广东省广州市广州大学附属中学2024-2025学年八年级下学期开学考试 数学试卷（含解析）

这是一份广东省广州市广州大学附属中学2024-2025学年八年级下学期开学考试 数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
详解】解：A、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、属于最简二次根式，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长．其中能构成直角三角形的是（ ）
A. ，2，B. 2，3，4C. 6，7，8D. 1，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A．，，
，
不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B．，，
，
不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C．，，
，
不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D．，，
，
能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4. 将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质得把放到根号内并变为，即可得到答案，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
5. 估计的值应在（ ）
A. 7和8之间B. 8和9之间
C. 9和10之间D. 10和11之间
【答案】B
【解析】
【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．
【详解】解：
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
6. 如图，数轴上点A所表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识点，正确计算的长度是解题的关键．
如图可得：，由勾股定理可得，则，进而求得即可解答．
【详解】解：如图：，
∴，
∴，
∴，
∴点A表示的数为．
故选：D．
7. 如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，正方形的面积计算公式，直角三角形面积的计算公式，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
先根据正方形的面积求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，最后根据勾股定理求出的长，然后即可求出直角三角形的面积．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵点是斜边的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：．
8. 已知，则值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，有理数乘方的运算，先根据完全平方公式得出，代入式子计算即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9. 已知在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键．
过点作于，取中点，设，则，由勾股定理得，得出，又点是中点，则，故有，从而证明是等边三角形，然后由等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：过点作于，取中点，连接，如图所示，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，即，
解得：，
∴，
∵点是中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选：．
10. 如图， 为等边三角形， 且，点D是边上一动点， 点E为边上一动点， 若沿着直线翻折后， 点A始终落在边上．若， 则满足条件的a的取值范围是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理得，，由翻折后，点A始终落在边上，可得，即，，可求，进而可得，然后作答即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
∴，
如图，作于，

∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∵翻折后，点A始终落在边上，
∴，即，，即，
解得，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，分母有理化等知识．熟练掌握折叠的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，分母有理化是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 计算的结果为________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
【详解】解：
故答案为：1
【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
12. 已知x，y都是实数，且，则__________．
【答案】4
【解析】
【分析】利用二次根式被开方数的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
将代入，
得：，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次根式被开方数的非负性，熟练掌握并灵活运用二次根式被开方数的非负性是解题的关键．
13. 若，都为整数，则的值是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次根式，利用二次根式有意义的条件得出的取值范围且为整数，然后根据，都为整数，则可求出的整数值，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴且为整数，
∵，都为整数，
∴或，
故答案为：或．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为__________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，坐标与图形，勾股定理；首先由折叠的性质可知，，然后根据勾股定理可解得，易得点的坐标，设点坐标为，则有，，然后在中，利用勾股定理列式并求解，即可获得答案．
【详解】解：由折叠可知，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
设点坐标为，
则，，
在中，可有，
即，
解得，
∴．
故答案为：．
15. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是_______．
【答案】25
【解析】
【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是25，
故答案为：25.
16. 如图，中，，以的三边为边长向外作等边三角形，已知10，6，则_______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形性质和勾股定理．
根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形面积由此即可解题．
【详解】解：过点D作，垂足为，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
同理可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵10，6，
∴，
故答案为4．
三、解答题（本大题共8题，满分72分．解答应写出文字说明，证明演算步骤）
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：，
原方程两边都乘，去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
18. 计算题
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则.．
（1）根据零指数幂，负整数幂以及二次根式运算，求解即可；
（2）根据二次根式的运算求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
19. 如图，，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，，则________，________．（无需解答过程）
【答案】（1）见解析 （2）10，4
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（1）利用“”可证明；
（2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．
【小问1详解】
证明：，，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
在中，，
，
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答．
【详解】解：
．
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．
21. 如图，中，．

