(艺考)新高考数学二轮复习高频考点选填题型精讲精练专题09 指数对数的运算（2份，原卷版+解析版）

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考向：主要考查能够应用指数与对数的基本化简公式、能够熟练应用对数的换底公式与对数恒等式等
考点：指数运算、对数运算
导师建议：请掌握好指数对数的互化好吧，一考就有它，一考就有它！
二、知识点汇总
一、指数的运算
1、分数指数幂
①（，且） ②（，且）
2、根式
①②当为奇数时，；当为偶数时，
3、指数幂的运算
① ②
③ = 4 \* GB3 ④
二、对数的运算
1、对数的定义：如果，那么幂指数叫做以为底的对数.记作：,其中叫做底数，叫做真数.
2、指数式与对数式的互化:
3、对数的换底公式 : (,且,,且, )；
；.
4、对数恒等式：(,且, )； ；.
5、对数的四则运算法则:若，，则
①; ②;
③; ④
6、常用对数和自然对数
以为底的对数，叫做常用对数，简记为.以无理数为底的对数叫做自然对数，记作，简记为，其中.
【常用结论】
1、当为偶数时，
2、对数恒等式
3、
4、(标红了，看到没有！)
三、题型专项训练
①指数的运算
一、单选题
1．的值为（ ）
A．B．C．2D．4
2．化简：（ ）
A．0B．C．或0D．
3．化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
4．的化简结果为（ ）
A．2B．3C．4D．6
5．设，则下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．在① ；② ；③ ；④ ；⑤中，计算正确式子的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．（ ）
A．0B．1C．2D．4
8．（ ）
A．B．2C．1D．0
9．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（ ）
A．51.2%B．48.8%C．52%D．48%
10．针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，歼战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的（ ）倍.
A．B．C．D．
11．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（ ）
A．5.94万元B．1.18万元C．6.18万元D．0.94万元
②对数的运算
12． （ ）
A．4B．
C．D．
13．计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
14．设，则的值是（ ）
A．1B．2C．4D．9
15．的值为（ ）
A．2B．C．1D．
16．下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
17．函数，则=（ ）
A．B．0C．D．2
18．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
19．若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．3
20．成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道．线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，预计于2022年12月试运行．西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小．我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为：．若提速前列车的声强级是100dB，提速后列车的声强级是50dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ）
A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍
21．碳14的半衰期为5730年.在考古中，利用碳14的半衰期可以近似估计目标物所处的年代.生物体内碳14含量与死亡年数的函数关系式是（其中为生物体死亡时体内碳14含量）.考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的60%，由此可以推测到发掘出该生物标本时，该生物体在地下大约已经过了（参考数据：，）（ ）
A．2292年B．3580年C．3820年D．4728年
③指对数互化的运算
22．已知，则（ ）
A．B．C．D．
23．若，，则的值为（ ）
A．2B．1C．8D．3
24．方程的解是（ ）
A．1B．2C．eD．3
25．世界人口在过去​年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（ ）（参考数据​，​）
A．​B．​C．​D．​
26．历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间．对数运算对估算“天文数字”具有独特优势，已知，，则的估算值为（ ）
A．1000B．100000C．10000D．2500
27．叶广泥是一种相对新兴的物理吸附材料，有多孔隙结构特点的除甲醛材料，它有微小的孔隙能够收纳甲醛、甲苯等有害气体分子，因此是除甲醛的一种新材料，用来除甲醛基本上立竿见影．经研究发现，叶广泥除甲醛的量Q与叶广泥的质量m的关系是，当除甲醛的量为8个单位时，其质量m为多少个单位（ ）
A．2B．C．160D．6
28．科学家研究发现，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系是.据中国地震台网测定，2022年1月8日，11时24分在智利中部沿岸近海发生5.9级地震，1时45分在中国青海海北州门源县发生6.9级地震，设智利中部沿岸近海地震所释放的能量为，门源县地震所释放的能量为，则的近似值为（ ）
A．15B．20C．32D．35
29．声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/），一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，蝙蝠发出超声波的声强级为140dB，设蝙蝠发出的超声波的声强为，人能忍受的最高声强为，则=（ ）
A．10B．100C．1000D．10000
30．神舟十五号载人飞船搭载宇航员费俊龙､邓清明和张陆进入太空，在中国空间站将完成为期6个月的太空驻留任务，期间会进行很多空间科学实验.太空中的水资源极其有限，要通过回收水的方法制造可用水.回收水是将宇航员的尿液､汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用.净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质，要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据）
A．17B．19C．21D．23
④多选题
31．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
32．下列正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，且，则
33．已知函数，则使的可以是（ ）
A．B．C．D．
34．已知，则满足（ ）
