新高考数学三轮冲刺小题巩固练习考点12 双曲线（2份，原卷版+解析版）

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双曲线在高考命题中为高频考点,在近10年全国卷及省市自主命题中共考查128次,通常以选填形式进行考查,共考查 116 道,其中主要涉及求离心率问题36 道,方程问题 30 道,求参问题14 道,弦长问题7 道,点到直线距离问题 14 道面积问题5道,其他问题 10 道。主要考查难度为中档题及较难题,其中题干以双曲线方程未知为主,核心考查内容是结合双曲线的定义及性质转化所求。
1．（2021·北京·统考高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
2．（2021·全国·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
3．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】根据双曲线方程及离心率定义求解即可.
【详解】由双曲线知，
所以离心率．
故选：B
4．（2021·全国·统考高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
5．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
6．（2020·天津·统考高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
7．（2020·浙江·统考高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
8．（2023·山东临沂·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支分别交于点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，设，利用双曲线的定义得到，然后设，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解.
【详解】解：因为，
所以，
由双曲线的定义得，
解得，
则，
设，，，
联立，消去x得，
由韦达定理得：，
由，得，解得，
所以，
，
解得，
则，
故选：D
9．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知为双曲线左支上的一点， 双曲线的左右顶点分别为， 直线交双曲线的一条渐近线于点， 直线的斜率为， 若以为直径的圆经过点， 且， 则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】，点在双曲线上，有，由题意有，又，可得，可求出的值，即可计算双曲线的离心率.
【详解】设点 ， 则， 即有， ①
以为直径的圆经过点可知， 所以，即，
由 ，则 ， 可得，
由，则，所以 ，②
由①和②得， 由，得双曲线的离心率．
故选：D．
10．（2023·河南·校联考模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，B为双曲线E上在第一象限内的点，线段与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且，若，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】连结连接、.设，根据双曲线的定义可推得，即．进而在直角三角形中，根据勾股定理可得.结合已知条件，即可得出，从而得出离心率.
【详解】
如图，连接、.
因为M为AB的中点，，所以．
设，
因为，所以.
又因为，所以，
则．
因为M为AB的中点，所以，则．
设，在中，，
在中，，
则，整理可得，所以．
当时，，则，
所以离心率为．
故选：D．
11．（2023·陕西咸阳·校考一模）双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】设，进而根据向量垂直的坐标表示得，再根据点在双曲线上待定系数求解即可.
【详解】解：由题，设，因为
所以，
因为，
所以，解得
因为，解得，
所以，双曲线的离心率为.
故选：A
12．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，，分别是C的左、右焦点，经过点且垂直于C的一条渐近线的直线l与C交于A，B两点，若的面积为64，则C的实轴长为（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】由离心率得到双曲线的渐近线方程，联立方程由韦达定理得、，代入中计算可得结果.
【详解】∵，∴，即：，，
∴渐近线方程为．
由题意知，不妨设直线l的方程为，
，消去x得，则，
设，，则，，
所以，解得，即：，故双曲线C的实轴长为8.
故选：B.
13．（2023·陕西西安·统考一模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若线段的垂直平分线恰好过右焦点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据题意画出草图，由题意O为的中点可得，求出，即可得到，，根据双曲线定义推得长度，在直角三角形中用勾股定理即可找到之间的关系，即可求得离心率.
【详解】设的焦距为，则，
由题意过的直线与圆相切于点Q，连接,则,
连接,设M为的中点，则,则,
因为O为的中点，故Q为的中点，即,
在中，，故，
则，由于M为的中点，所以,
即,
在双曲线 中，P在右支上，有，
所以，又，
所以在中，,即，
化简得，
故双曲线的离心率为，
故选：A
【点睛】关键点点睛：要求双曲线的离心率，即要求出之间的关系，因而解答本题时，根据题意推出相关线段的长，特别是，继而在中应用勾股定理即是关键所在.
