新高考数学二轮复习小题专项复习 专题7 立体几何（单选+填空）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】可得展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出.
【详解】易知母线长为，且上底面圆周为，下底面圆周为，易知展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6，
所以面积.
故选：C.
2．（2022·江苏·统考三模）正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体､正六面体（即正方体）､正八面体､正十二面体､正二十面体.连接正方体中相邻面的中心，可以得到另一个柏拉图体.已知该柏拉图体的体积为，则生成它的正方体的棱长为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【分析】设出棱长，根据体积即可求出.
【详解】设正方体棱长为，可得该柏拉图体是由两个四棱锥构成，四棱锥的底面为边长为的正方形，高为，
则柏拉图体的体积为，解得，∴.
故选：D.
3．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）《算数书》是已知最早的中国数学著作，于上世纪八十年代出土，大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年．《算数书》内容丰富，有学者称之为“中国数学史上的重大发现”．在《算数书》成书的时代，人们对圆周率的认识不多，用于计算的近似数与真实值相比误差较大．如书中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．此术相当于给出了圆锥的体积V的计算公式为，其中L和h分别为圆锥的底面周长和高．这说明，该书的作者是将圆周率近似地取为（ ）
A．3.00B．3.14C．3.16D．3.20
【答案】A
【分析】由圆的周长公式可得半径，再由圆锥体积公式结合已知可得.
【详解】因为，所以，
则，
∴.
故选：A．
4．（2022·江苏南京·模拟预测）在空间直角坐标系中，已知圆在平面内，．若的面积为，以为顶点，圆为底面的几何体的体积为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求的面积为，利用点到直线的距离和勾股定理求得高，然后求的面积，根据高为的坐标，利用公式求出体积.含有参数,求分母最小值，则整体最大值.
【详解】因为圆的方程，所以.故，到平面的投影为，过作垂线交与点,故是的高，，所以到直线的距离为，，故，所以.因为圆的底面半径为，所以圆底面积，又，所以. ，当时，取得最小值为，故 .
故选：B.
5．（2022·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）米斗是我国古代官仓，粮栈､米行必备的用具，是称量粮食的量器.如图是一种米斗，可盛米10升（1升=1000cm3），已知盛米部分的形状为正四棱台，且上口宽为18cm，下口宽为24cm，则高约为（ ）
A．18.8cmB．20.4cmC．22.5cmD．24.2cm
【答案】C
【分析】设该米斗的高为hcm，结合台体体积公式可求.
【详解】设该米斗的高为hcm，由台体的体积公式可得，
解得.
故选：C.
6．（2022·江苏常州·华罗庚中学校考模拟预测）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据侧面展开图得出母线长与底面周长，即可计算出底面半径与高，即可利用公式求出答案.
【详解】圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，
则圆锥的母线长为：；
圆锥的底面周长为：，
则圆锥的底面半径：，解得；
圆锥的高为：，
则该圆锥的体积为：，
故选：B.
7．（2022·江苏盐城·阜宁县东沟中学校考模拟预测）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而可求出陀螺的表面积
【详解】由题意可得圆锥体的母线长为，
所以圆锥体的侧面积为，
圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，
所以此陀螺的表面积为（），
故选：C
8．（2022·江苏南通·校联考模拟预测）某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆（如图所示）若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，“切面”所在平面与底面所成的角为∠BAM，设圆的半径为r，，，，由离心率求得，从而可得∠BAM的余弦值，得角的大小．
【详解】如图，“切面”所在平面与底面所成的角为∠BAM，设圆的半径为r，
则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．（2022·江苏连云港·江苏省赣榆高级中学校考模拟预测）已知圆锥的底面半径为，若其底面上存在两点，使得，则该圆锥侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据可确定，由圆锥侧面积公式可求得最大值.
【详解】设圆锥的母线长为，
，，又（当且仅当为底面圆直径时取等号），
，即，
圆锥侧面积，即所求最大值为.
故选：A.
