山西省晋中市山西现代双语学校南校2024-2025学年高二下学期开学检测 数学试题（含解析）

这是一份山西省晋中市山西现代双语学校南校2024-2025学年高二下学期开学检测 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线标准方程类型可直接得出焦点坐标.
【详解】根据抛物线标准方程为可得其焦点坐标为.
故选：B
2. 渐近线方程为的双曲线的离心率是
A. B. 1
C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得，所以c
则该双曲线的离心率为 e，
故选C．
【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
3. 若直线：的倾斜角为，则实数值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线方程可得斜率，利用斜率与倾斜角的关系，可得答案.
【详解】由直线，则该直线的斜率，
由题意可得，解得.
故选：C.
4. 椭圆与，且的（ ）
A. 长轴长相等B. 短轴长相等
C. 焦距相等D. 离心率相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，结合选项计算即可求解.
【详解】对应椭圆，，所以，
所以该椭圆的长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为；
对于且），则，
该方程表示的是焦点在轴上的椭圆，
，所以，
长轴为，短轴为，
所以该椭圆的焦距为，离心率为，
所以两个圆锥曲线的的焦距为，故C正确.
故选：C
5. 在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ）
A. 10B. 100C. 110D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】利用结论：在等差数列中，其前n项和为，则数列也为等差数列，再求出的通项，代入即可.
【详解】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为，
则，则，又因为，
所以，所以，所以.
故选：B.
6. 已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的值，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标.
【详解】设点、，线段的中点为，则，
由题意，椭圆的离心率为，可得，
因为、关于直线对称，且直线的斜率为，
则，
将点、的坐标代入椭圆方程可得，
上述两个等式作差可得，
可得，即，即，
即，①
又因为点在直线上，则，②
联立①②可得，故线段的中点为.
故选：C.
7. 过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由题可知A（－1，0），所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=－bx或y=bx，
联立y=x+1和y=－bx得B的横坐标为，
同理得C的横坐标为，
∵|AB|=|BC|，∴B为AC中点，
有，
即有－，解得b=3或0（舍去0）
所以e=，故选A．
点评：中档题，结合图形特征，分析得到坐标关系，从而建立了b的方程，使问题得解．
8. 已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案.
【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，

则①，即，
由余弦定理得，
，故，②
联立①②，解得：，
而，所以，
即，
故选：B
【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线l：和圆O：，则（ ）
A. 直线l恒过定点
B. 存在k使得直线l与直线：垂直
C. 直线l与圆O相交
D. 直线l被圆O截得的最短弦长为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.
【详解】对A，由可得，，
令，即，此时，所以直线l恒过定点，A错误；
对B，因为直线：的斜率为，所以直线l的斜率为，即，
此时直线l与直线垂直，满足题意，B正确；
对C，因为定点到圆心的距离为，
所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，C正确；
对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为，
此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误；
故选：BC.
10. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是递增数列B.
C. D. 中最大的是
【答案】BD
【解析】
【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式求得的范围可判断AC；进而得可判断B；利用可判断D，从而得解.
【详解】对于AC：因为，
且，
所以，，又因为，
所以，解得；
所以等差数列是递减数列，故AC错误；
对于B：因为，所以，故C正确；
对于D：因为等差数列是递减数列，
且，，则，，
所以，，故D正确.
故选：BD.
11. 已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若直线的斜率为，则
B. 的最小值为
C. 若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为
D. 若点，则的周长最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出抛物线的方程，得焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立方程组应用韦达定理求弦长判断A，再根据韦达定理得出焦点弦的性质，然后利用基本不等式求解后判断B，作出大致图象，过点作准线的垂线，结合抛物线的定义判断C，过作准线的垂线（是垂足），写出三角形的周长，结合抛物线的定义转化后得出不等关系，从而可得最小值判断D．
【详解】抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，
则第一象限内的交点的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为1，即，
所以，，即抛物线方程为，焦点为，
对选项A，设直线方程为，由得，
设，则，，
，
直线的斜率为时，，所以，A错误；
对选项B，由抛物线定义得
，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因此的最小值为，B正确；
对选项C，如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点，过作轴垂线，垂足为，
则，是梯形的中位线，
由抛物线定义可得，
所以，
所以以为直径的圆与轴相切，
因此为切点，所以点纵坐标为1，
又是中点，所以点纵坐标为2，
而是抛物线上的点，因此其横坐标为1，C正确；

