天津市西青区华诚中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份天津市西青区华诚中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
答题时间：50分钟，满分100分
一、单选题：本大题共10小题，共50.0分.
1. 化简等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量加法直接得到答案.
【详解】.
故选：D
2. 已知，，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量模的坐标表示，可直接得出结果.
【详解】因，，所以，
则.
故选：C.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，求出的值.
详解】向量，且，
所以，解得，
故选：B.
4. 直线的倾斜角为（ ）
A 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的一般式方程可求得直线的斜截式方程，再根据斜截式方程得出直线斜率，从而求出倾斜角.
【详解】由题意得，，
即直线的斜率为，
所以直线的倾斜角的正切值为，
则直线的倾斜角为.
故选：C.
5. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抛物线方程直接求出准线方程.
【详解】抛物线的准线方程是.
故选：B
6. 设，，向量，，，且，，则（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直和平行求得，进而求得.
【详解】由于，所以；
由于，所以；
所以，
所以.
故选：B
7. 设数列的前项和，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数列前项和与第项的关系求出.
【详解】数列的前项和，则.
故选：A
8. 等比数列前项和为，若，，，，则（ ）
A. 30B. 31C. 62D. 63
【答案】B
【解析】
【分析】先求等比数列的通项公式，再求.
【详解】因为数列为等比数列，且，，所以为递增数列.
，且，所以，，
所以，。
所以.
故选：B
9. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，然后根据空间向量的平行关系可求的值.
【详解】因为，所以直线l的方向向量与平面的法向量平行，
所以，解得；
故选：C.
10. 已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线的右焦点，则此抛物线的方程是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出双曲线的右焦点，然后即可求得抛物线方程.
【详解】由双曲线，得，所以右焦点，
又因为抛物线顶点在原点，焦点为双曲线的右焦点，所以，解得，
所以此抛物线的方程为.
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，共30.0分.
11. 已知向量，，．若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】由题可得

,即
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
12. 等差数列中，若，则的值为______．
【答案】20
【解析】
【分析】应用等差数列项性质计算求解.
【详解】因为数列为等差数列，又因为 ，即，
则 .
故答案为：20.
13. 已知直线的倾斜角为45°，且经过点，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
解方程即得解.
【详解】由题得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14. 已知三点三点共线，则实数的值为__________.
【答案】6
【解析】
【分析】依题意可得，根据斜率公式计算可得.
【详解】解：因为三点共线，
所以，即，解得；
故答案为：
15. 圆心为，半径等于的圆的一般方程是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆的标准方程，再化成一般方程.
【详解】依题意，该圆的方程为，即，
所以所求圆的一般方程为：.
故答案为：
16. 已知椭圆 的离心率 ，则 的值等于__________．
【答案】或
【解析】
【详解】当焦点在轴上时，，，，当焦点在轴上，解得或,故答案为或.
三、解答题：本大题共2小题，共20.0分.
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，即证；
（2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面的法向量，用向量的方法求二面角的余弦值．
【详解】（1）平面，平面，.
底面是矩形，，又，
平面，平面，
.
（2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示
则，
，
设平面的法向量，则
，即，令，则，.
设直线与平面所成的角为，则
.
所以与平面所成角的正弦值为.
（3）.
设平面的法向量，则
，即，令，则..
又平面的法向量.
设二面角的大小为，则为锐角，
，
所以二面角的余弦值为．
【点睛】本题考查线线垂直，考查用向量的方法求线面角和面面角，考查学生的运算能力，属于较难的题目.
18. 已知椭圆：（）的焦距为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得，，求出的值即可求解；
（2）设，的横坐标分别为，，，直线的方程为与椭圆方程联立，求出、，由弦长公式即可求解.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，，
解得：，，，
则椭圆的方程为：；
（2）过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线的方程为，
由可得：可得，
设，的横坐标分别为，，
可得，，
则
，
所以线段的长为.