10．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）为庆祝神舟十三号飞船顺利返回，某校举行“特别能吃苦，特别能战斗，特别能攻关，特别能奉献”的航天精神演讲比赛，其冠军奖杯设计如下图，奖杯由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，则冠军奖杯的高度为（ ）cm．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，可得，设△ABC外接圆圆心O，则由正弦定理可得半径r，利用勾股定理可得、从而端点答案.
【详解】A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，
∴，∴△ABC是边长为9的等边三角形，
设△ABC外接圆圆心O，半径r，则，
∴，，∴到平面DEF距离＝9，
∴冠军奖杯的高度为，
故选：C．
11．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ）
A．1895秒B．1896秒C．1985秒D．2528秒
【答案】C
【分析】由圆锥的体积公式计算细沙体积和沙堆体积，根据细沙体积不变即可求解．
【详解】沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为，高为，
所以细沙体积为
所以该沙漏的一个沙时为秒，
故选：C
12．（2022·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则点到平面ABD的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间向量的数量积转化求解点到平面的距离．
【详解】解：如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，，，，，0，，
可得，，，，
因为点在平面上的射影是的重心，
所以平面，所以，
即，解得，
即，
则点到平面的距离为，是的中点，
所以．
故选：A.
13．（2022·江苏连云港·统考二模）下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先计算出上下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可.
【详解】
如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则，，解得，
，，
设上底面面积为，下底面面积为，
则体积为.
故选：B.
14．（2022·江苏·统考一模）正四面体的棱长为，是棱的中点，以为球心的球面与平面的交线和相切，则球的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设点在平面内的射影为点，则为的中心，取的中点，连接，则，取线段的中点，连接，分析可知以为球心的球面与平面的交线和相切的切点为，求出，即为球的半径，再利用球体的体积公式可求得结果.
【详解】设点在平面内的射影为点，则为的中心，
取的中点，连接，则，取线段的中点，连接，
因为、分别为、的中点，则且，
因为平面，则平面，因为平面，则，
正的外接圆半径为，，
所以，，
易知球被平面所截的截面圆圆心为点，且，故，
因为为等边三角形，为的中点，则，
因为以为球心的球面与平面的交线和相切，则切点为点，
则球的半径为，
因此，球的体积是.
故选：D.
15．（2021·江苏·校联考模拟预测）m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥β
B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若m，n，l两两相交，且交于同一点，则m，n，l共面
D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
【答案】D
【分析】对于选项A，还需要添加条件n⊂α，故A不正确; 对于选项B，可能得到m，n是异面直线，故B不正确;对于选项C，可举反例，得 C不正确; 对于选项D，可以证明 D正确.
【详解】解：对于选项A，若成立还需要添加条件n⊂α，故A不正确;
对于选项B，由m∥α，n⊂α，还可能得到m，n是异面直线，故B不正确;
对于选项C，可举反例，如三棱锥同一顶点出发的三条棱，故C不正确;
对于选项D，∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又n⊥β，∴α∥β，故D正确.
故选：D
16．（2022·江苏南京·模拟预测）在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上､下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到的长度，然后作辅助线找到并求方亭的高，最后利用棱台的体积计算公式求解即可.
【详解】如图，过作，垂足为，
由四个侧面的面积之和为知，侧面的面积为，
∴（梯形的面积公式），则.
由题意得：，在中，.
连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形且，，则，
∴，
∴该方亭的体积，（棱台的体积公式）.
故选：B.

17．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件通过作垂线，求得底面圆的半径，将液体的体积看作等于一个底面半径为，高为 的圆柱体积的一半，即可求解答案.
【详解】如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F,
因为MN平行于地面，故 ，
椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，
故 ,
在中， ，即圆柱的底面半径为 ，
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为 的圆柱体积的一半，
即为 ，
故选：C.
18．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出图形，找出直线与平面所成角的平面角，在三角形内即可求解.
【详解】如图，过点向底面作垂线，垂足为，连接，
过点作于G，连接，

由题意可知：且，
因为平面，所以平面，
则即为直线与平面所成角的平面角，
设正四面体的棱长为2，则，，
所以，则，
在中，由余弦定理可得：，
在中，，
所以，
所以直线与平面所成角的正切值是，
故选：.
