初中数学苏科版（2024）八年级下册10.5 分式方程精练

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级下册10.5 分式方程精练，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或3C．1或2D．2或3
3．已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
4．小明的妈妈周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇见商场酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0.5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，她周三买了（ ）瓶酸奶．
A．2B．3C．4D．5
5．若关于的方程有增根，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
6．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索．”此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是（ ）
A．个克罗索B．个克罗索C．个克岁索D．个克罗索
8．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息：
则q的值是（ ）
A．B．2C．D．4
9．如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
10．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中较小的值，如．按照这个规定，方程的解为（ ）
A．或2B．2C．D．无解
11．分式方程的解为（ ）
A．B．C．D．无解
12．若4，则x的值是（ ）
A．4B．C．D．﹣4
二、填空题
13．计算 的解是
14．定义运算，如：，则方程的解为 .
15．分母中含有 ，叫做 ．
16．若分式方程＋＝有增根，则实数a的取值是 ．
17．用四则运算的加法与除法定义一种新运算记为☆．若对于任意有理数a，b，a☆b＝，则方程（1☆x）＝5的解是 ．
三、解答题
18．解下列分式方程．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
19．某工程招标会上，甲工程队在其投标书上宣称可以在2a天内完成这项工程，而乙工程队在其投标书上宣称可以在a天内完成这项工程，那么乙工程队比甲工程队每天多完成多少工作量？
20．阅读材料：关于x的方程：的解为：，；的解为：，；（可变形为的解为：，；根据以上材料解答下列问题：
(1)①方程的解为____；
②方程的解为_______．
(2)解关于x的方程：．
21．（1）先化简，再求值：，请从、、中选取的一个合适的数作为的值；
（2）解方程：．
22．有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．
23．某校为了增强学生对中华优秀传统文化的理解，决定购买一批相关的书籍．据了解，经典著作的单价比传说故事的单价多8元，用12000元购买经典著作与用8000元购买传说故事的本数相同，这两类书籍的单价各是多少元？
24．随着农业科技的发展，市场对某型号的小型耕田机的需求越来越大，为满足市场需求，某小型耕田机生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产24台小型耕田机，现在生产600台小型耕田机所需的时间与更新技术前生产400台小型耕田机所需时间相同，更新技术后每天生产多少台小型耕田机？
x的取值
0.4
q
分式的值
无意义
0
3
《10.5分式方程》参考答案
1．C
【解析】略
2．C
【详解】由题意，去分母得，，∴．①
当时，即当时，，
∴此方程无解，∴分式方程也无解，符合题意．
②当时，．
而此时分式方程无解，
∴，
∴．
检验：将代入，得，符合题意．
综上，满足题意的m的值为1或2．
避坑神招 遇“含参分式方程无解”，要分类讨论，分式化为整式方程后，①整式方程无解；②整式方程的解是原分式方程的增根．
3．C
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且，即可求解．
【详解】方程两边同时乘以，得，
解得，
关于x的分式方程的解是正数，
，且，
即且，
且，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．C
【分析】用关键描述语为：“每袋比周三便宜0.5元”；等量关系为：周三买的酸奶的单价周日买的酸奶的单价，进而得出方程求出即可．
【详解】解：设周三买了瓶酸奶，则周日买了瓶酸奶，
周三买的酸奶的单价为：，周日买的酸奶的单价为：．
所列方程为：．
解得：，（不合题意舍去），
经检验得出，是原方程的根，
所以她周三买了4瓶酸奶．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题中用到的等量关系是：总金额数量单价．
5．A
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．
【详解】解：方程两边都乘x﹣2，
得，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，，
∴m＝-1，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定可能的增根；
②化分式方程为整式方程；
③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．
6．D
【分析】设原计划每天修路公里，则实际每天的工作效率为公里，根据题意即可列出分式方程.
【详解】解：设原计划每天修路公里，则实际每天的工作效率为公里，
依题意得：．
故选D．
【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.
7．B
【分析】本题考查列分式方程解应用题．根据两人卖鸡蛋的钱数相等，列分式方程求得这两名农妇各带来多少个鸡蛋，再计算出第一个农妇每个鸡蛋的单价即可．
【详解】解：设第一个农妇带来个鸡蛋，第二个妇女带了个．由题意得：
．
解得：，
检验：当时，，符合题意．
．
即第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋．
∴第一个农妇的鸡蛋价格为：个克罗索．
故选：B．
8．D
【分析】根据表格的数据分别确定m=2，n=-2，然后根据分式的值为3求解即可．
【详解】解：由表格数据得：当x=-2时，分式无意义，
∴-2+m=0，
∴m=2，
当x=0.4时，分式的值为0,
∴，
解得：n=-2，
∴分式为，
当分式的值为3时，即，
解得：x=4，
检验，x=4为分式方程的解，
∴q=4，
故选：D．
【点睛】题目主要考查分式有意义的条件与分式的值为0的条件，解分式方程，熟练掌握运算法则是解题关键．
9．B
【分析】此题主要考查了分式方程的解，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【详解】解：∵有正数解，
∴，则，
，
去分母，得，，
移项合并，得，，
∵方程的解是正数，
∴，
解得：且，
故选：B．
10．D
【分析】根据新定义运算的规定，分两种情况讨论：当，即时，当，即时，分别得到分式方程，再求解即可．
【详解】解：当，即时，，
解得：，
经检验：是方程的根，
∵，
∴不是方程的解；
，
解得：，
经检验：是方程的根，
∵，
∴不是方程的解；
∴方程无解．
故选：D
【点睛】本题考查了解分式方程，新定义运算等知识，理解规定符号的意义是解答本题的关键．
11．C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】化为整式方程为：1＝x−2−2
解得：x＝5，
经检验x＝5是原方程的解，
故选：C．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
12．C
【分析】去分母，再系数化1，即可求得.