14．（2022·全国·统考高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
15．（2023·山东潍坊·统考一模）（多选）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点.则（ ）
A．的渐近线方程为B．点的坐标为
C．过点作，垂足为，则D．四边形面积的最小值为4
【答案】ACD
【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断B项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，，所以的渐近线方程为，故A项正确；
对于B项，设，则，整理可得.
又，所以，所以有，解得，所以点的坐标为，故B项错误；
对于C项，如上图，显然为双曲线的切线.
由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点.
则垂直平分，即点为的中点.
又是的中点，所以，，故C项正确；
对于D项，，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，四边形面积的最小值为4，故D项正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：C项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出.
16．（2023·山东菏泽·统考一模）（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（ ）
A．当点为线段的中点时，直线的斜率为
B．若，则
C．
D．若直线的斜率为，且，则
【答案】BCD
【分析】对于A选项，设，代入双曲线，用点差法即可判断；对于B选项，设，表示出和，得出，再结合即可得出结论；对于C选项，设，其中，由双曲线方程，得出，利用两点之间距离公式，分别表示出和，通过做差即可得出结论；对于D选项，根据双曲线的定义，得出，再证出点与点关于直线对称，则，即可得出结论．
【详解】选项A：
设，代入双曲线得，
，两式相减得，
，
∵点为线段的中点，
∴，，
即，，
∴，
，故A错误；
选项B：
设，
，，
，
，
又 ，
，故B正确；
选项C：
设，其中，
则，即，
，
，
，
，
，
，故C正确；
选项D：
，，
，，
，
∵直线的斜率为即，且过点，
∴直线的方程为：，
又∵，，

，
即，
又∵点到直线的距离：，
点到直线的距离：，
即，
∴点与点关于直线对称，
，
，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】结论点睛：本题涉及到双曲线中的有关结论：
（1）若点是双曲线上一条弦的中点，则直线的斜率；
（2）若双曲线上有两点、，且位于不同两支，则．
17．（2021·全国·统考高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
【答案】
【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
18．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
19．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
20．（2021·全国·统考高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为________．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
21．（2020·全国·统考高考真题）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.
【答案】2
【分析】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
22．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线上一点到两个焦点的距离之差为，且双曲线E的离心率为2，则双曲线E的方程为______．
【答案】
【分析】利用双曲线的定义得到a，再根据离心率为2求解.
【详解】由题意知，，．
又因为，
所以，
所以，
所以双曲线E的方程为．
故答案为：．
23．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为2c，，则该双曲线的离心率是______．
【答案】##
【分析】设，则，根据双曲线的定义，故，分与讨论，结合“对勾”函数的性质可求出离心率.
【详解】设，则，由双曲线的定义知，
∴，，
当，即时，
，不符合题意；
当，即时，
在上单调递增，
所以当时取得最小值，
故，化简得，
即，解得（舍）或，满足.
综上所述，该双曲线的离心率是.
故答案为:.
24．（2023·四川成都·成都七中校考二模）点M是双曲线渐近线上一点，若以M为圆心的圆与圆C：x2+y2-4x+3=0相切，则圆M的半径的最小值等于________.
【答案】
【分析】先得到渐近线方程，再根据圆M的半径最小，得到圆M与圆C外切，且直线MC与直线2x-y=0垂直.此时圆M的半径的最小值rmin=|MC|min-R，从而可解.
【详解】不妨设点M是渐近线2x-y=0上一点.
∵圆C：x2+y2-4x+3=0的标准方程为，
∴圆心C（2，0），半径R=1.
若圆M的半径最小，则圆M与圆C外切，且直线MC与直线2x-y=0垂直.
因此圆M的半径的最小值rmin=|MC|min-R.
由于，故.
故答案为：
25．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为______．
【答案】
【分析】与轴交点，连接，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得，有 且，可求离心率的取值范围.
【详解】设与轴交点，连接， 由对称性可知，，如图所示，
又∵，∴，∴．
又∵，∴，
在中， ，∴，∴ ，
由，且三角形的内角和为，
，即，则
综上， ．
故答案为： ．