新高考数学二轮复习函数与导数压轴小题突破练习专题09 分段函数零点问题（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·天津南开·高三南开中学校考期末）已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
存在两个零点，等价于与的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：
由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足，解得：
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，
求导
由反比例函数及对数函数性质知在上单调递增，
且，，故在内必有唯一零点，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
令，解得或2，可作出函数的图像，
令，即，在之间解得或或，
作出图像如下图
数形结合可得：，
故选：A
3．（2023·陕西西安·高三统考期末）已知函数， 若函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】当时，，
当时，，
，
，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数，
所以我们求出时零点个数即可，
，，令，解得，
故在上单调递增，在单调递减，
且，而，故在有1零点，
，故在上有1零点，图像大致如图所示：
故在上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在上也有2个零点，且，故共5个零点，
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，对任意的，在上至多个零点，不合乎题意，所以，.
函数的对称轴为直线，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且.
①当时，即当时，则函数在上无零点，
所以，函数在上有个零点，
当时，，则，
由题意可得，解得，此时不存在；
②当时，即当时，函数在上只有一个零点，
当时，，则，则函数在上只有个零点，
此时，函数在上的零点个数为，不合乎题意；
③当时，即当时，函数在上有个零点，
则函数在上有个零点，
则，解得，此时；
④当时，即当时，函数在上有个零点，
则函数在上有个零点，
则，解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，故，
则函数恰有2个零点等价于有两个不同的解，
故的图象有两个不同的交点，
设
又的图象如图所示，
由图象可得两个函数的图象均过原点，
若，此时两个函数的图象有两个不同的交点，
当时，
考虑直线与的图象相切，
则由可得即，
考虑直线与的图象相切，
由可得，则即.
考虑直线与的图象相切，
由可得即，
结合图象可得当或时，两个函数的图象有两个不同的交点，
综上，或或，
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】令，
当时，且递增，此时，
当时，且递减，此时，
当时，且递增，此时，
当时，且递增，此时，
所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：
由图知：与有两个交点，横坐标、：
当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解.
综上，的零点共有4个.
故选：B
7．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知，函数，若恰有2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】①若是一个零点，则需要 只有一个零点，
即有，且此时当时，需要只 有一个实根，
而 ，
解方程根得 ，
易得 .
即当 时， 恰有 2 个零点，.
②若 不是函数的零点，则为函数的 2 个零点，
于是 ，
解得：
综上: .
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若函数有三个零点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】要使函数有三个解，则与有三个交点，
当时，，则，可得在上递减，在递增，
∴时，有最小值，且时，；
当时，；当时，；
当时，单调递增；
∴图象如下，要使函数有三个零点，则，
故选：D．
9．（2023·广东广州·高三广州市真光中学校考期末）定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题设，画出上的大致图象，又为奇函数，可得的图象如下：
的零点，即为方程的根，即图像与直线的交点.
由图象知：与有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为，
1、关于对称，；
2、且满足方程即，解得：；
3、关于轴对称，则；
故选：B
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数是 （ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解析】令，则，
作出的图象和直线，由图象可得有两个交点，设横坐标为，
∴.
当时，有，即有一解；当时，有三个解，
∴综上，共有4个解，即有4个零点.
故选：A
二、多选题
11．（2023·河南郑州·高三郑州市第七中学校考期末）已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（ ）
A．当时，有3个零点B．当时，有2个零点
C．当时，有4个零点D．当时，有1个零点
【答案】CD
【解析】令，得，设f（x）＝t，则方程等价为f（t）＝﹣1，
①若k＞0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1，
∴此时方程f（t）＝﹣1有两个根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f（x）＝t2＜0，此时x有两解，
由f（x）＝t1∈（0，1）知此时x有两解，此时共有4个解，
即函数y＝f[f（x）]+1有4个零点．
②若k＜0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1，∴此时方程f（t）＝﹣1有一个根t1，其中0＜t1＜1，
由f（x）＝t1∈（0，1），此时x只有1个解，即函数y＝f[f（x）]+1有1个零点．
故选：CD．
12．（2023·河南濮阳·高三濮阳一高校考期中）已知函数，函数，其中，若函数恰有2个零点，则b的值可以是（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】BD
【解析】∵，
∴ ，
∵函数恰好有两个零点，
∴方程有两个解，即有两个解，
即函数与的图象有两个交点，
，
作函数与的图象如下，
当和，即 ，
结合图象可知，当时，有不止两个交点，
当或时，满足函数与的图象有两个交点，
当时，无交点，
综上，或时满足题意，
故选：BD.
