广西梧州市苍梧县2024—2025学年上学期九年级期末数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份广西梧州市苍梧县2024—2025学年上学期九年级期末数学试卷（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了本试卷共6页，满分120分．， 抛物线的顶点坐标是等内容，欢迎下载使用。
说明：1.本试卷共6页（试题卷4页，答题卷2页），满分120分．
2.答题前请将学校、班别、姓名、准考证号写在答题卷指定的位置，答案写在答题卷相应的区域内，在试题卷上答题无效．
一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，选对得3分，选错、不选或多选均得零分）
1. 二次函数的图象是（ ）
A. 直线B. 双曲线C. 抛物线D. 不确定
2. 抛物线的开口方向是（ ）
A. 向下B. 向上C. 向左D. 向右
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 将抛物线平移后得到抛物线，平移的方法可以是（ ）
A. 向下平移3个单位长度B. 向上平移3个单位长度
C. 向上平移2个单位长度D. 向下平移2个单位长度
5. 二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A. 且B. 且C. D.
6. 近视眼镜度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5 m，则y与x的函数关系式为( )
A. y＝B. y＝
C. y＝D. y＝
7. 已知，那么下列比例式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（ ）
A 1个
B 2个
C. 3个
D. 4个
10. 已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（ ）
A. B. C. D.
11. 在中，，若，，则斜边上的高等于（ ）
A. 3B. 2.6C. 2.5D. 2.4
12. 如图，在矩形中，点在边上，和交于点若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 抛物线的y=（x﹣3）2﹣2的最小值为_____．
14. 在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而_____（填“增大”或“减小”）．
15. 在中，，那么的度数是___________.
16. △ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则与△ADF位似的三角形是________.
​
17. 如果两个相似三角形的面积比为，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为______．
18. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为1，当时，的取值范围是_____．
三、解答题（本大题8小题，共72分）
19. 计算：．
20. 已知抛物线与的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为，求该抛物线对应的函数表达式．
21. 如图，，已知，，，求的长．
22. 在中，有两条边长分别为6和8，求该三角形中两个锐角正弦值．
23. 如图，某楼房顶部有一根天线，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点，，，在点处测得天线顶端的仰角为，从点走到点，测得米，从点测得天线底端的仰角为，已知，，在同一条垂直于地面的直线上，米．
（1）求与之间的距离；
（2）求天线的高度．（参考数据：，结果保留整数）
24. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B，
（1）求证：△ADF∽△DEC
（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
25. 如图，将抛物线向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且为等腰直角三角形．
（1）求a的值；
（2）在图中的抛物线上是否存在点C，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求；若不存在，请说明理由．
26. 小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点F是线段上一点．
探究发现：
（1）当点F为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中条件与结论互换，即：若，则点F为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若，求的长．
2024年秋学期九年级目标教学练习册（期末检测）试题卷
数学
说明：1.本试卷共6页（试题卷4页，答题卷2页），满分120分．
2.答题前请将学校、班别、姓名、准考证号写在答题卷指定的位置，答案写在答题卷相应的区域内，在试题卷上答题无效．
一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，选对得3分，选错、不选或多选均得零分）
1. 二次函数的图象是（ ）
A. 直线B. 双曲线C. 抛物线D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象特征，理解特征是解题的关键．
根据二次函数的图象特征进行判断即可求解．
【详解】解：由题意得，二次函数的图象是抛物线．
故选：C．
2. 抛物线的开口方向是（ ）
A. 向下B. 向上C. 向左D. 向右
【答案】A
【解析】
【分析】根据时，二次函数图象开口向上，时，二次函数图象开口向下进行判断即可．
【详解】解：∵
∴抛物线的开口方向向下
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象．解题的关键在于明确当时，开口向上，当时，开口向下．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
【详解】由抛物线可得，顶点坐标为．
故选：A
4. 将抛物线平移后得到抛物线，平移的方法可以是（ ）
A. 向下平移3个单位长度B. 向上平移3个单位长度
C. 向上平移2个单位长度D. 向下平移2个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象平移规则“上加下减”求解即可．
【详解】将抛物线平移后得到抛物线，
平移的方法可以是向下平移3个单位长度．
故选：A．
5. 二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A. 且B. 且C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点，根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与x轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：二次函数的图象与x轴有交点，
且，
且，
故选：A
6. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5 m，则y与x的函数关系式为( )
A. y＝B. y＝
C. y＝D. y＝
【答案】A
【解析】
【分析】由于近视镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例关系可设y=，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得k的值．
详解】由题意，设y＝，
由于点(0.5,200)适合这个函数解析式，则k＝0.5×200＝100，
∴y＝.
