重庆市第八中学校2024-2025学年七年级下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份重庆市第八中学校2024-2025学年七年级下学期开学考试 数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数，进行解答，即可．
【详解】解：的相反数为．
故选：A．
2. 如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图的定义，从左边看到的图形是左视图，即可判断．
【详解】解：根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是明确左视图是从物体的左边观察得到的图形．
3. 把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可．
【详解】解：A.，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形；
B. ，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形；
C. ，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形；
D. ，任意两边之和大于第三边,所以能围成三角形；
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法计算后利用排除法求解即可．
【详解】解．A、应为，故本选项错误；
B、应为，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、，正确．
故选：D．
5. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数与数轴，掌握有理数的运算法则是解题的关键．根据数轴可得，，据此判断即可求解．
【详解】解：由数轴可得，，，
∴，，，
∴D选项正确，符合题意．
故选：D．
6. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决问题的关键．利用平方差公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵，能用平方差公式进行计算，
∴选项A符合题意；
∵，不能用平方差公式进行计算，
∴选项B不符合题意；
∵，不能用平方差公式进行计算，
∴选项C不符合题意；
∵中与的系数不同，不存在相同的项，不能用平方差公式计算，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
7. 如图，将一张长方形纸片分别沿着，折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（ ）
A. 30°B. 35°C. 45°D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质以及轴对称性质,根据折叠得到再根据这四个角的和为直角，进而得出其等于直角的一半．
【详解】解：根据折叠的性质得知,
因为，
所以．
故选：C ．
8. 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地．设A、B两地间的路程是xkm，由题意可得方程（ ）
A. 70x﹣60x＝1B. 60x﹣70x＝1C. D. ＝1
【答案】C
【解析】
【分析】设A、B两地间的路程为x km，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为1h即可列出方程．
【详解】解：设A、B两地间路程为x km，
根据题意得
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用的知识，解答本题的关键是根据两车所用时间之差为1h列出方程，此题难度不大．
9. 如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…．拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多（ ）
A. 个小正方形B. 个小正方形
C. 个小正方形D. 个小正方形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，拼第1个正方形需个小正方形，
拼第2个正方形需个小正方形，
拼第3个正方形需个小正方形，
……
∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，
∴第个正方形需个小正方形，
∴，
即按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多个小正方形，
故选：C．
10. 时钟在10点10分时，时针和分针的夹角度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了钟面角，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．确定时针与分针相距的份数是解题关键．
【详解】解：10点10分时时针与分针相距（份），
在10点10分时，时针和分针所成角度是，
故选：C．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了非零数的零次幂的计算，掌握计算方法是解题的关键．
根据即可求解．
【详解】解：，
故答案为： ．
12. 是指大气中直径小于或等于的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，则表示空气污染越严重，则数据用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键．
根据科学记数法的定义解答即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
根据三角形内角和定理，全等三角形的性质得到，即可求解．
【详解】解：如图所示，
在中，，
∵两个全等三角形，即，
∴，
故答案为： ．
14. 定义运算“☆”，其规则为a☆b=，则方程（4☆3）☆x=13的解为x=________．
【答案】21
【解析】
【详解】根据新定义的运算规则，4☆3=，（4☆3）☆x=.
所以，解得x=21.
故答案为21.
点睛：理解新定义的运算规则，☆前的数字或字母相当于等号右边的a，☆后的数字或字母相当于等号右边的b，对于含有双重☆号的运算，应该分两次来计算，先计算出括号，再将括号中的运算结果与☆号右边的数或式子按新定义的规则来计算.