二、填空题
19．（2022·江苏·统考一模）已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，该圆柱和圆锥的表面积分别为，，则__________.
【答案】
【分析】根据圆柱与圆锥的表面积公式直接计算.
【详解】设圆柱与圆锥的半径均为，母线为，
故，，
所以，
故答案为：.
20．（2022·江苏南通·校联考模拟预测）若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________．
【答案】
【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径和高，结合体积公式，即可求解．
【详解】由题意，圆锥侧面展开图的半径为，所以圆锥的母线长为，
设圆锥的底面半径为，高为，则 ，解得，
可得圆锥的高为，
所以圆锥的体积．
故答案为：．
21．（2022·江苏淮安·统考模拟预测）周总理纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体建筑设计，如图所示，若该组合体接于半径R的球O（即所有顶点都在球上），记正四棱锥侧面与正方体底面所成二面角为，则_________．
【答案】##
【分析】利用正方体的性质及球的性质可得组合体的外接球的球心为正方体的中心，设正方体底面的中心为，的中点为，进而可得，即得.
【详解】由正方体的性质可知该组合体的外接球的球心为正方体的中心，
设正方体底面的中心为，的中点为，连接，
则，
则，设正方体的棱长为，则，
∴.
故答案为：.
22．（2022·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为___________.
【答案】
【分析】由题设正三角形的边长为，得到底面圆的半径为，圆锥的高为，结合圆锥的体积公式，即可求解.
【详解】由题意，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，
设正三角形的边长为，可得，解得，
∴底面圆的半径为，圆锥的高为，
所以该圆锥的体积为.
故答案为：.
23．（2022·江苏常州·统考模拟预测）在三棱锥中，已知平面，，若，，则与所成角的余弦值为___________．
【答案】##
【分析】如图，取中点，连接，可得（或其补角）即为与所成角，分别求出三边长度即可求解.
【详解】如图，取中点，连接，
所以，则（或其补角）即为与所成角，
因为平面，所以，所以，则，
因为，所以，所以，
取中点，连接，所以，所以平面，
所以，又，，
所以，
所以.
所以与所成角的余弦值为.
故答案为：.
24．（2022·江苏扬州·统考模拟预测）在三棱锥中，平面为三棱锥外接球球面上一动点，则点到平面的距离的最大值为__________.
【答案】
【分析】应用正余弦定理求得，的外接圆半径，根据线面关系列方程组求外接球半径、△外接圆半径，进而确定外接球球心到面的距离，即可知距离的最大值.
【详解】由，则，
设的外接圆圆心，半径为，则，可得，
设外接球半径为，
所以，可得，
由面，面，则，故，
所以△外接圆是为直径的圆，且，
外接球球心到面的距离，
到距离的最大值.
故答案为：
25．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）等边△ABC的边长为6，直线l交边AC，AB分别于点D，E(异于△ABC的顶点)，将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，则四棱锥A－BCDE体积的最大值为________．
【答案】
【分析】令，过作，垂足为，由结合重要不等式得出，利用换元法结合导数得出四棱锥A－BCDE体积的最大值.
【详解】令
，
过作，垂足为，
令
令
在上单调递增，在上单调递减
，
故答案为：
26．（2022·江苏常州·华罗庚中学校联考三模）如图，在平行六面体中，AB＝AD＝2，，，点E是AB中点，则异面直线与DE所成角余弦值是______．
【答案】##
【分析】以为空间向量的一组基底，用基底表示向量，根据向量间的夹角公式计算即可求解.
【详解】由题意，AB＝AD＝2，，
且,,

，
又,
,
,
设异面直线与DE所成角为，则.
故答案为：
27．（2022·江苏·模拟预测）已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为平面平面点在上，且过点作四边形外接球的截面﹐则截面面积最大值与最小值之比为___________.
【答案】
【分析】取中点为连接，球心在平面的投影为外心，
在上，作于依题意可证由面面垂直的性质得到平面，求出、，从而求出外接球的半径，再连接，即可得到三点共线，从而求出截面面积最大值与最小值，从而得解；
【详解】解：由题知和为等边三角形，取中点为连接，
则
由平面平面平面平面
故平面，，
易知球心在平面的投影为的外心，
在上，作于，
易得
则在中，，
所以外接球半径，连接
因为
所以三点共线，所以
当截面过球心时截面面积最大为，
当为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径为，面积为，所以截面面积最大值与最小值之比为是.
