陕西省汉中市2024-2025学年高一下学期开学质量检测 数学试题（含解析）

这是一份陕西省汉中市2024-2025学年高一下学期开学质量检测 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 完卷时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出和的解，根据充分必要条件的定义判定，即可求出结论,
【详解】得，得，
成立，则成立，
而成立，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题.
2. 若，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助中间量“”与“”比较大小即可.
【详解】由指数函数是减函数，
所以，且，故；
由对数函数在上是减函数，
所以，故；
又在上是增函数，
所以，故；
综上可知，.
故选：B.
3. 在内满足的的取值范围为（ ）．
A. ；B. ；
C. ；D. ．
【答案】A
【解析】
【分析】根据写出的取值范围，再结合求出对应的解集．
【详解】由余弦函数的图象与性质可知，
，则，
又，
或.
∴的取值范围为．
故选：A．
4. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可.
【详解】不等式有解，
，
，
，
当且仅当，等号成立，
，，，
实数的取值范围是．
故选：D．
5. 设函数是定义在R上的奇函数，当时，则的零点个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：时，由数形结合知，此时有一个零点．依据奇函数对称性知，时也有一个零点．又因为奇函数定义域为全体实数，所以，即过原点．因此共有3个零点．选C．
考点：函数零点问题，‚奇函数图像性质．
6. 函数部分图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数单调性的性质可排除BC；根据时，的奇偶性可排除D.
【详解】，
当和时，单调递增，单调递减，
在，上单调递减，可排除BC；
当时，，图象不关于轴对称，可排除D.
故选：A.
7. 数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若，，为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，.实际上任意实系数次方程都有类似结论.设方程的四个实数根为，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简多项式为标准形式，由类似结论直接求解.
【详解】由可得
，
所以，即，
由题中所给方法知，，，
故选：D
8. 定义在上的函数满足：①；②函数对任意的都有．则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定函数单调递增，设，代入计算得到，解得，计算得到答案.
【详解】，故函数在上单调递增，
，故存在唯一值满足条件，
即，，
当时满足，又函数在上单调递增，故是唯一解，
，.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据奇偶函数定义对各选项判断即可.
【详解】对于A，定义域，，，所以为非奇非偶函数，故A错误；
对于B，定义域，,所以偶函数，故B正确；
对于C，定义域，，所以奇函数，故C错误；
对于D，定义域，,所以偶函数，故D正确；
故选：BD
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题，则命题的否定是
B. 与不同一个函数
C. 定义在上的函数为奇函数的充要条件是
D. “且”是“”的充分不必要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】特称命题的否定需要特称改全称，结果变否定，判断A选项；两个函数如果定义域相同表达式相同则为同一函数，判断B选项；充分必要条件的判定：，则是的充分条件；，则是的必要条件条件；判断C，D选项.
【详解】A选项：命题，则命题的否定是，A选项错误；
B选项：定义域：，定义域：，定义域不同，与不是同一个函数，B选项正确；
C选项：定义在上的奇函数在0处函数值为0，但在0处函数值为0的函数不一定是奇函数；所以他们不是充要条件的关系，C选项错误；
D选项：当且时，成立，满足充分条件；当时，且不成立，例如，，不满足必要条件；所以“且”是“”的充分不必要条件，D选项正确.
故选：BD.
11. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则（ ）
A. 是奇函数B. 是增函数
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出，令可判断A；不妨设可得，根据是奇函数可判断B；令可得，根据单调性可判断CD.
【详解】对于A，令，则；令，则，
为奇函数，故A正确；
对于B，不妨设，则，
，在为增函数，又是奇函数，
在为增函数，故B正确；
对于CD，令，，则，，
故C错误D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则___________.
【答案】-2
【解析】
【分析】由函数解析式，直接代入求解.
【详解】因为，
所以
故答案为：-2
13. 对于集合，定义，且，，设，则_______
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数最值求出集合，再利用给定的定义求出结果.
【详解】由，得，当且仅当时取等号，则，
而，于是，，
所以.
