中考数学【二轮复习】精品讲义试卷第五章　第二十四节　矩　形

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1．(2024辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为( )
第1题图
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
2．(2024泸州)已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是( )
A. ∠A＝90° B. ∠B＝∠C
C. AC＝BD D. AC⊥BD
3．(2024成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A. AB＝AD B. AC⊥BD
C. AC＝BD D. ∠ACB＝∠ACD

第3题图
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E是AC的中点，则DE长为( )
A. 2 eq \r(5) B. eq \r(5) C. eq \r(3) D. 1
第4题图
5．如图，在矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE. 若∠BAC＝40°，则∠E的度数是( )
A. 65° B. 60° C. 50° D. 40°
第5题图
6．(2024甘肃)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

第6题图
7.(万唯原创)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，若OE＝3，sin ∠ACD＝ eq \f(4,5) ，则矩形ABCD的周长是( )
A. 32 B. 30 C. 29 D. 28
第7题图
8．如图，在▱ABCD中，AC＝5，CD＝4，O是对角线AC的中点，OE垂直平分DC，则▱ABCD的面积为( )
第8题图
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
9.(万唯原创)如图，在矩形ABCD中，分别以点A，C为圆心，大于 eq \f(1,2) AC长为半径在AC两侧作弧，两弧交于M，N两点，连接MN交AD于点E，连接CE，观察图中尺规作图的痕迹，若AB＝6，AC＝10，则AE的长是________.
第9题图
10．(2024昆明八中模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，M，O分别为边BC，AC中点，延长MO至点D，使OD＝OM，连接AD，CD.
(1)求证：四边形AMCD是矩形；
(2)若四边形AMCD的面积为6，AC＝ eq \r( ,13) ，求矩形AMCD的周长.
第10题图
综合提升
11.人教八下P59第1题改编如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AD上一点，沿EF将四边形CDFE向下折叠，点C，D分别落在点G，H处，点H在边AB上. 若∠BHG＝20°，则∠EFH＝( )
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
第11题图
12.(万唯原创)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，E为对角线AC上一点(不与A，C重合)，连接DE，过点E作EG⊥DE交BC边于点G，连接DG.已知AB＝CD＝3，AD＝BC＝4.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若 eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(2,5) ，求△DEG的面积．
第12题图
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13.(条件开放) (2024曲靖市二模)如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，要使四边形ABCD是矩形，可添加一个条件是____________.
第13题图
参考答案
1．C 【解析】∵△EBC是等边三角形，∴∠EBC＝60°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝60°.
2．D 【解析】如解图，A.∠A＝90°，能判定▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B.∠B＝∠C，能判定▱ABCD为矩形，故选项B不符合题意；C.AC＝BD，能判定▱ABCD为矩形，故选项C不符合题意；D.AC⊥BD，能判定▱ABCD为菱形，不能判定▱ABCD为矩形，故选项D符合题意．
第2题解图
3．C
4．B 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠ADC＝90°，∴AC＝ eq \r(AB2＋BC2) ＝ eq \r(22＋42) ＝2 eq \r(5) .∵E是AC的中点，∴DE＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \r(5) .
5．A 【解析】如解图，连接BD交AC于点O，∵矩形ABCD中，∠BAC＝40°，OA＝OB，∴∠ABD＝40°，∠DBE＝90°－40°＝50°.∵AC＝BD，AC＝BE，∴BD＝BE，∴在△BDE中，∠E＝ eq \f(1,2) (180°－∠DBE)＝ eq \f(1,2) ×(180°－50°)＝65°.
第5题解图
6．C 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，∠DAB＝∠ABC＝90°.∵∠ABD＝60°，∴∠CBD＝∠ADB＝90°－∠ABD＝30°.∵AB＝2，∴在Rt△ABD中，AC＝BD＝2AB＝4.
7．D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴点O是AC的中点．又∵点E是AD的中点，∴OE是△ACD的中位线，∴CD＝2OE＝6.∵sin ∠ACD＝ eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(4,5) ，∴设AD＝4x，则AC＝5x，∴CD＝ eq \r(AC2－AD2) ＝3x，∴3x＝6，解得x＝2.∴AD＝8，∴矩形ABCD的周长是2(AD＋CD)＝28.
8．A 【解析】如解图，连接BD，∵四边形ABCD为平行四边形，O为AC的中点，∴BD过点O.∵OE垂直平分DC，∴OC＝OD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∴BD＝2OD＝2OC＝AC，∴平行四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴AD＝ eq \r(AC2－CD2) ＝3，∴矩形ABCD的面积为3×4＝12.
第8题解图
9. eq \f(25,4) 【解析】由作图痕迹可知AE＝CE，∵矩形ABCD中AB＝CD＝6，AC＝10，∴AD＝ eq \r(AC2－CD2) ＝ eq \r(100－36) ＝8.∵EC2＝DE2＋CD2，∴AE2＝(8－AE)2＋36，∴AE＝ eq \f(25,4) .
10．(1)证明：∵O为AC中点，
∴OA＝OC.
∵OD＝OM，
∴四边形AMCD为平行四边形．
∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
又∵M为BC边中点，
∴AM⊥BC，
∴∠AMC＝90°，
∴四边形AMCD为矩形；
(2)解：设AM＝a，MC＝b，
∵矩形AMCD的面积为6，
∴AM·MC＝ab＝6.
∵AC＝ eq \r( ,13) ，且∠AMC＝90°，
∴在Rt△AMC中，由勾股定理得AC2＝AM2＋MC2，
即a2＋b2＝13.
∵ab＝6，
∴a2＋b2＋2ab＝13＋12＝25，即(a＋b)2＝25.
∵a＋b＞0，
∴a＋b＝5.
∴矩形AMCD的周长为2(a＋b)＝2×5＝10.
11．D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°.由折叠的性质得，∠FHG＝∠D＝90°，∠DFE＝∠HFE，∴∠BHG＋∠AHF＝90°，∵∠AHF＋∠AFH＝90°，∴∠AFH＝∠BHG＝20°，∴∠DFH＝180°－∠AFH＝180°－20°＝160°，∴∠EFH＝∠DFE＝ eq \f(1,2) ∠DFH＝80°.
12．(1)证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)解：由(1)知四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∠DAC＝∠ACB.
∵ eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(2,5) ，AC＝ eq \r(AB2＋BC2) ＝5，
∴AE＝2，
∴CE＝AC－AE＝3，
∴CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE.
∵EG⊥DE，
∴∠DEG＝90°，
∴∠CED＋∠CEG＝90°.
∵∠ADC＝∠CDE＋∠ADE＝90°，
∴∠CEG＝∠ADE，
∴△CEG∽△ADE，
∴ eq \f(CE,AD) ＝ eq \f(CG,AE) ＝ eq \f(EG,DE) ＝ eq \f(3,4) ，
∴CG＝ eq \f(3,2) .
在Rt△DCG中，DG2＝CG2＋CD2＝ eq \f(45,4) ，
设EG＝3x，则DE＝4x，
∴在Rt△DEG中，DG2＝DE2＋EG2＝25x2＝ eq \f(45,4) ，
∴x2＝ eq \f(9,20) ，
∴S△DEG＝ eq \f(1,2) DE·EG＝6x2＝ eq \f(27,10) .
13．AC＝BD(答案不唯一)