故答案为：
28．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）把边长为1的实心正六面体磁性几何魔方按图方式分成12块：（1）取6条面上的对角线；（2）考虑以立方体中心为顶点，上述6条对角线及12条棱之一为对边的三角形；（3）这18个三角形把立方体切成了12块，每块是一个四面体，每个四面体有两条棱是立方体的棱；（4）每个四面体仅通过其上立方体的棱和其它四面体连接．
则在此玩具所有可能的形状中，其上两点之间空间距离的最大值为__________．
【答案】
【分析】由题意，这个由12个四面体构成，因此取到最大值的必定是两个小四面体的顶点，
在四面体中，四个顶点可分为3类：（1）一个顶点在立方体中对于应于和；（2）两个顶点（它们之间的棱）属于六边形；（3）一个顶点对应于立方体的中心，它到一个小四面体的另三个顶点的距离都是，求得相应的距离，即可求解.
【详解】由题意，以标记的八个顶点，并设开始时选定的顶点为和，
则这个顶点分别属于6个小四面体，而，这六个顶点（无论怎么变形）构成一个边长为1的正六边形，
注意到这个由12个四面体构成，因此取到最大值的必定是两个小四面体的顶点，
在四面体中，四个顶点可分为3类：
（1）一个顶点在立方体中对于应于和，称之为第一类顶点；
（2）两个顶点（它们之间的棱）属于六边形，称之为第二类顶点；
（3）一个顶点对应于立方体的中心，它到一个小四面体的另三个顶点的距离都是，称之为第三类顶点，
这些顶点之间沿棱的距离的最大值，可得下表：
从而任意两点之间的距离不会超过.
故答案为：.
29．（2021·江苏南京·南京师范大学附属扬子中学校考模拟预测）如图，水平放置的正四棱台形玻璃容器的高为，两底面对角线EG，E1G1的长分别为25和97.在容器中注入水，水深为8.现有一根玻璃棒l，其长度为39.(容器厚度､玻璃棒粗细均忽略不计)，将l放在容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，则l浸没在水中部分的长度为___________.
【答案】
【分析】记玻璃棒的另一端落在上点处，过作为垂足，设，记与水面的交点为，过作为垂足，再将空间问题转化为平面问题，利用正弦定理与余弦定理求解即可.
【详解】解：由题,设O，是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO平面，
所以平面平面
同理，平面平面.
记玻璃棒的另一端落在上点处.
过作为垂足，则
因为，
所以，从而
设，则.
因为，所以.
在中，由正弦定理可得，解得
因为，所以.于是
记与水面的交点为，过作为垂足，则平面，
故，从而
故答案为：
【点睛】本题主要考查正棱台的概念，考查正弦定理､余弦定理等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.本题解题的关键在于根据空间图形，将空间问题平面化，利用正弦定理和余弦定理求解.
30．（2021·江苏南通·一模）已知正三棱锥的所有棱长均为1，，，分别为棱，，上靠近点的三等分点，则该正三棱锥的外接球被平面所截的截面圆的周长为___________.
【答案】
【分析】由条件知得点到平面和平面的距离之比为.设为的中心，与平面交于点，求得正三棱锥外接球的半径为，.再设截面圆的半径为，根据.可求得，从而得出答案.
【详解】由条件知平面与平面平行，且点到平面和平面的距离之比为.
设为的中心，与平面交于点，
则平，平面，故.
设为正三棱锥外接球的球心，则点在上.
则，，
设正三棱锥外接球的半径为，则，即，解得，
又，所以.
设截面圆的半径为，则.解得，
从而截面圆的周长为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解几何体外接球半径的思路是依据球的截面的性质：利用球的半径､截面圆的半径及球心到截面的距离三者的关系求解，其中确定球心的位置是关键.
距离
第一类顶点
第二类顶点
第三类顶点
第一类顶点

第二类顶点

第三类顶点