15. 把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若，则的度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角板的性质，三角形内角和，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
根据三角板得到，，再根据平行线的性质得到，最后利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：如图，和交于点G，
由三角板可知：，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题5个小题，每小题8分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
（1）先化简绝对值，再根据有理数的加减法计算即可解答；
（2）先化简绝对值和乘方，再根据有理数的乘除法和加法计算即可解答．
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
．
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握去括号，去分母，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键．
（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解；
（2）去分母，去括号，去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可求解．
【小问1详解】
解：
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
∴原方程的解为：；
小问2详解】
解：，
去分母得，，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，
∴原方程的解为：．
18. 先化简，再求值：
，其中，满足 ．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先计算积的乘方，单项式乘以多项式，再合并同类项化简，接着根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴原式．
19. 如图，已知．
（1）尺规作图：以点为顶点，在的下方作交于点，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：
证明：∵（已知）
∴① ．（② ）
∵（已知）
∴③ ．（等量代换）
∴．（④ ）
【答案】（1）作图见详解
（2）①；②两直线平行，同位角相等；③；④内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，平行线的判定和性质，掌握以上知识，数学结合分析思想是解题的关键．
（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可；
（2）根据平行线的判定和性质即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，点即为所求点的位置，
【小问2详解】
证明：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①；②两直线平行，同位角相等；③；④内错角相等，两直线平行．
20. 已知某茶具生产车间共有22名工人，其中生产茶杯的工人数量比生产茶壶的工人数量的2倍还多1人．(用一元一次方程解答下列问题)
（1）该车间生产茶壶和茶杯的工人各有多少人？
（2）已知每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要调几名工人去生产茶壶？
【答案】（1）该车间生产茶壶的工人有7人，生产茶杯的工人有15人；
（2）需要调名工人去生产茶壶．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）设该车间生产茶壶的工人有人，则生产茶杯的工人有人，根据该车间共有22名工人，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设需要调名工人去生产茶壶，则安排人生产茶壶，)人生产茶杯，根据每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：设该车间生产茶壶的工人有人，则生产茶杯的工人有人，
依题意得：
解得：
，
答：该车间生产茶壶的工人有7人，生产茶杯的工人有15人；
【小问2详解】
解：设需要调名工人去生产茶壶，则安排人生产茶壶，人生产茶杯，
依题意得：
解得：，
答：需要调名工人去生产茶壶．
B卷（满分50分）
四、选择题（共2个小题，每小题4分，共8分）
21. 如图，是一个正方体的平面展开图，且相对两个面表示的整式的和都相等，如果 ，则E所代表的整式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：由图可得：面A和面E相对，面B和面D，相对面C和面F相对．由题意得：A+E=B+D，代入可得：a3+a2b+3+E=a2b﹣3+[﹣（a2b﹣6）]，解得：E=－a3﹣a2b-3．故选B．
点睛：本题考查了正方体向对两个面上文字以及整式的加减，掌握运算法则是关键，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
22. （多选）如图，已知点、点是直线上的两点，厘米，点在线段上，且厘米．点、点是直线上的两个动点，点的速度为1厘米/秒，点的速度为2厘米/秒．点、分别从点、点同时出发在直线上运动，则经过（ ）秒时线段的长为6厘米．
A. 1B. 3C. 6D. 9
【答案】ABD
【解析】
【分析】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段的长为6厘米即可．
【详解】解：设经过秒时线段的长为6厘米；
（1）点P、Q都向右运动时，，
解得：；
（2）点P、Q都向左运动时，或，
解得：；
（3）点P向左运动，点Q向右运动时，，
解得：；
（4）点P向右运动，点Q向左运动时，，
解得：．
∴经过3或9或1秒时线段的长为6厘米．
故选：．
五、填空题（共3个小题，每小题4分，共12分）
23. 已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的和为________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．先把a看成已知，解关于x的一元一次方程即可用含a的代数式表示出x，然后根据方程的解是正整数、a是整数可得符合题意的a的值，进而可得答案．
【详解】解：对于方程，去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
由题意可知方程有解，因此，
则可得，
因为原方程的解是正整数，a为整数，所以，，
解得：或0，
它们的和是：．
故答案：1．
24. 如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝60°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝_____°．（用含n的代数式表示）
【答案】．
【解析】
【分析】根据各个角之间的关系，设∠BOE＝x°，表示∠BOC、∠AOB、∠BOD，进而求出∠DOE的大小即可．
【详解】解：设∠BOE＝x°，
∵∠BOE＝∠BOC，
∴∠BOC＝nx，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝60°+nx，
∵∠BOD＝∠AOB＝（60°+nx）＝+x，
∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝+x﹣x＝，
故答案为：．
【点睛】考查角的有关计算，通过图形找出各个角之间的关系是解决问题的关键，用代数的方法解决几何图形问题也是常用的方法．
