广西壮族自治区2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设是椭圆上的动点，则点到的两个焦点的距离之和为（ ）
A．80B．10C．20D．40
2．若直线与直线平行，则（ ）
A．3B．C．-1或3D．1
3．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．方程表示的曲线是（ ）
A．一个点B．一个点和一条直线C．一条直线D．两条直线
5．已知数列满足，设的前项和为，则（ ）
A．1B．0C．D．2025
6．已知双曲线的一条渐近线截圆所得弦长为2，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
7．若原点到直线的距离为2，点到直线的距离为3，则符合题意的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
8．已知数列满足，设数列的前项和为，若，，成等差数列，则（ ）
A．10B．11C．12D．13
二、多选题
9．已知直线的倾斜角为，则（ ）
A．
B．直线在两坐标轴上的截距相等
C．为直线的一个方向向量
D．直线关于轴对称的直线的方程为
10．如图，在正方体中，点在平面内，设直线与直线所成的角分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是与的等差中项
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．若，则
11．已知是抛物线上不同的动点，为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，线段的中点为，则（ ）
A．当时，的最大值为32
B．当时，的最小值为22
C．当时，直线的斜率为
D．当三点共线时，点到直线的距离的最小值为14
三、填空题
12．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 ．
13．已知两定点，若动点满足，则点的轨迹所围成的图形的面积等于 ．
14．已知在正四棱锥中，，点是该正四棱锥内切球球面上的动点，则正四棱锥的体积为 ，的最小值为 ．
四、解答题
15．已知正项等比数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．已知点在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程．
17．如图，在直四棱柱中，，，，为的中点．

(1)证明：平面平面．
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知抛物线，圆的圆心为抛物线的焦点，直径等于抛物线的焦点到准线的距离．
(1)求圆的标准方程．
(2)试判断点与圆的位置关系．
(3)设为坐标原点，点，过点作斜率为的直线交圆于、两点，其中，过点作斜率为的直线与线段交于点，点满足．证明：直线过定点．
19．已知椭圆的短轴长为，且离心率为.
(1)求C的方程.
(2)过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点.
①证明：为定值.
②求面积的取值范围.
《广西壮族自治区2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题》参考答案
1．D
【分析】根据椭圆方程可知，结合椭圆的定义分析求解.
【详解】由椭圆方程可知：椭圆的长半轴长为，
所以点到的两个焦点的距离之和为．
故选：D.
2．B
【分析】根据直线平行的条件列式求解，即得答案.
【详解】由题意可得且，解得，
故选：B.
3．D
【分析】求出两向量的数量积，根据投影向量的定义，即可求得答案.
【详解】由题意得，
则向量在向量方向上的投影向量为．
故选：D
4．D
【分析】由已知可得或，可得结论.
【详解】由方程，得或，
所以方程表示的曲线是直线和直线．
故选：D.
5．A
【分析】由题意可知是周期为4的周期数列，即可求解.
【详解】由，得，即是周期为4的周期数列，
且，
所以．
故选：A
6．C
【分析】根据点线距公式和几何法求弦长公式建立关于的方程，解方程，结合离心率的概念计算即可求解.
【详解】根据双曲线的对称性，不妨设的一条渐近线的方程为，
则圆心到渐近线的距离为，
又，所以，
解得，故．
故选：C
7．B
【分析】先把距离转化为直线到圆的距离，再结合圆与圆的位置关系得出公切线的个数即可.
【详解】根据题意可得直线与圆相切，
与圆相切，则直线为圆与圆的公切线．
因为，所以圆与圆相交，
故圆与圆有2条公切线，即符合题意的直线有2条．
故选：B.
8．B
【分析】由累加法可求得，进而利用裂项相消法可求的前项和，进而结合已知可得，求解即可.
【详解】因为，且，
所以当时，．
因为也满足，所以．
因为，
所以．
若成等差数列，则，即，得．
故选：B.
9．ABD
【分析】利用直线的倾斜角为，可求判断A；求得直线与两坐标轴上的截距判断B；利用直线的斜率可求得直线的一个方向向量判断C；求得点（2，0）关于轴对称的点的坐标为，可求直线的方程判断D.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以，解得，故A正确．
直线在两坐标轴上的截距均为2，故B正确．
由方程，可得直线的一个方向向量为，故C错误．
直线过点，因为点（2，0）关于轴对称的点的坐标为，
所以直线经过点，故直线关于轴对称的直线的方程为，故D正确．
故选：ABD.
10．ABD
【分析】应用平行线计算得出异面直线所成角判断A，建系空间向量法计算向量垂直判断B，应用线面角公式计算C，应用点在平面内计算求参判断D.
【详解】
因为，所以直线与直线所成的角，A正确．
因为，所以四边形是平行四边形，所以，
直线与直线所成的角，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系．
设，则，
则，得，
所以，则，所以是与的等差中项，B正确．
，
设平面的法向量为，得
取，设直线与平面所成的角为，
则，C错误．
由，得，
因为点在平面内，所以，解得，D正确．
故选：ABD.
11．ACD
【分析】利用抛物线的定义，结合线段和差关系求出的最大值判断A；利用抛物线的定义转化，结合几何图形求出最小值判断B；利用点差法求出直线的斜率判断C；设出直线的方程并与抛物线联立，求出最小值即可判断D.
【详解】设．因为，
所以当三点共线时，有最大值32，故A正确；
因为点在抛物线内侧，准线为，过作于，
由抛物线的定义可得，所以，
的最小值为点到准线的距离，所以，故B错误；
由，得，
所以，故C正确；
当三点共线时，点到直线的距离，
设直线的方程为，，
由，消去得，，
所以，则
，
所以当时，，所以，故D正确．
故选：ACD.
12．
【分析】由题意可得，求解即可.
【详解】由方程表示焦点在轴上的双曲线，
所以，解得，所以的取值范围是．
故答案为：.
13．
【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，进而求出面积.
【详解】设，则，整理得，
因此点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
所以点的轨迹所围成的图形的面积等于.
故答案为：
14． /
【分析】求出几何体的高后可求它的体积，利用数量积的运算律可得，求出的最小值后可得数量积的最小值.
【详解】连接，设与交于点，连接，则底面．
由题意得，该正四棱锥内切球的球心在上，，
所以，则该正四棱锥的体积．
设正四棱锥内切球的半径为，
则，解得．
设的中点为，则，
当的长度最小时，取得最小值．
因为，
所以，则的长度最小为，
则，所以，
即的最小值为．
故答案为：，.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列通项公式，结合已知条件求出公比，进而得到通项公式；（2）先写出数列的表达式，再利用错位相减法求出前项和.
【详解】（1）设正项等比数列的公比为（），等比数列通项公式为.
已知，，由通项公式可得，.
那么，等式两边同时除以得，即.
解得或，因为，所以.
则数列的通项公式为.
（2）由（1）知，则.
所以 ①
两边同时乘以得： ②
① - ②得：