对选项D，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，
所以的周长为，
当且仅当点的坐标为时取等号（即与准线垂直），D正确．
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知数列是等比数列，满足，数列是等差数列，且，则等于__________.
【答案】8
【解析】
【分析】先应用等比数列性质得出，再应用等差数列性质求解即可.
【详解】数列是等比数列，满足，则，且不是0，所以，
数列是等差数列，且，则.
故答案为：8.
13. 若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为____________.
【答案】50
【解析】
【分析】利用等差数列片段和性质有为等差数列，应用等差中项的性质求即可.
【详解】由等差数列片段和性质知：为等差数列，
所以，则，
所以.
故答案为：
14. 已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，得到，得到离心率.
【详解】连接，由题意得，，
又，所以四边形为矩形，故，
所以，故，
又，由勾股定理得，
即，，
故，即，故，
解得，
又上存在关于坐标原点对称的两点，使得，故，
所以，即，所以，，解得，
综上，的离心率的取值范围是.

故答案为：
【点睛】方法点睛：离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).
四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若．
（1）求点的坐标以及抛物线方程；
（2）若点与关于点对称，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由抛物线过点、求出可得答案；
（2）求出点坐标，由可得答案．
小问1详解】
因为抛物线过点，则①，又，
且焦点为，即②，
结合①②解得(舍)，或，
即；
【小问2详解】
当时，，则，
所以．
16. 在公差为的等差数列中，已知，且．
（1）求公差和通项公式；
（2）若，求．
【答案】（1）或；或；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据，，利用“” 法求解；
（2）由（1）得，，然后分和 求解.
【详解】（1）因为，
所以，
解得或．
故或．
（2）因为，所以由（1）得，，
设数列的前项和为，则．
当时，；
当时，．
综上所述，
17. 在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角.
（1）求证：；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；
（3）求平面POB与平面PAB夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明出，平面ABCD，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系；
（2）求出平面的法向量，利用线面角求解公式得到答案；
（3）求出两平面法向量，求出面面角的余弦值.
【小问1详解】
因为，O为CD的中点，
所以．
又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，
所以平面ABCD．
因，，，所以．
取的中点，连接，则⊥，
以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
，，
因为，
所以．
【小问2详解】
设平面PAB的一个法向量为，
则，即，
解得，令，则，则．
设直线PC与平面PAB所成的角为，
又，
则，
所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为．
【小问3详解】
设平面POB的一个法向量为，
则，即，
解得，令，则，故．
设平面POB与平面PAB的夹角为，
则．
故平面POB与平面PAB的夹角的余弦值为．
18. 如图，已知椭圆的上顶点为,离心率为，若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）直线过定点.
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据条件得到解出即可；（Ⅱ）直线的方程为直线的方程为，联立直线AP和椭圆方程，得到的坐标为，进而得到 ，写出直线l的方程进而得到所过的定点.
【详解】（Ⅰ）依题意有
故椭圆的方程为
（Ⅱ）由知,从而直线与坐标轴不垂直,
由可设直线的方程为，
直线的方程为.
将代入椭圆的方程并整理得:,
解得或,因此的坐标为,
即
将上式中的换成,得 .
直线的方程为
化简得直线的方程为，
因此直线过定点.
【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.
19. 已知双曲线的右焦点为，离心率为．
（1）求的标准方程；
（2）已知点是上任意一点，直线是在点处切线，点是上异于点的动点，且过点与（为坐标原点）平行的直线交于两点，定义为双曲线在点处的切割比，记为，求切割比．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的几何性质求的值，写出的标准方程；
（2）先求出切线方程，结合两直线方程求出，再利用根与系数的关系、两点间距离公式求出、，根据切割比定义求解.
【小问1详解】
因为双曲线的右焦点为，所以，
所以离心率为，所以，，
故的标准方程为．
【小问2详解】
由题意知，显然在点处的切线的斜率存在，
设在点处的切线方程为，即，
代入，消去得，
因为与相切，所以，解得．
所以在点处的切线方程为．
易知直线的斜率，
可设直线的方程为，，．
由方程组，解得，
所以点的坐标为，所以．
由方程组，消去可得，
则Δ2=−42m2+4×8m2+1=64m2+32>0，
所以，，
所以，
同理可得，
所以
，
所以，即．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定值问题解题步骤
（1）选取变量：设点的坐标、直线的方程，设直线方程时注意斜率不存在的情况；
（2）代换变量：联立方程，写出判别式，得到根与系数的关系；
（3）表达变量：根据所求定值问题，表示出斜率、弦长、面积等；
（4）解出定值：最后通过消参得到所求定值．