故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为y＝.
故选A.
【点睛】本题考查根据实际问题列反比例函数关系式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
7. 已知，那么下列比例式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）．根据比例的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．由得，，故不符合题意；
B．由得，，故符合题意；
C．由得，，故不符合题意；
D．由得，，故不符合题意；
故选B．
8. 如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．
由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由，即可求得答案．
【详解】解：∵b是a、c比例中项，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9. 如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】C
【解析】
详解】试题解析：∵∠BDO=∠BEA=90°，∠DBO=∠EBA，
∴△BDO∽△BEA，
∵∠BOD=∠COE，∠BDO=∠CEO=90°，
∴△BDO∽△CEO，
∵∠CEO=∠CDA=90°，∠ECO=∠DCA，
∴△CEO∽△CDA，
∴△BDO∽△BEA∽△CEO∽△CDA．
故选C．
10. 已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于这个锐角的余角的余弦值．
利用互余两角的三角函数关系，得出，进而求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：B．
11. 在中，，若，，则斜边上的高等于（ ）
A. 3B. 2.6C. 2.5D. 2.4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角函数的定义、勾股定理；通过三角函数求得直角边长是解题的关键．
由三角函数的定义求得一直角边的长，进而通过勾股定理求得另一直角边的长，最后通过等面积计算可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴
∴
∴斜边上的高．
故选：D．
12. 如图，在矩形中，点在边上，和交于点若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过G作GN⊥BC于N，交EF于Q，同样也垂直于DA，利用相似三角形的性质可求出NG，GQ，以及EF的长，再利用三角形的面积公式可求出△BCG和△EFG的面积，用矩形ABCD的面积减去△BCG的面积减去△EFG的面积，即可求阴影部分面积．
【详解】解：过作GN⊥BC于N，交EF于Q，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△EFG∽△CBG，
∵，
∴EF：BC=1：2，
∴GN：GQ=BC：EF=2：1，
又∵NQ=CD=6，
∴GN=4，GQ=2，
∴S△BCG=×10×4=20，
∴S△EFG=×5×2=5，
∵S矩形BCDA=6×10=60，
∴S阴影=60-20-5=35．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 抛物线的y=（x﹣3）2﹣2的最小值为_____．
【答案】﹣2．
【解析】
【详解】试题分析：∵抛物线y=（x﹣3）2﹣2，∴抛物线的顶点坐标是：（3，﹣2），∴抛物线的最值为﹣2故答案为﹣2．
考点：二次函数的最值．
14. 在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而_____（填“增大”或“减小”）．
【答案】增大
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
根据反比例函数的性质，依据比例系数k的符号即可确定．
【详解】解：∵，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大．
故答案是：增大．
15. 在中，，那么的度数是___________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【详解】∵∠C=90°，csA，∴∠A=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．
16. △ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则与△ADF位似的三角形是________.
​
【答案】△ABC​
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理以及位似变换的定义得出即可．
【详解】∵点D. E. F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DF∥BC,ED∥AC,EF∥AB，
∴△ADF∽△ABC，则△ADF与△ABC是位似图形．
故答案为△ABC.
【点睛】此题考查位似变换，三角形中位线定理，解题关键在于掌握其性质定义.
17. 如果两个相似三角形的面积比为，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为______．
【答案】10；
【解析】
【分析】相似三角形的面积之比等于相似比的平方，由面积比求出相似比，进而得到周长比，进而得到这两个三角形的周长和．
【详解】∵两个相似三角形的面积比为，较小三角形的周长为4
∴相似比为2:3
∴周长比为2:3
∵较小三角形的周长为4
∴较大三角形的周长为6
∴两个三角形的周长和为10.
