(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (高频考点—精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量基本定理的应用
高频考点二：平面向量的坐标表示
高频考点三：平面向量共线的坐标表示
角度1：由坐标判断是否共线
角度2：由向量平行求参数
角度3：由坐标解决三点共线问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、平面向量的基本定理
1.1定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.
1.2基底：
不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；
（3）用基底两种表示，即，则，进而求参数.
2、平面向量的正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、平面向量的坐标运算
3.1平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个不共线的单位向量作为基底，存在唯一一组有序实数对使,则有序数对，叫做的坐标，记作.
3.2平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若，则；
（2）数乘向量：若，则；
（3）向量数量积：若，则；
（4）任一向量：设，则.
4、平面向量共线的坐标表示
若，则的充要条件为
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：平面向量基本定理的应用
典型例题
例题1．（2022·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（文））在中，，．若点满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵，∴，
而，
故，
故选：B
例题2．（2022·山东滨州·高一期末）在中，点满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
故选：A
例题3．（2022·四川南充·高一期末（理））如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）
A．1B．－1C．D．
【答案】D
【详解】因为E为AO的中点，所以，
所以，
即，所以，，所以D正确.
故选：D.
题型归类练
1．（2022·湖北·高二学业考试）在矩形中，点为边的中点，点为对角线上一点，且，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图：
，
故选：C.
2．（2022·河南安阳·高一阶段练习）如图，是所在平面内一点，若，是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为是线段的中点，
所以，
又因为，
所以，
故选：C
3．（2022·广西梧州·高一期末）已知是平面内所有向量的一组基，且，若，则________．
【答案】##2.4
【详解】解：因为，
又因为，
所以，解得，
所以
故答案为：
高频考点二：平面向量的坐标表示
典型例题
例题1．（2022·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）若向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
所以选项A正确，
故选：A
例题2．（2022·全国·高一课前预习）已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，为原点，设(其中)，则点位于（ ）
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】因为分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，，，所以可知点A位于第四象限.
故选：D
例题3．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期中（理））如图，在正方形中，为中心，且，则_________；_________；____________.

【答案】
【详解】，，，，，
，，.
故答案为：；；.
题型归类练
1．（2022·全国·高一课时练习）若向量与向量相等，则______， _________．
【答案】 3 1
【详解】向量，，而，于是得，解得，
所以.
故答案为：3；1
2．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一阶段练习）已知点，.
(1)求的值；
(2)若点满足，求点坐标.
【答案】(1)13
(2)
(1)，所以；
(2)设，
则，
所以，解得：，
所以点坐标为
3．（2022·全国·高一课前预习）如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标
【答案】答案见解析
【详解】， ，
， .
高频考点三：平面向量共线的坐标表示
角度1：由坐标判断是否共线
典型例题
例题1．（2022·四川·高三开学考试（理））设向量，，则“与同向”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，
当时，，同向；
当时，，反向.
故选：A．
例题2．（2022·北京二中高一阶段练习）已知向量，，则下列向量与平行的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由已知，
，，，，B选项中的向量满足条件，
故选：B.
例题3．（2022·重庆·酉阳土家族苗族自治县第三中学校高一阶段练习）已知向量，，则与（ ）
A．垂直B．平行且同向C．平行且反向D．不垂直也不平行
【答案】C
【详解】向量，，，因此，与平行且反向.
故选：C.
例题4．（多选）（2022·全国·高一单元测试）已知点，，与向量平行的向量的坐标可以是
A．B．C．D．(7，9)
【答案】ABC
【详解】由点，，则
选项A . ,所以A选项正确.
选项B. ,所以B选项正确.
选项C . ,所以C选项正确.
选项D. ,所以选项D不正确
故选：ABC
题型归类练
1．（2022·湖南张家界·高一期末）已知向量，，则与（ ）
A．平行且同向B．平行且反向C．垂直D．不垂直也不平行
【答案】B
【详解】根据题意可知，，即平行且反向.
故选：B.
2．（多选）（2022·全国·高一课时练习）下列向量中与共线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】向量，因，则与不共线，A不是；
因，则与不共线，B不是；
而，，则与都共线，即C，D是.
故选：CD
3．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）与向量平行的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】A选项，若，则，所以，A选项正确.
B选项，若，而，所以不平行，B选项错误.
C选项，若，而，所以不平行，C选项错误.
D选项，若，而，所以不平行，D选项错误.
故选：A
角度2：由向量平行求参数
典型例题
例题1．（2022·广东广州·一模）已知向量，，若，则实数的值是（ ）
A．B．C．1D．4
【答案】B
【详解】由得，所以
故选：B
例题2．（2022·四川泸州·高一期末）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，，
所以，解得.
故选：D.
例题3．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二开学考试）已知点，，若向量与共线，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】与共线，
，解得：.
故选：B.
题型归类练
1．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）已知且，则x等于（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，
解得.
故选：C.
2．（2022·北京·高一期末）已知向量，，且，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：因为，，且，
所以，解得.
故选：C
3．（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知向量，，若，则_________．
【答案】
【详解】因为向量，，
若，则有，解得，
故答案为：．
角度3：由坐标解决三点共线问题
典型例题
例题1．（2022·新疆·兵团第一师高级中学高一期末）已知三点在同一直线上，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】C
【详解】由题得,
由 三点共线，可得 ，故 ，
故选：C
例题2．（2022·全国·高一课时练习）向量，，．若三点共线，则的值为（ ）
A．B．1C．或11D．2或
【答案】C
【详解】解：由题可得：，
.
因为三点共线，所以，所以，整理得，解得或.
故选：C.
例题3．（2022·福建·三明一中高一阶段练习）已知，且，，三点共线，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【详解】由，可得，
由A，B，C三点共线，则，则，
解之得，
故选：C
例题4．（多选）（2022·广西河池·高一阶段练习）（多选题）已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数可以是（ ）
A．－2B．C．1D．－1
【答案】ABD
【详解】因为，
．
假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形.
故选：ABD．
例题5．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）已知向量，.
（1）若，求向量的坐标；
（2）若，，且，，三点共线，求的值.
【答案】（1）；（2）
【详解】(1)因为，所以，
又，，所以；
(2)因为，，三点共线，所以，所以存在实数，使得，
又与不共线，所以，解得.
题型归类练
1．（2022·江西九江·高一期末）已知向量．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，
∵，，，
∴，，
∴，解得.
故选：B．
2．（2022·新疆·和硕县高级中学高一期中）已知平面内的三点，若，，三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得，
因为，，三点共线，所以，得．
故选：A
3．（2022·河南南阳·高一期末）在平面直角坐标系中，，，，若A，B，C三点共线，则正数______．
【答案】
【详解】由题意可得 ，因为A，B，C三点共线，所以，进而 或
因为 ，所以 ，
故答案为：
4．（2022·广东广州·高一期末）已知，若A、C、D三点共线，则____________．
【答案】
【详解】，
由于三点共线，所以共线，
所以.
故答案为：
5．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习）已知，若B、C、D点共线，则实数a的值为____
【答案】
【详解】，若B、C、D点共线，
则有，解得.
故答案为：