是首项为，公比为的等比数列的前项和，根据等比数列求和公式（这里，）可得：
.
所以.
两边同时乘以得.
16．(1)
(2)或
【分析】（1）将点代入双曲线方程求解即可；
（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程，联立双曲线方程可得，分类讨论与两种情况，求出的值即可.
【详解】（1）因为点在双曲线上，所以，
解得，
所以双曲线的标准方程为．
（2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线没有交点，不符合题意；
设直线的斜率为，则直线的方程为．
由消去得：，
当，即时，方程只有一个解，
此时直线与双曲线只有一个公共点，符合题意，直线的方程为．
当时，由，解得，
此时直线的方程为．
综上，直线的方程为或.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）应用线面垂直判定定理证明，再应用面面垂直判定定理即可证明；
（2）应用空间向量法，分别求出法向量，再应用公式计算二面角余弦值即可.
【详解】（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以平面，
因为平面，所以．
又因为，所以，
平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）四棱柱为直四棱柱，得平面，平面，
所以，因为平面，
所以平面，平面，
则，
所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为，所以，，，，．
设平面的法向量为，
取．
设平面的法向量为，取．
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18．(1)
(2)点在圆的内部
(3)证明见解析
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，以及其焦点到准线的距离，可得出圆的圆心坐标和半径，进而可得出圆的标准方程；
（2）根据点与圆的位置关系可得出结论；
（3）将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，根据可求出点的坐标，可求出直线，并化简直线的方程，由此可得出直线所过定点的坐标.
【详解】（1）因为抛物线的焦点坐标为，焦点到准线的距离为，
所以圆的圆心坐标为，半径为，故圆的标准方程为
（2）因为，所以点在圆的内部．
（3）设直线的方程为，即，

由得，
，解得或，
由韦达定理可得，.
易得直线的方程为，将代入，得，则．
由，得点是线段的中点，则，
所以，
则直线的方程为，
即
因为，
，
，
所以，所以直线的方程为.
则直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
19．(1)；
(2)①证明见解析；
②.
【分析】（1）利用椭圆参数的关系即可求解椭圆方程；
（2）①利用设的直线与椭圆联立方程组，利用纵坐标与斜率关系计算线段长度，，即可得到线段之积与直线系数的关系，同理计算出，再作比值，即可得到定值；
②利用弦长公式和面积公式可计算出，再利用换元法,化归到对钩函数来求值域即可.
【详解】（1）由已知得，
因为，又由，
可解得，
所以椭圆方程为：.
（2）
①设斜率不为0的直线的方程为，
联立直线和椭圆方程可得，化简得，
由于椭圆与直线交于两点，，
因此，所以或，
根据韦达定理可得，，
又因为，，
因此，
令的方程为，椭圆与直线交于两点，
联立直线和椭圆方程，化简得，
同理：，，
，
因此（为定值）．
②由于，又由于，
因此，
化简可得，设，由于，因此，
因此，
又由于当时，，因此，
因此，
所以面积的取值范围为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
D
A
C
B
B
ABD
ABD
题号
11









答案
ACD