A．B．
C．D．
35．已知，则a，b满足的关系是（ ）．
A．B．
C．D．
36．如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（ ）
A．野生水葫芦的面积每月增长量相等
B．野生水葫芦从蔓延到历时超过1个月
C．设野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有
D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度
37．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：℃），环境温度是（单位：℃），其中、则经过t分钟后物体的温度将满足（且）．现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值）
A．若，则
B．若，则红茶下降到所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是，k约为0.22
D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多
38．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：分）之间满足函数关系y＝f（t），其中（R为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．排气12分钟后，人可以安全进入车库
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
四、高考真题及模拟题精选
1．（安徽省合肥一六八中学2022届高三下学期5月最后一卷文科数学试题）方程的解是（ ）
A．1B．2C．eD．3
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022年浙江省高考数学试题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
4．（陕西省西安中学2022届高三下学期考前适应性考试理科数学试题）设、、都是正数，且，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
7．（云南省红河州2023届高三第一次复习统一检测（一模）数学试题）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式．现有一壶水温为92℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约需要（ ）分钟饮用口感最佳．（参考数据；，）
A．2.57B．2.77C．2.89D．3.26
8．（北京市顺义区2023届高三一模数学试题）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数．为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．若计算时取，则该蓄电池的常数大约为（ ）
A．B．C．D．
9．（广东省深圳市深圳实验学校光明部2023届高三上学期期中数学试题）质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）参考数据：
A．B．C．D．
10．（湖南省衡阳市2022届高三下学期三模数学试题）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．128B．130C．132D．134
11．（2022·全国·高一期末）下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，
D．若，则
12．（2022·广东佛山·校考模拟预测）已知，现有下面四个命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
13．（2022·全国·模拟预测）已知正数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2022·湖北·统考一模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
五、题型精练，巩固基础
1．（ ）
A．B．C．D．
2．下列结论中，正确的是（ ）
A．设则B．若，则
C．若，则D．
3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．计算：的值（ ）
A．0B．C．2D．3
5．下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．若，则（ ）
A．B．C．1D．
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
9．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为．已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ）
A．B．C．D．
10．区块链作为一种新型技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，若某个密码的长度设定为1024，则密码一共有种可能，为了破解该密码，计算机在一般状态下，最多需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么该计算机在一般状态下破译该密码所需的最长时间大约为（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
11．考古科学家在测定良渚古城遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在______年到5730年之间，则“______”为（参考数据：）（ ）
A．4011B．3438C．2865D．2292
12．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻，若，，，估计的值约为（ ）
A．0.2481B．0.3471C．0.4582D．0.7345
13．《中华人民共和国国家标准污水综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15mg/L．某企业生产废水中的氨氮含量为450mg/L，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，最少要进行循环的次数为（ ）（参考数据：，）
A．8B．9C．10D．11
14．国内首个百万千瓦级海上风电场－三峡阳江沙扒海上风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力．风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：，其中k为形状参数，x为风速．已知风速为1m/s时，F≈0.221，则风速为4m/s时，（参考数据：，）（ ）
A．0.920B．0.964C．0.975D．0.982
15．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度.假设在室内温度为的情况下，一杯饮料由降低到需要，则此饮料从降低到需要（ ）
A．B．C．D．
16．十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．