（1）尺规作图：上找一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接，若，，求的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质和勾股定理，
（1）根据垂直平分线的性质即可知作线段的垂直平分线与线段相交的点即为所求点D；
（2）根据已知可求得线段的长，利用勾股定理可求得的长，结合面积公式即可．
【小问1详解】
解：如图，点D即为所求；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
则．
22. 大石桥市政府为了落实“暖冬惠民工程”，计划对城区内某小区的部分老旧房屋及供暖管道和部分路段的人行地砖、绿化带等公共设施进行全面更新改造．该工程乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍 ， 若甲队先做10天，剩下两队合作30天完成．
（1）甲乙两个队单独完成此项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙对每天的施工费用为5.6万元，工程施工的预算费用为500万元，为了缩短工期并高效完成工程，拟预算的费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请说明理由．
【答案】（1）甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要90天；（2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．
【解析】
【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量＝工作效率×工作时间列方程求解；
（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．
【详解】（1）设此工程甲队单独完成需x天，则乙队单独完成这项工程需1.5x天．由题意：
解得：x=60．
经检验，x=60是原方程的解，且适合题意．
1.5x=1.5×60=90．
答：甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要90天．
（2）因为需要缩短工期并高效完成工程，所以需两队合作完成，设两队合作这项工程需
y天，根据题意得：

解得：y=36．
所以需要施工费用36×（8.4+5.6）=504（万元）．
因为504＞500，所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，涉及方案决策问题，综合性较强．
23. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
（2）若，且、、均为正整数，求的值；
（3）化简下列各式：
①
②
③．
【答案】（1），
（2）12或28 （3）①，②，③
【解析】
【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；
（2）利用（1）中结论得到，利用a、m、n均为正整数得到，或，，然后利用计算对应a的值；
（3）设，两边平方得到，然后利用（1）中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到t的值．
【小问1详解】
设（其中a、b、m、n均为整数），
则有，；
故答案为：，；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵a、m、n均为正整数，
∴，或，，
当，时，；
当，时，；
即a的值为12或28；
【小问3详解】
①
②
③设，
则
，
∴．
【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且AB＝4，OB＝3．
（1）试判断△AOB的形状，并说明理由．
（2）点P是线段OA上一点，且PB－PA＝1，求点P的坐标；
（3）如图2，点C、点D分别为线段OB、BA上的动点，且OC＝BD，求AC＋OD的最小值．
【答案】（1）△AOB是直角三角形，证明见解析
（2）P (，0)
（3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）作BD⊥OA于D，设PA=x，则BP=x+1，利用面解法求出BE的长，在Rt△BEP中利用勾股定理求出x的值即可求解；
（3）过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，利用SAS证明△HOC≌△OBD，得OD=HC，则当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长．
【小问1详解】
解：△AOB是以B为直角顶点的直角三角形，理由如下：
∵A（5，0），
∴OA=5，
∴AB2+OB2=42+32=25=52=OA2，
∴△AOB是以OA为斜边的直角三角形；
【小问2详解】
解：如图，作BE⊥OA于E，设PA=x，则BP=x+1，
∵S△AOB＝BO•AB＝OA•BE，
∴，
∴OE=，
∴PE=5--x=-x，
在Rt△BEP中，
(x+1)2=(-x)2+()2，
解得x=
∴OP=5-=，
∴P(，0)；
【小问3详解】
解：如图，过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，
∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°，
又∵OC=DB，
在△HOC和△OBD中
，
∴△HOC≌△OBD（SAS），
∴OD=HC，
∴AC+OD=AC+HC，
∴要使AC+OD最小，则AC+CH最小，
∴当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长，
分别过点B，H作BE⊥x轴于E，HF⊥x轴于F，则OB=OH=3，
∵S△AOB＝BO•AB＝OA•BE，
∴，
∴，
∵∠HFO=∠HDB=∠OEB=90°，
∴∠HOF+∠OHF=90°，∠HOF+∠BOE=90°，
∴∠OHF=∠BOE，
在△OHF与△BOE中，
，
∴△OHF≌△BOE（AAS），
∴OF=BE=，HF=OE=，
∵H在第二象限，
∴H（-，）；
∴，
即AC+OD有最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．