13．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知函数则以下判断正确的是（ ）
A．若函数有3个零点，则实数的取值范围是
B．函数在上单调递增
C．直线与函数的图象有两个公共点
D．函数的图象与直线有且只有一个公共点
【答案】AC
【解析】当，
故的图像如图所示，
对AC，函数有3个零点，相当于与有3个交点，
故的取值范围是，直线与函数的图象有两个公共点，AC对；
对B，函数在上先增后减，B错；
对D，如图所示，联立可得解得或，由图右侧一定有一个交点，故函数的图象与直线不止一个公共点，D错.
故选：AC
14．（2023·广东佛山·高三佛山市三水区实验中学校考阶段练习）已知，令，则下列结论正确的有（ ）
A．若有个零点，则B．恒成立
C．若有个零点，则D．若有个零点，则
【答案】AD
【解析】，
作出的图象，如图所示：
因为，
所以的零点个数即为函数与的图象的交点的个数，
对于：若有个零点，则函数与的图象仅有一个公共点，由图象得，故正确；
对于：由图象得恒成立，故B错误；
对于：若有个零点，则函数与的图象有三个公共点，由图象得或者，故C错误；
对于：若有个零点，则函数与的图象有四个公共点，由图象得，故D正确.
故选：．
15．（2023·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知函数，若，则下说法正确的是（ ）
A．当时，有4个零点B．当时，有5个零点
C．当时，有1个零点D．当时，有2个零点
【答案】AC
【解析】当时，令，由，解得或或.
作出函数的图象，如图1所示，易得有4个不同的实数解，
即当时，有4个零点.故A正确，B错误；
当时，令，所以，解得或或（舍）
作出函数的图象，如图2所示，易得有1个实数解，
即当时，有1个零点.故C正确，D错误.
故选：AC.
16．（2023·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）对于函数，下列结论中正确的是（ ）
A．任取，都有
B．，其中；
C．对一切恒成立；
D．函数有个零点；
【答案】ACD
【解析】作出函数的图象如图所示.所以.
对于A：任取，都有.故A正确；
对于B：因为，所以.故B错误；
对于C：由，得到，即.故C正确；
对于D：函数的定义域为.作出和的图象如图所示：
当时,;
当时,函数与函数的图象有一个交点;
当时,因为,，所以函数与函数的图象有一个交点,所以函数有3个零点.故D正确.
故选：ACD
17．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】在上单调递增且值域为；
在上单调递减且值域为；
在上单调递增且值域为；
故的图象如下：
由题设，有个零点，即有7个不同解，
当时有，即，此时有1个零点；
当时有，即，
∴有1个零点，有3个零点，此时共有4个零点；
当时有或或，
∴有1个零点，有3个零点，有3个零点，此时共有7个零点；
当时有或或，
∴有1个零点，有3个零点，有2个零点，此时共有6个零点；
当时有或，
∴有3个零点，有2个零点，此时共有5个零点；
综上，要使有7个零点时，则，()
故选：BD
18．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝恰有两个零点，则正整数m的取值可能为（ ）
A．1B．2C．15D．16
【答案】AD
【解析】函数f(x)的零点即为方程f(x)＝0的解．
当m＝1时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣1＝0，解得：x＝0；
当x≥2时，2021（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x＝1或3，只取x＝3．
∴函数有两个零点0或3．∴A对；
当m＝2时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣2＝0，解得：x＝；
当x≥2时，2021（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x＝2或6．
∴函数有三个零点或2或6．∴B错；
当m＝15时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣15＝0，解得：x＝lg415＜2；
当x≥2时，2021（x﹣15）（x﹣45）＝0，解得：x＝15或45．
∴函数有三个零点lg415或15或45．∴C错；
当m＝16时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣16＝0，解得：x＝2不成立；
当x≥2时，2021（x﹣16）（x﹣48）＝0，解得：x＝16或48．
∴函数有两个零点16或48．∴D对；
故选：AD．
三、填空题
19．（2023·全国·高三专题练习）知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】由解析式知：在上为增函数且，
在上，时为单调函数，时无零点，
故要使有两个不同的零点，即两侧各有一个零点，
所以在上必递减且，则，可得.