故答案为：
14. 设x，y为实数，且满足，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】构造函数，分析判断其单调性与奇偶性，从而由题设条件得到，进而得解.
【详解】依题意，设，其定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
又，则为奇函数，
因为，所以，
即，所以，
因为在上单调递增，所以，即有.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.4
15. 已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）求能使成立的实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求出集合A，进而可以求解；
（2）由题可知，然后根据子集的定义建立不等式关系，即可求解．
【小问1详解】
当时，集合，，
所以，.
【小问2详解】
由，可知，
则，解得，
故实数的取值范围为．
16. 某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
据上述数据描成的曲线如图所示，该曲线可近似的看成函数的图象．
（1）试根据数据表和曲线，求的解析式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？
【答案】（1）；（2）至或至.
【解析】
【分析】（1）根据数据，可得，由，可求，从而可求函数的表达式；
（2）由题意，水深，即，从而可求t的范围，即可得解；
【详解】解：（1）根据数据，可得，
，，
，
，
函数的表达式为；
（2）由题意，水深，
即，
，
，，，1，
，或，；
所以，该船在至或至能安全进港．
17. 设函数，其中，已知.
（1）求的最小正周期；
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先根据三角恒等变换的知识化简的解析式，根据求解出的值，然后最小正周期可求；
（2）根据图象平移求解出的解析式，采用整体代换的方法求解出在的最小值.
【详解】（1）因，
所以，
因为，所以，所以，
所以，又，所以，所以；
（2）因为 ，将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得，
将图象向左平移个单位可得，
因为，所以，
所以，此时，
所以的最小值为.
【点睛】思路点睛：求解形如在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：
（1）先确定这个整体的范围；
（2）分析在（1）中范围下的取值情况；
（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的的取值.
18. 已知定义在上的函数是奇函数.
（1）求a，b的值；
（2）判断并证明函数在定义域中的单调性；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质列方程，解方程即可；
（2）根据单调性的定义判断和证明；
（3）根据奇函数的性质将不等式转化为，然后根据单调性列不等式，得到，最后求最值即可.
【小问1详解】
由题意得，解得，
，所以.
【小问2详解】
在定义域中单调递减，证明如下：
设，，
则
，
因为，所以，，即，
所以在定义域中单调递减.
【小问3详解】
不等式可整理为，
即，
因为单调递减，所以，即对于恒成立，
则，
当时，取得最小值，
所以的取值范围为.
19. 已知函数，若的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）若函数在上有三个不同零点，，，且．
①求实数取值范围；
②若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，根据题意求解即可；
（2）①根据（1），利用换元法，结合二次函数根的分布分情况讨论即可，②设，为方程的两个不相等的实数根，由①可求得，的取值范围，根据，结合三角函数的性质和三角恒等变换求得，的关系，根据韦达定理求解，，代入，的关系式中，即可求得的取值范围.
【小问1详解】
因为的最小正周期为，所以，即，
所以；
【小问2详解】
①由（1）知，
由，可得，
令，则，，
若函数在有三个零点，
即在有三个不相等的实数根，
也就是关于的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，
或一个实根是，另一个实根在，
当一个根在，另一个实根在，
所以，即，解得：，
当一个根为时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意，
当一个根是，即，解得，此时方程为，所以，不合题意，
当一个根是，另一个实根在，由得，此时方程为，解得或，这两个根都不属于，不合题意，
综上的取值范围是；
②设，为方程的两个不相等的实数根，则，
由①知，，，
所以，即，
，所以，即，
由得，所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
又，且，所以，
所以，
整理得，因为，所以，
解得或，又，所以，
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：本题考查三角恒等变换，函数零点问题；先进行三角恒等变换，由最小正周期为，可求解的值，得到的解析式，把函数零点问题转化为方程的根的问题，利用换元法转化为二次方程根的分布问题；利用已知条件通过变形得到，的关系，利用韦达定理把，用表示，代入关系式求解.
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0