【详解】解：4，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的解法，比较基础.
13．-7
【详解】去分母得：3-x=10,解得：x=-7,检验：经检验知x=-7是原方程的根，所以原方程的根是x=-7.故答案为x=-7.
14．/
【分析】先根据新运算得出，求出，再方程两边都乘，得，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
经检验，是原方式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程和有理数的混合运算，能把分式方程转化成整式方程是解题的关键．
15． 未知数的方程 分式方程
【分析】本题考查分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程，熟记分式方程的定义直接填空即可得到得到答案．
【详解】解：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程，
故答案为：未知数的方程，分式方程．
16．4或8
【分析】化为整式方程2x＝a﹣4，当x＝0或x＝2时，分式方程有增根，分别求出a的值即可．
【详解】解：∵ ，
去分母得，3x﹣a+x＝2x﹣4，
整理得，2x＝a﹣4，
∵分式方程有增根，
∴x＝0或x＝2，
当x＝0时，a＝4；
当x＝2时，a＝8．
故答案是4或8．
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程的增根使其分母为0是解题的关键．
17．x=
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可．
【详解】解：根据题意得：1☆x==5
去分母得：1+x=5-5x，
解得：x=
经检验x=是分式方程的解．
故答案为x=
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18．（1）；（2）；（3）；（4） ；（5）．
【分析】解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，然后通过移向、去括号、合并同类项求解，最后进行验根．
【详解】（1）
解：两边乘，得整式方程：
解得：
把代入
故是方程的解．
（2）
解：两边乘，得整式方程：
移项得：
合并同类项得：
解得：
把代入
故是方程的解．
（3）
解：两边乘，得整式方程
移向得
合并同类项得
把代入
故是方程的解．
（4）
两边乘，得整式方程
移项得
，由于，所以，经检验，是方程的解．
（5）
两边乘，得整式方程
合并同类项得
或或
或使原方程分母为0，所以或是增根；
所以是原方程的根．
【点睛】本题考查了分式方程求解的基本步骤：①确定最简公分母②化为整式方程③求得整式方程的跟④验根，使最简公分母等于0的则是增根，不是原分式方程的根；使最简公分母不等于0的，则是原分时方程的根．注意去分母时，不要漏乘整式项．遇到互为相反数时，不要忘了改变符号．
19．
【分析】将工程总量看作1，则甲工程队每天可完成的工作量为，乙工程队每天可完成的工作量为，据此可进行解答.
【详解】甲工程队每天可完成的工作量为，乙工程队每天可完成的工作量为，因此，乙工程队比甲工程队每天多完成的工作量为.
【点睛】本题考查了分式在工程问题上的运用，将工作总量看作1从而得到每个工程队的工作效率是解题关键.
20．(1)①；②
(2)，
【分析】（1）按照题目材料找到规律即可求解；
（2）按照题目材料找到规律对方程进行变形求解．
【详解】（1）①的解为：，，
方程的解为，，
故答案为：，；
②的解为：，，
时，
或，
解得，，
故答案为：，；
（2）原方程变形为，，
由题意可得或，
解得，，
即原方程的解为，，
【点睛】此题考查了通过新定义求解分式方程的能力，关键是能准确理解并运用定义进行求解．
21．（1），；（2）
【分析】先化简，再代入求解；
先去分母，再解整式方程，最后要检验．
【详解】解：原式
，
，，，
，
原式．
方程两边同乘以得：
，
解这个整式方程得：，
检验：当时．，
所以是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了分式的运算和解分式方程，因式分解是解题的关键．
22．34
【分析】设十位上的数字为，则个位上的数字为，两位数是，利用两位数减2除以个位数字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，检验后求出两位数即可．
【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，
则：，
解方程得：，
经检验：是原方程的根，
所以个位上的数字为：＝3＋1＝4，
所以这个两位数是：3×10＋4＝34．
答：这个两位数是34．
【点睛】本题考查数字问题分式方程应用题，掌握分式方程解应用题的步骤与解法，关键是抓住两位数减2除以个位数字，商是8列出方程．
23．传说故事的单价为16元，经典著作的单价为24元．
【分析】设传说故事的单价为x元，则经典著作的单价为（x+8）元，根据题意列分式方程，然后求解即可．
【详解】解：设传说故事的单价为x元，则经典著作的单价为（x+8）元．
由题意，得，
解得x=16，
经检验x=16是原方程的解，
x+8=24．
答：传说故事的单价为16元，经典著作的单价为24元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，准确找出等量关系，列出方程是关键.
24．更新技术后每天生产72台小型耕田机
【分析】本题主要考查了分式方程的应用， 设更新技术后每天生产x台小型耕田机，则更新技术前每天生产台小型耕田机，根据现在平均每天比更新技术前多生产24台小型耕田机列出分式方程求解即可得出答案．
【详解】解：设更新技术后每天生产x台小型耕田机，
由题意可列方程：
解得：
经检验是原方程的解
答：更新技术后每天生产72台小型耕田机．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
C
A
D
B
D
B
D
题号
11
12








答案
C
C