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上有三个不同的零点，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【解析】令，则，由于函数在上有三个不同的零点，所以必有两解，所以或.
当时，的图像如下图所示，由图可知，必有两个零点，由于有两个解，所以有一个解，即，解得.
当时，的大致图像如下图所示，必有两个零点，由于有两个解，所以有一个解，所以，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
21．（2023·上海黄浦·高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数满足，函数恰有5个零点，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
【解析】因为函数满足，
所以，，
因为函数恰有5个零点，
所以函数与恰有5个交点，如图，
因为与交于原点，要恰有5个交点，
与必有2个交点，
设与相切，切点为，
此时切线斜率为，解得，
解得，所以切点为，所以，解得，
所以要使函数恰有5个零点，则.
故答案为：.
22．（2023·黑龙江哈尔滨·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为______．
【答案】
【解析】设，则，则，
设，则，
则
，
则，则，
函数图象如下：
由，可得，或，
由，可得，或，或，
则仅有一根，又，，
则，解之得，
故答案为：.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有个零点，则__________．
【答案】
【解析】当时，令，解得，故在上恰有个零点，即方程有个负根.
当时，解得，显然不满足题意；当时，因为方程有个负根，所以
当，即时，其中当时，，解得，符合题意；当时，，解得，不符合题意；
当时，设方程有个根，，因为，所以，同号，
即方程有个负根或个正根，不符合题意．综上，．
故答案为：0.5.
24．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，
当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函数，函数值为一切实数，
在坐标平面内作出函数的图象，如图，
观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点，
所以实数的取值范围是：.
故答案为：
25．（2023·全国·高三专题练习）设函数则函数的零点为________．
【答案】
【解析】函数的零点即为方程的解，也即的解．
令，则原方程的解变为方程组的解．
由方程②可得，
解得或，
将代入方程①，而方程无解，
由方程解得或；
将代入方程①，而方程，解得，
由方程，解得．
综上，函数的零点为，共四个零点．
故答案为：.
26．（2023春·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期中）已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____
【答案】
【解析】由函数在上的解析式作出如图所示图像，
由知，函数是以4为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个函数，
若使时，存在，方程在上恰有2021个零点，等价于在上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即时满足条件，且必须每个周期内均应使处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点，
则当时，需使最后一个完整周期中的极小值，
即，解得，即
当时，需使最后一个极大值，
即，解得，即，
综上所述，
故答案为：
27．（2023·浙江·高三专题练习）若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】当时，令可得：，
当时，令可得：，
令，
若，，
，为减函数，
若，，
，，
若，，为减函数，
若，，为增函数，
画出的图像，如下图：
如要有4个零点，则，
故答案为：.
28．（2023·全国·高三专题练习）若 则在内的所有零点之和为：__________．
【答案】
【解析】当时，f（x）＝8x﹣8，
所以，此时当时，g（x）max＝0；
当时，f（x）＝16﹣8x，所以g（x）＝﹣8（x﹣1）2+2＜0；
由此可得1≤x≤2时，g（x）max＝0．
下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．
当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，由函数f（x）的定义知，
因为，
所以，
此时当x＝3•2n﹣2时，g（x）max＝0；
当3•2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，．
由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max＝0．
综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间[2n﹣1，2n]上有1个零点，
从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．
故答案为．
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是________
【答案】.
【解析】
函数当时是对勾函数，因为，当且仅当即时，取最小值．所以函数最小值为2，且在上为减函数，在上为增函数．当时，是减函数，且，所以为增函数，且，所以函数为增函数，且，函数图像如图所示．令，函数恰有三个不同的零点，可以看成函数恰有三个不同的零点，函数的图像与直线有三个交点．由图像可知．
30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数有5个零点时m的范围_____________.
【答案】
【解析】当时,，
在区间上，单调递减，
在区间上，单调递增，
故函数在处取得极小值，
据此绘制函数的图像如图所示，
结合函数图像和题意可知原问题等价于函数与函数有两个交点，且交点的横坐标的范围分别位于区间和区间内，
观察二次函数的图像可得m的范围是.