广西崇左市广西大学附属中学2024-2025学年高二下学期插班生开学考试 数学B卷（含解析）

这是一份广西崇左市广西大学附属中学2024-2025学年高二下学期插班生开学考试 数学B卷（含解析），共9页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（每题只有一个正确答案，共7小题，每题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1. 直线倾斜角是（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】A
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解.
【详解】因为的斜率，
所以其倾斜角为30°.
故选：A.
2. 已知直线，若，则（ ）
A. 或B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验.
【详解】因为，，
所以，所以，解得或，
当时，，，直线重合，不满足要求，
当时，，，直线平行，满足要求，
故选：B.
3. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程，结合渐近线方程，可得答案.
【详解】由方程，则，所以渐近线.
故选：C.
4. 如图，是的重心，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据是的重心，可知，再根据向量加法、减法法则即可求解.
【详解】∵是的重心，∴.
，
.
故选：D.
5. 直线被圆所截得的弦长为（ ）
A. B. C. 5D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】判断出圆心在直线上即可求解.
【详解】圆即，故圆心为，
显然圆心在直线上，
故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为.
故选:B．
6. 记等差数列的前n项和为.若，，则（ ）
A. 49B. 63C. 70D. 126
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的项的“等和性”得到，再运用等差数列的前n项和公式计算即得.
【详解】因是等差数列，故，于是
故选：B
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆C相交P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，由椭圆定义及，结合勾股定理求参数m，进而由勾股定理构造椭圆参数的齐次方程求离心率.
【详解】设，椭圆的焦距为，则，
由，有，解得，
所以，故得：．
故选：B.
二、多选题（本题共2小题，共12分，在所给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，两个答案对一个得3分，三个答案对一个得2分，有选错的得0分）
8. 已知向量，，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答.
【详解】向量，，则，A正确；
显然，B正确；
由数量积的定义得，C错误；
显然，则，即有，D错误.
故选：AB
9. 已知曲线C的方程为（且），则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，曲线C是焦距为4的双曲线
B. 当时，曲线C是离心率为的椭圆
C. 曲线C可能是一个圆
D. 当时，曲线C是渐近线方程为的双曲线
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定方程，逐一利用各个选项中的条件，再列式计算并判断作答.
【详解】对于A，当时，曲线C的方程为，表示双曲线，且，即焦距为4，A正确；
对于B，当时，曲线C的方程为，表示椭圆，离心率，B错误；
对于C，令，得，，该方程无解，则曲线C不可能是一个圆，C错误；
对于D，当时，曲线C的方程为，表示双曲线，渐近线方程为，即，D正确.
故选：AD
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分.）
10. 两条平行直线与之间的距离为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行可求得，由平行直线间距离公式可求得结果.
【详解】，，解得：，
，即，
之间的距离.
故答案为：.
11. 已知数列的前项和，，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据求出，再根据对数的运算性质计算可得.
【详解】因为数列的前项和，
所以，
所以
故答案为：
四、解答题（本题共3小题，共43分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
12. （1）等差数列中，公差，且满足，．求数列的通项公式；
（2）等比数列中，，．求数列的通项公式.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】（1）方法一：由所给条件得到关于、方程组，解得即可求出通项公式；方法二：根据下标和性质得到，从而求、，即可求出公差，即可得解；
（2）设的公比为，则，根据求出，即可得解.
【详解】（1）方法一：由已知可得a1+da1+2d=452a1+3d=14(d>0)，解得，
；
方法二：由为等差数列得，又，
故可以看作方程的两根，由得，
，故，
；
（2）设的公比为，由题设得，
又，所以， 解得（舍去），或，
故或．
13. 已知定点，定直线l：，动圆M过点F，且与直线l相切，记动圆的圆心M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义求解；
（2）设直线方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理，由求解.
【小问1详解】
由题意得：等于点到直线的距离，
即点M的轨迹是以为焦点，以l：为准线的抛物线，
则，解得，
所以抛物线的方程为；
小问2详解】
当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，
当时，，此时，不合题意，舍去；
则直线l的斜率存在，设直线方程为，，
与抛物线方程联立，消去得，
因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且不为0，则该直线与抛物线必有两交点，
由韦达定理得，
所以弦长：，
解得，即，
所以直线l的方程为：.
14. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，是边长为2的正三角形，平面平面为棱的中点．
（1）证明：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理，结合勾股定理的逆定理、面面垂直的性质定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
，
，即．
平面平面，平面平面，平面，
平面．
【小问2详解】
如图，分别取的中点，连接．
平面．
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
．
设是平面的法向量，则，
令，得，则．
故直线与平面所成角的正弦值为
．