广西南宁市第三十三中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份广西南宁市第三十三中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
姓名：______班级：______考号：______
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 直线的倾斜角是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】直线为，
倾斜角，，
故选．
2. 已知直线，直线，若，则实数（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线一般式中垂直满足的关系即可求解.
【详解】由已知，若，则，解得.
故选：B.
3. 设是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A. 24B. 36C. 42D. 108
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列中片段和的性质即可求解.
【详解】根据，，可知数列的公比不为1，
且成等比数列，即成等比数列，故，
故，
故选：C
4. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解.
【详解】由题意，，，，
则空间向量在向量方向上的投影数量为.
所以所求投影向量的模长为2.
故选：A
5. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理求解即可.
【详解】设则

，则，得,
解得：则双曲线的渐近线方程为
故选：C.
6. 已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】求得圆心到直线的距离，根据题意可得，求解即可.
【详解】由圆，可得圆心，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
由圆上至少有3个点到直线的距离为1，
所以.
故选：A.
7. 如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，利用空间向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设，
，
.
，.
，
异面直线与所成角的余弦值.
故选：D
8. 函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是一对优美的双曲线.在数列中，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则当时（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得，利用裂项的思想整理可得，进而可得，即可得结果.
【详解】由题意可得：，，
则
，
可得，
又因为为递增数列，且，
所以当，可得.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用裂项的思想整理可得，即可得结果.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分．
9. 已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用空间向量基底的意义逐一分析各选项中的三个向量是否共面即可得解.
【详解】对于A，因为，则三个向量共面，它们不能构成一个基底，故A不符合题意；
对于B，假设共面，则必有不全为0的实数，
使得，又不共面，
则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故B符合题意；
对于C，假设共面，则必有不全为0的实数，
使得，又不共面，
则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故C符合题意；
对于D，假设共面，则必有不全为0的实数，
使得，又不共面，
则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故D符合题意.
故选：BCD
10. 设为实数，若直线的方程为，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线恒过点
B. 若直线在轴上的截距为2，则
C. 存在使直线经过坐标原点
D. 坐标原点到直线的最大距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合直线系方程检验选项A，C，结合直线截距概念检验选项B，结合点到直线的距离检验选项D．
【详解】若直线的方程为，即，
则，解得，，即直线恒过，A正确，符合题意；
把代入直线的方程为可得，B正确，符合题意；
当，时，显然矛盾，C错误，不符合题意；
由可知，
故原点到直线的距离，D正确，符合题意．
故选：ABD．
11. 已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆关于直线对称
B. 若圆关于反射光线对称，则入射光线所在直线的方程为
C. 若反射光线与圆相切，则这条光线从点到切点所经过的路程为
D. 存在两条反射光线与圆相切
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A：判断该直线是否过圆心即可得；对B：判断该直线是否过点及圆心关于轴对称的点即可得；对C：借助切线的性质及两点间距离公式计算即可得；对D：借助切线的性质计算即可得.
【详解】对A：由可知圆心为，
直线过点，故圆关于直线对称，故A正确；
对B：若圆关于反射光线对称，则反射光线过圆心，
即入射光线过点及圆心关于轴对称的点，
当时，，故点不在上，
即入射光线所在直线的方程不为，故B错误；
对C：反射光线必过点关于轴对称的点，
且从点到切点所经过的路程与到切点所经过的路程相等，
由切线性质可得该路程为，故C正确；
对D：设反射光线的方程为，即，
则有，即，
，故该方程有两个不同解，
即存在两条反射光线与圆相切，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 抛物线的焦点到准线的距离为______．
【答案】2
【解析】
【分析】由抛物线方程可得抛物线的焦点和准线，即可得解.
【详解】由题意知该抛物线的焦点为，准线方程为，
故焦点到准线的距离为2．
故答案为：2.
13. 函数在点处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由导数的几何意义即可得到结果.
【详解】由题意可知，，则切点为，因为，则，
所以在点处的切线斜率为，则切线方程为，即
故答案为：
14. 如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】作图，取的中点并连接，得到，，从而求出直线的斜率，设，，利用点差法得到的值，再根据离心率的公式计算即可得结果.
【详解】如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接，
由双曲线的对称性可知为线段的中点，则，所以．由直线的斜率，得，
则直线的斜率．
设，，则两式相减，得，化简得，即，
所以该双曲线的离心率．
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题主要用到了点差法，即利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出两交点的中点坐标和直线斜率的关系，然后再结合题中的相应条件建立等式便可解决问题.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆，是直线上的一动点，过点作圆的切线，当点的横坐标为2时，求切线的方程．
【答案】或；
【解析】
【分析】由圆的方程可求得圆心与半径，利用点在直线上求得点的坐标，分过点的切线斜率是否存在两种情况讨论可求得切线方程；
【详解】由圆，可得圆心，半径，
点在直线上，且点的横坐标为2,故点的坐标为，
①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，；
②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为，
即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：，
，
此时切线方程为，得，
切线方程为或；
16. 在平面直角坐标系中，动点C到点的距离与到直线的距离相等.
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）若直线与动点C的轨迹交于P，Q两点，当的面积为2时，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）或或.
【解析】
【分析】（1）结合抛物线的定义即可求解；（2）联立直线与抛物线，结合韦达定理及弦长公式和三角形面积公式即可求解.
【小问1详解】
由题知，动点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线.
动点C的轨迹方程为.
小问2详解】
设，
由消去x，得.
由，得.
，.
由的面积，
.
，即.
，
或.
直线l的方程为或或.
17. 如图，在三棱台中，平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作交于点，根据题意得到，再根据余弦定理得到，进而有平面，由此得证；
（2）以为原点，、分别为轴、轴正向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面夹角的余弦.
【小问1详解】
因为平面，平面，所以，
作交于点，
在等腰梯形中，，，所以
在中，，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，从而有，
又平面，所以平面，
【小问2详解】
以为原点，、分别为轴、轴正向，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
，，
因为平面，
所以为平面的一个法向量．
设为平面的法向量，
则，即
取，，，则
依题意，，
所以平面与平面夹角的余弦值为
18. 已知等差数列的前项和为，且，.
（Ⅰ）证明：是等差数列；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为， ，由，得，，求出，利用定义法即可判断；
（II）由得，由数列乘公比错位相减法求和即可.
【详解】设等差数列的公差为，，则，解得.
所以，解得，所以.
所以.所以.
因为当时，,当时，,
故是首项为，公差为的等差数列.
（II）由可知，故.
故.

两式相减可得 .
故.
【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.
19. 设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由离心率为，得，再根据圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为，得到点在椭圆上，解方程组即得椭圆的标准方程．
（2）先证明当过点与圆相切的切线斜率不存在时，，再证明当过点与圆相切的切线斜率存在时，，即得证．
【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，
由题知，，
椭圆的方程为，
解得，点在椭圆上，
，解得，，
椭圆的方程为．
证明：（2）当过点与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为，
由（1）知，，，
，，
，，
当过点与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，，，，
，即，
联立直线和椭圆的方程得，
，
得△，
且，，
，，，，
，
，
综上所述，圆上任意一点、、处的切线交椭圆于点，都有．
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程求法，考查直线和椭圆的位置关系和定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．