【点睛】本题考查的是相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
18. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为1，当时，的取值范围是_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函的图象相交A、B两点，其中点A的横坐标为1，
∴B点的横坐标为，
故当时，x的取值范围是：或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题8小题，共72分）
19. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，直接根据特殊角的三角函数值计算即可．熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
【详解】解：原式
．
20. 已知抛物线与的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为，求该抛物线对应的函数表达式．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，掌握解析式与系数的关系是解决本题的关键．
首先根据题意得到，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：抛物线与的开口大小相同，开口方向相反
将点的坐标代入，
得：
该抛物线对应的函数表达式为．
21. 如图，，已知，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了线段的和差、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质解题成为关键．
根据线段的和差可得，再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
，解得：．
22. 在中，有两条边长分别为6和8，求该三角形中两个锐角的正弦值．
【答案】当6，8是直角边时，两个锐角的正弦值分别是，；当斜边长是8时，两个锐角的正弦值分别是，
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数的定义是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
分两种情况进行讨论，再根据正切函数的定义，可得答案．
【详解】解：在中
当6，8是直角边时，
∴由勾股定理得斜边为
∴两个锐角的正弦值分别是，；
当斜边长是8时，
由勾股定理得另一条直角边长是，
∴两个锐角的正弦值分别是，．
23. 如图，某楼房顶部有一根天线，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点，，，在点处测得天线顶端的仰角为，从点走到点，测得米，从点测得天线底端的仰角为，已知，，在同一条垂直于地面的直线上，米．
（1）求与之间的距离；
（2）求天线的高度．（参考数据：，结果保留整数）
【答案】（1）之间的距离为30米；（2）天线的高度约为27米．
【解析】
【分析】（1）根据题意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB，已知CD=5，不难算出A与C之间的距离．
（2）根据题意，在中，，利用三角函数可算出AE的长，又已知AB，故EB即可求解．
【详解】（1）依题意可得，在中， ，
米，
米，米.
即之间的距离为30米．
（2）在中，，米，
（米），
米，米．
由．并精确到整数可得米．
即天线的高度约为27米．
【点睛】（1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
（2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键．
24. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B，
（1）求证：△ADF∽△DEC
（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
【答案】（1）见解析（2）AF=2
【解析】
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC AB∥CD
∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°
∵∠AFE+∠AFD=，∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC CD=AB=4
又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD
在Rt△ADE中，DE=
∵△ADF∽△DEC
∴∴
∴AF=
25. 如图，将抛物线向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且为等腰直角三角形．
（1）求a的值；
（2）在图中的抛物线上是否存在点C，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）a的值为1
（2）存在，，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，令其找出点B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；
（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出的值．
【小问1详解】
解：平移后的抛物线的解析式为，顶点坐标，
令中x＝0，则，
∴．
∵为等腰直角三角形，
∴，解得：或（舍去），
故a的值为1；
【小问2详解】
解：存在，理由如下：
如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，
∵为等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵为抛物线的对称轴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∵点，抛物线对称轴，
∴点C的坐标为，
此时，，
故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为且．
【点睛】本题考查了平移的性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置．
26. 小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点F是线段上一点．
探究发现：
（1）当点F为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若，则点F为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若，求的长．
【答案】（1）是；（2）结论成立，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通过AB=BD求出∠A=∠ADB，紧接着根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，据此进一步得出∠ADB=∠FDE，最终通过证明∠ADB+∠EDC=90°证明结论成立即可；
（2）根据垂直的性质可以得出90°，90°，从而可得，接着证明出，利用可知，从而推出，最后通过证明得出，据此加以分析即可证明结论；
（3）如图，设G为的中点，连接GD，由（1）得，故而，在中，利用勾股定理求出，由此得出，紧接着，继续通过勾股定理求出，最后进一步证明，再根据相似三角形性质得出，从而求出，最后进一步分析求解即可.
【详解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，
∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD，
∵∠ACB=∠ECD，
∴∠A=∠E，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB，
在中，
∵F是斜边CE的中点，
∴FD=FE=FC，
∴∠E=∠FDE，
∵∠A=∠E，
∴∠ADB=∠FDE，
∵∠FDE+∠FDC=90°，
∴∠ADB+∠FDC=90°，
即∠FDB=90°，
∴BD⊥DF，结论成立，
故答案为：是；
（2）结论成立，理由如下：
∵，
∴90°，90°，
∴，
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
又90°，90°，，
∴，
∴．
∴．
∴F为的中点；
（3）如图，设G为的中点，连接GD，由（1）可知，
∴，
又∵，
在中，，
∴，
在中，，
在与中，
∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和相似三角形的性质及判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.