宁夏回族自治区青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份宁夏回族自治区青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的性质得到，再利用并集得到，得到答案.
【详解】因为,,故，
故选：D.
2. （ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】∵，∴.
故选：C.
3. “是第四象限角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合三角函数的定义检验充分必要性即可求解．
【详解】当是第四象限角时，，则一定成立，即充分性成立；
当时，与异号，此时为第三或第四象限，即必要性不成立，
所以“是第四象限角”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数型函数恒过定点得到定点，再根据点在角的终边上，由三角函数的定义得，即可得到答案.
【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则，点，点在角的终边上，.
故选：D.
5 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数及正弦函数性质比较大小.
详解】依题意，，
所以.
故选：C
6. 已知函数，则的单调减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复合函数性质直接可得单调区间.
【详解】由已知函数，解得，
即函数定义域为，
设，则，
又在上单调递减，在上单调递增，
且在定义域内单调递增，
综上所述在上单调递减，在上单调递增，
即函数的单调递减区间为，
故选：C.
7. 下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数定义域的特点先判处BD，再根据函数的奇偶性排除A.
【详解】因为函数的定义域为，，所以函数在其定义域不具有单调性，故B不合题意；
因为函数的定义域为，函数在其定义域不具有单调性，故C不合题意；
对A：，所以为偶函数，故A不合题意；
对C：对函数，由，得函数的定义域为，
，所以函数为奇函数，
因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，故D符合题意.
故选：C
8. 将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】先根据平移得出，再应用函数是奇函数得出进而求出最小值即可.
【分析】根据题意可得：
为奇函数，
，
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，且，则下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据指数幂运算以及对数的性质逐项分析判断即可.
【详解】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D正确；
故选：BD.
10. 下列各式计算结果为的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用二倍角公式以及两角差的正切公式逐个计算出各选项中代数式的值，即可得解.
【详解】对于A选项，，A满足；
对于B选项，，B不满足；
对于C选项，，C不满足；
对于D选项，，D满足.
故选：AD
11. 下列说法正确的时（ ）
A. 若，则
B. 如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
C. 的值域为
D. 函数的零点为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据不等式的性质、幂函数、指数函数的值域、函数的零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，则，所以，所以A选项正确.
B选项，幂函数图象过，若偶函数，必过，所以B选项正确.
C选项，由于，所以，
所以的值域为，所以C选项正确.
D选项，函数的零点为，D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上
12. 已知函，若，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案.
【详解】由，可得，
即，也即，
且，，
两边取对数得：，解得.
故答案为：.
13. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为________.

【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为扇形的院校为，
又因为，，
所以，该扇环形砖雕的面积为.
故答案为：.
14. 若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】根据条件分析函数的性质，结合函数简图分类讨论可解不等式.
【详解】由题意得，，，函数在上单调递增，
函数的图象大致如下：
∵，∴或，
当时，或，解得，
当时，或，解得，
综上得，满足的x的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的性质画出简图，根据函数图象分析讨论可解不等式.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算：；
（2）计算：；
（3）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）8
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可.
（2）（3）利用指数和对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）由，可得
所以
16. 已知函数.
（1）在坐标系下画出函数的图象;
（2）求使方程的实数解个数分别为时的相应取值范围.
【答案】（1）作图见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据基本初等函数的性质即可作出图象，
（2）利用函数图象的交点个数即可结合图象求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
方程的实数解个数等价于函数与图象交点个数
∴个数为1时，的取值范围为;
个数为2时，的取值范围为或;
个数为3时，的取值范围为.
17. 若都是锐角，
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数关系，求出，再利用正弦的差角公式求出答案；
（2）利用二倍角公式得到，再利用正弦的差角公式求出答案.
【小问1详解】
因为都是锐角，，
所以，
故，
则；
【小问2详解】
由（1）知：，
故，
所以.
18. 已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）当时求的范围；
（3）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）最小正周期为；
（2）；
（3）最大值为1，最小值为.
【解析】
【分析】（1）根据周期公式直接代入求解即可；
（2）根据函数，的单调性求取值范围即可；
（3）根据第（2）问结论，再利用整体代换法求其最值即可.
【小问1详解】
，；
【小问2详解】
对于函数单调递增，
，；
【小问3详解】
由（2）知，令，
则对于，根据正弦函数的图象得：
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，；当时，；
19. 已知．
（1）求的最小正周期与单调递增区间；
（2）已知，角的终边与单位圆交于点，求．
【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，从而利用求出最小正周期，并整体法求出单调递增区间；
（2）根据及求出，结合三角函数定义得到，由余弦二倍角公式求出答案.
【小问1详解】
，
故的最小正周期为，
令，，解得，，
故单调递增区间为
【小问2详解】
，即，
因为，所以，
故，解得，
角的终边与单位圆交于点，故，
所以
.
20. 设函数．
（1）若，求的值．
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）.
（2）条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【解析】
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【小问1详解】
因为
所以，
因为，所以.
【小问2详解】
因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．