A，在上递增其中为一个和谐区间；
对于B，在上递增其中为一个和谐区间；
对于C，在上,由对勾函数以及复合函数的性质在上单调增，且是和谐区间；
对于D，在上是减函数，故不存在和谐区间；
故选：ABC
18．（2023春·湖北武汉·高一武汉市开发区一中校考阶段练习）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】A：为增函数，
若存在“3倍值区间”，则，
结合及的图象知，方程无解，
故不存在“3倍值区间”，A错误；
B：为减函数，
若存在“3倍值区间”，则有，得，又，，
所以可取，，
所以存在“3倍值区间”，B正确；
C：为增函数，
若存在“3倍值区间”，则，得，
所以存在“3倍值区间”，C正确；
D：当时，；当时，，从而可得在上单调递增，
若存在“3倍值区间”且，则有，解得，不符合题意，
所以不存在“3倍值区间”，D错误．
故选：BC
三、填空题
19．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有__________．
①； ②；
③； ④．
【答案】①③．
【解析】①函数为增函数，若函数存在“倍值区间”，则有，解得，所以函数存在“倍值区间”，故正确；
②函数为增函数，若函数存在“倍值区间”，则，
当时，，，此时无解；
当时，设，，
令，解得，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，所以时，，
所以此时无解，
综上所述，无解，故函数不存在“倍值区间”，
③当时，；
当时，，由于对勾函数在上单调递减，
由复合函数可得函数在区间上单调递增，
若函数在区间存在“倍值区间”，则有，解得，
所以函数存在“倍值区间”，故正确；
④若函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
若在存在“倍值区间”，
所以则，解得，与区间矛盾，故舍去，
若在存在“倍值区间”，
所以则，解得，与区间矛盾，故舍去，
故没有“倍值区间”；
故答案为：①③．
20．（2023·四川绵阳·高一绵阳中学实验学校校考期中）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有_______
① ② ③
【答案】①③
【解析】对于①,假设函数存在”倍值区间”,因为函数为单调递增函数,
所以,所以,解得,
所以存在”倍值区间”;
对于②,假设函数存在”倍值区间”,因为为递增函数,
所以,所以,
构造函数,则,
所以由得,递增;
由得,递减,
所以在时取得最小值,最小值为,
所以恒成立,所以无解,
故不存在”倍值区间”;
对于③,,假设函数存在”倍值区间”,因为,
所以.
由得,由得,
所以在上递增,在上递减,
假设,
则函数在上递增,
所以,所以,所以,
所以函数存在”倍值区间”.
综上所述: 函数中存在“倍值区间”的有:①③.
故答案为①③.
21．（2023·宁夏·统考模拟预测）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”，下列函数中存在“倍值区间”的函数有________（填序号）.
①；
②；
③；
④
【答案】①③④
【解析】是增函数，则由，即得，因此，①符合；是增函数，，，此方程无解，②不合；，因此它在上递增，在上递减，又，因此可取，③符合；由复合函数的单调性知在其定义域内是增函数，记，，，因此当时，函数递减，当时，函数递增．时，取极值为，当时，在上递增，在上递减，是极大值，且为正，同样当时，在上递增，在上递减，是极小值，且为负正，因此恒有两个零点，取，④符合题意．故①③④符合题意．
考点：新定义，命题真假判断．
22．（2023春·山东临沂·高三阶段练习）函数的定义域为D，若存在闭区间[a，b]D，使得函数满足：
(1) 在[a，b]内是单调函数；
(2)在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=的“和谐区间”．
下列函数中存在“和谐区间”的是___________ (只需填符合题意的函数序号).
①；②；③；④.
【答案】①③④
【解析】根据题意，当①，在a=0,b=2,可知满足题意[a，b]=【0,2】
对于③；不成立，
对于④时成立，对于②不存在成立，故答案为①④
考点：新定义的运用
点评：主要是考查了函数的单调性，以及值域的求解，属于基础题．
23．（2023春·北京·高二和平街第一中学校考阶段练习）若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，，，有下列命题：
①在内单调递增；
②和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为；
③和之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是；
③和之间存在唯一的“隔离直线”.