25. 如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为，E号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为，求得，即可得出正方形A的周长，由图2求得，根据图2中长方形的周长为13求得，没有覆盖的阴影部分的周长为，计算即可得到答案．
【详解】解：设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，
则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为，
E号长方形的长为，宽为，
由图1中长方形的周长为8，可得，，
解得：，
∴正方形A的周长为；
如图，
，
∵图2中长方形的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴没有覆盖的阴影部分的周长为：，
∴正方形A的周长与阴影部分的周长之比为．
故答案为：．
【点睛】此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
六、解答题：（共4个小题，26题6分，27题7分，28题8分，29题9分，共30分）
26. （1）已知，求的值；
（2）若多项式与的积不含项和项，求和的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的运算，整式混合运算中无关项的计算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法运算的逆运算求解即可；
（2）根据多项式乘以多项，再根据不含某项，让该项的系数为0，列式求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴原式；
（2）多项式与的积不含项和项，
∴
，
∴，
解得，．
27. 某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利售价进价）
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次都销售完获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
【答案】（1）该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品100件
（2）第二次乙商品是按原价打9折销售
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，商品的打折销售问题，掌握利用一元一次方程解决商品的打折销售问题是解题的关键．
（1）设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，利用第一次购进甲、乙两种商品的总价为6000元，可得，再解方程可得结论；
（2）先求出第一次获得的总利润为：1900元，设第二次乙种商品是按原价打y折销售，可得：，解方程后可得答案．
【小问1详解】
解：设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
根据题意得：，
解得：，
∴（件），
答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品100件．
【小问2详解】
解：第一次获得的总利润为：
（元）．
设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据题意得：
，
解得：．
答：第二次乙商品是按原价打9折销售．
28. 【发现问题】
我们知道，超市里的收费是扫码枪是通过扫描商品上的条形码来收款的，如图1．售货员通过输入条形码上的数字也可以获取商品的信息．
爱思考的小丽发现条形码上的数字存在某种运算关系．
【提出问题】
①超市商品条形码大多是13位数字组成，它们代表什么含义？
②这些数字之间存在怎样的运算关系？
【查阅资料】
通过查找资料，明晰：商品的条形码共有位数字，它是由位数字代码和1位校验码构成，其结构分别代表“国家码、厂商编码、产品码、校验码”．其中校验码是用来校验条形码中前位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以图2为例，其算法为：

步骤1：计算前位数字中偶数位数字的和记为，即；
步骤2：计算前位数字中奇数位数字的和记为，即；
步骤3：计算除以10取余数记为，即，；
步骤4：计算与的差就是校验码X，即．
注：如果计算出的校验码等于，即改用0取代．
【解决问题】
（1）某天然矿泉水的条码为，按照“步骤1”的计算，则的值为________；校验码的值为________．
（2）如图3，某商品条形码中的一位数字被污染了，求这个数．
（3）如图4，某商品条形码中被污染的两个数字的和是，求这两个数．
【答案】（1），6
（2）9 （3）从左到右分别为3，9或8，4.
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，理解题意是解题的关键．
（1）根据题意，将前位数字中偶数位数字相加，即可得到的值，再根据题意步骤即可得到校验码的值；
（2）设被污染的数为，根据步骤求出的值，由于验证码为，得到是10的整数倍即可得到答案；
（3）设被污染的两个数字中左边的数为y，右边的数为，根据步骤求出的值，由于验证码为，得到即可得到答案；
【小问1详解】
解：，
，
，
，
故验证码的值为；
【小问2详解】
解：设被污染的数为，
根据已知，
，
所以
因为校验码是0
所以是10的整数倍，
的个位数字只能为7，
；
答：被污染的数为9．
【小问3详解】
解：设被污染的两个数字中左边的数为y，右边的数为，
，
，
，
因为校验码为4，
所以为10整数倍，
所以的个位数字是6，
故或8，或4，
答：被污染的两个数字中，从左到右分别为3，9或8，4．
29. 如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，．
（1）如图1，若，，，则________，________．
（2）如图2，的角平分线与的角平分线相交于点．
①求与之间的数量关系，并说明理由；
②若，，将直线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直线首次落到上时，整个运动停止．在运动过程中，经过秒后直线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1）100；80
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质和判定求解即可；
（2）①延长交于点G，设、交于点H，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果；
②根据题意分两种情况讨论，然后分别表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴；
如图，过点E作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①如图，延长交于点G，设、交于点H，
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，即，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴
∵平分
∴；
如图，当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线绕点N以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点P以每秒的速度逆时针旋转，
∴，，
∴，，
，
∴；
如图，当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
综上所述，或．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点，注意进行分类讨论．甲
乙
进价（元/件）
20
30
售价（元/件）
26
40