新高考数学一轮复习考点题型训练 4.3三角函数图象和性质（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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【知识必备】
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
2．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, eq \f(π,2), π, eq \f(3π,2), 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.
3．三角函数图象变换
【题型精讲】
【题型一 三角函数图象变换】
必备技巧 三角函数图象变换技巧
(1)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(2)当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减．
例1 （2022·重庆市育才中学高三阶段练习）为了得到的图象，可将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】C
【解析】依题意，，
所以可由向左平移个单位得到.故选：C
例2 （2022·河南洛阳·模拟预测）已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（ ）
A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】A. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，A错；
B. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，B错；
C. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，C正确；
D. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，D错误；故选：C．
【跟踪精练】
1．（2022·江苏连云港市高三一模）要得到函数的图象，则（ ）
A．可将函数的图象向右平移个单位得到
B．可将函数的图象向左平移个单位得到
C．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来倍得到
D．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到
【答案】C
【解析】对于A选项：变换后，故A错误；
对于B选项：变换后，故B错误；
对于C选项：变换后，故C正确；
对于D选项：变换后，故D错误.故选：C.
2．（2022·全国·模拟预测）若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】的图象向左平移个单位长度得的图象,
向右平移（）个单位长度得的图象,
由题意得 （）所以（） 又 ,故的最小值为, 故选：A
3. （2022·陕西·二模）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移是个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移登个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】因为函数，
，
所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：B.
【题型二 求三角函数解析式】
必备技巧 y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
例3 （2022·陕西省洛南中学模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由图象可得，解得A=2，k=1，由正弦型图象性质可得，
所以，解得，又，且，所以，所以.故选：A
【跟踪精练】
1． （2022·全国高三课时练习）已知函数的部分图象如图所示.则A，，的一个数值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由图可知，，即，所以，
所以函数解析式为，
将代入得：，
则，所以，
所以A选项符合，BCD不符合.
故选：A．
2. （多选）（2022·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．的振幅为2B．为的对称中心
C．向右平移单位后得到的函数为奇函数D．在上的值域为
【答案】ABC
【解析】观察图象得：A=2，周期T，则，
由得，而，则，
所以有，显然A正确；，B正确；
向右平移得是奇函数，C正确；
时，，，，D错误.故选：ABC
【题型三 三角函数五大性质之值域】
必备技巧 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
例4 (1)（2022·天津高三月考）函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为________．
（2）（2022·四川资阳市高三月考）函数的最大值为
（3）（2022·河北高三期末）设x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则函数y＝eq \f(sin 2x,2sin2x＋1)的最大值为________．
（4）（2022·甘肃高三期末）函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为____________．
【答案】（1）eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))（2）（3）eq \f(\r(3),3)（4）eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\r(2)，1))
【解析】(1)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，故3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))，
∴函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3)).
（2）函数，
令，，则，，
所以当时，函数取得最大值为.
（3）因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以tan x＞0，y＝eq \f(sin 2x,2sin2x＋1)＝eq \f(2sin x·cs x,3sin2x＋cs2x)＝eq \f(2tan x,3tan2x＋1)＝eq \f(2,3tan x＋\f(1,tan x))≤eq \f(2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
当且仅当3tan x＝eq \f(1,tan x)时等号成立，故最大值为eq \f(\r(3),3).
(4)设t＝sin x－cs x，则－eq \r(2)≤t≤eq \r(2)，t2＝sin2x＋cs2x－2sin xcs x，则sin xcs x＝eq \f(1－t2,2)，
∴y＝－eq \f(t2,2)＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－eq \r(2)时，ymin＝－eq \f(1,2)－eq \r(2).∴函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\r(2)，1)).
【题型精练】
1．（2022·吉林高三期末）已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和是___________.
【答案】1或
【解析】由题设，，则，
在上，当则，故；当则，故；
综上，最大值与最小值的和为1或.故答案为：1或
2．（2022·江苏泰州·高三阶段练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则，
所以，且，又的值域为，
所以，即实数的取值范围为.故选：C.
3. （2022·全国·专题练习）已知函数．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为，
因为，所以，所以所以的值域为，
关于的方程在上有解，则关于的方程在上有解，所以，所以，所以实数的取值范围是故答案为：
【题型四 三角函数五大性质之单调性】
方法技巧 已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω