新高考数学一轮复习考点题型训练 8.9圆锥曲线中定值模型（精练）（2份，原卷版+解析版）

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【题型一 斜率为定值】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.
(1)求的方程；
(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值.
2. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于eq \f (1,2)，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8eq \r(3)y的焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，已知P(2，3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
①若直线AB的斜率为eq \f (1,2)，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．
3.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点O到直线AB的距离为eq \f(2\r(5),5)，△OAB的面积为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线l与椭圆交于C，D两点，若直线l∥直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值．
【题型二 距离为定值】
1.（2022·青岛高三模拟）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．
(1)当时，求；
(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
2.已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值.
【题型三 面积为定值】
1.（2022·全国高三专题练习）已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋eq \r(6)＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且kOA·kOB＝－eq \f (b2,a2)．求证：△AOB的面积为定值．
2.（2022·山西太原五中高三期末）如图，点F是抛物线Г：x2＝2py(p＞0)的焦点，点A是抛物线上的定点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝(2，0)，点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．
(1)求抛物线Г的方程；
(2)若k2－k1＝2，点D是抛物线在点B，C处切线的交点，记△BCD的面积为S，证明S为定值．
【题型四 数量积为定值】
1.（2022·湖北模拟）椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．
(1)当|CD|＝eq \f(3eq \r(2),2)时，求直线l的方程；
(2)当点P异于A，B两点时，求证：eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))为定值．
2. （2022·德阳三模）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为(－eq \r(2)，0)，离心率为e＝eq \f(\r(2),2)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点(1，0)作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型五 角度为定值】
1.（2022·湖北模拟）已知点F1为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，P(－1，eq \f(eq \r(2),2))在椭圆上，PF1⊥x轴．
(1)求椭圆的方程：
(2)已知直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为eq \f(eq \r(6),3)，∠AOB的大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
2. （2022·德阳三模）已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的点到两个焦点的距离之和为eq \f(2,3)，短轴长为eq \f(1,2)，直线与椭圆C交于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与圆O：x2＋y2＝eq \f(1,25)相切，证明：∠MON为定值．
【题型六 参数为定值】
1.（2022·湖北模拟）已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于eq \f(2\r(5),5)，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(5),5)))．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若eq \(MA,\s\up6(→))＝λ1eq \(AF,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))＝λ2eq \(BF,\s\up6(→))，求证：λ1＋λ2为定值．
2. （2022·德阳三模）已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的任意一点，．
(1)求的最大值；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点．若，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．