其中真命题为______.（请填所有正确命题的序号）
【答案】①②④
【解析】①，则，
令，则，解得，
故在单调递增，①正确；
②设和的隔离直线为，
则在恒成立，且在恒成立；
对，即在恒成立，其对称轴，
当时，只需满足，即；
当时，只需满足，；
在上述结论下：对，即在恒成立，，
当时，抛物线开口向上，不满足题意；
当时，在恒成立，需；
当时，抛物线开口向下，其对称轴为，
只需满足；
综上所述：若满足题意，，，又，
解得，故②正确；
③由②可知：，解得，故③错误；
④当时，和函数值均为，故为两函数公共点，
若存在和的隔离直线，那么该直线过点，设其斜率为，
则直线方程为，
由，即在恒成立，
故其，则，解得，
此时直线方程为：，下证：，
令，则，
当，，单调递减；
当，，单调递增；
故，即，也即.
综上所述，函数与存在唯一的隔离直线，故④正确；
故答案为：①②④.
24．（2023春·全国·高三专题练习）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数：①；②；③；④.其中存在“倍值区间”的序号为___________.
【答案】②③
【解析】对于①，函数为增函数，若函数存在“倍值区间”，则，由图象可得方程无解，故函数不存在“倍值区间”；
对于②，函数 为减函数，若存在“倍值区间”，则有得：，，,例如：，.所以函数存在“倍值区间”；
对于③，若函数存在“倍值区间”，则有，解得.所以函数函数存在“倍值区间”；
对于④，当时，.当时，，从而可得函数在区间上单调递增.若函数存在“倍值区间”，且，则有，无解.所以函数不存在“倍值区间”.
故答案为：②③.
25．（2023·内蒙古赤峰·高一统考期末）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：在内是单调函数；在上的值域为，则称区间为的“等值区间”下列函数中存在“等值区间”的有______．
【答案】
【解析】由，可得，解得或，
函数在上为单调增函数，且值域为，
有等值区间；
令，当时，，函数无零点，当时，，
由，可得，存在，满足，
使得当时，，当时，，
．
无零点，即不存在“等值区间”；
由，可得或．
当时，在上为增函数，
而对于，满足，，
有等值区间；
令，则，
为单调减函数，又，
方程仅有一解，故不存在“等值区间”．
存在“等值区间”的有．
故答案为．
26．（2023·四川遂宁·高一统考期末）函数的定义域为D,若存在闭区间 ,使得函数同时满足:(1)在内是单调函数;(2)在上的值域为,则称区间为的“倍值区间”.
下列函数中存在“3倍值区间”的有_____.
①;②;③;④.
【答案】①③
【解析】对于①,若函数存在“3倍值区间”,则有,解得．所以函数函数存在“3倍值区间”．
对于②,若函数 存在“3倍值区间”,则有,结合图象可得方程无解．所以函数函数不存在“3倍值区间”．
对于③,当时,．当时,,由对勾函数的性质可得函数在区间上单调递增．
若函数存在“3倍值区间”,且,则有,解得．
所以函数存在“3倍值区间”．
对于④,函数为增函数,若函数存在“3倍值区间”,则
,由图象可得方程无解,故函数不存在“3倍值区间”．
综上可得①③正确．
故答案为：①③
27．（2023·山东济宁·统考三模）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”，若函数是“成功函数”，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】当时，因在其定义域内是单调递增函数，则也是单调递增函数；
当时，在其定义域内是单调递减函数，则是单调递增函数；
所以函数是增函数，有，即，
故是方程的两个实数根，即方程有两个不同的实数根，
也即函数与直线有两个不同的交点.令，则，
所以问题转化为函数与有两个不同的交点，最大值为，
又时，，所以当时，即时，两函数恰有两个交点.
故答案为：.
28．（2023·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考开学考试）函数的定义域为，满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“优美函数”，若函数是“优美函数”，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】若，则函数为R上增函数，为上的增函数，
所以函数为其定义域上的增函数，
若，则函数为R上减函数，为上的减函数，
所以函数为其定义域上的增函数，
综上，函数为其定义域上的增函数，
若函数是“优美函数”，则，
即，即是方程的两个不同的正根，
则，解得，即的取值范围是，
故答案为：