新高考数学二轮复习概率专题练习 概率统计与数列（2份，原卷版+解析版）

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概率统计与数列的交汇涉及面广，内涵丰富，是近几年考试追逐的热点，处理这类问题要把握概率与统计的本质，巧妙利用数列的通项、性质、求和。
母题呈现
题型一：概率与数列的证明
【例1】为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两组白鼠对药效进行对比试验．对于两组白鼠，当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1) 求X的分布列．
(2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
①求证：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
【思维引导】
【解答】(1) X的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)，
所以X的分布列如下表所示：
(2) ①由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，
故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．
又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．
②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq \f(48－1,3)p1.
由于p8＝1，故p1＝eq \f(3,48－1)，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq \f(44－1,3)p1＝eq \f(1,257).
p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝eq \f(1,257)≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
题型二：概率与数列通项
【例2】袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程n次后，袋中红球的个数记为Xn.
(1) 求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；
(2) 求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．
【思维引导】
【解答】(1) 由题意可知X2＝3,4,5.
当X2＝3时，即两次摸球均摸到红球，其概率是P(X2＝3)＝eq \f(C\\al(1,3),C\\al(1,8))×eq \f(C\\al(1,3),C\\al(1,8))＝eq \f(9,64)，
当X2＝4时，即两次摸球恰好摸到一红球，一白球，其概率P(X2＝4)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,5),C\\al(1,8)C\\al(1,8))＋eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,4),C\\al(1,8)C\\al(1,8))＝eq \f(35,64)，
当X2＝5时，即两次摸球均摸到白球的概率是P(X2＝5)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,4),C\\al(1,8)C\\al(1,8))＝eq \f(5,16)，
所以随机变量X2的概率分布如下表所示：
故数学期望E(X2)＝3×eq \f(9,64)＋4×eq \f(35,64)＋5×eq \f(5,16)＝eq \f(267,64).
(2) 设P(Xn＝3＋k)＝pk，k＝0,1,2,3,4,5，则p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝1，
E(Xn)＝3p0＋4p1＋5p2＋6p3＋7p4＋8p5.
P(Xn＋1＝3)＝eq \f(3,8)p0，P(Xn＋1＝4)＝eq \f(5,8)p0＋eq \f(4,8)p1，P(Xn＋1＝5)＝eq \f(4,8)p1＋eq \f(5,8)p2，
P(Xn＋1＝6)＝eq \f(3,8)p2＋eq \f(6,8)p3，P(Xn＋1＝7)＝eq \f(2,8)p3＋eq \f(7,8)p4，P(Xn＋1＝8)＝eq \f(1,8)p4＋eq \f(8,8)p5，
所以E(Xn＋1)＝3×eq \f(3,8)p0＋4×＋5×＋6×＋7×＋8×
＝eq \f(29,8)p0＋eq \f(36,8)p1＋eq \f(43,8)p2＋eq \f(50,8)p3＋eq \f(57,8)p4＋eq \f(64,8)p5＝eq \f(7,8)(3p0＋4p1＋5p2＋6p3＋7p4＋8p5)＋p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝eq \f(7,8)E(Xn)＋1.
由此可知，E(Xn＋1)－8＝eq \f(7,8)[E(Xn)－8]．
又E(X1)－8＝－eq \f(35,8)，所以数列{E(Xn)－8}是以－eq \f(35,8)为首项，eq \f(7,8)为公比的等比数列，
所以E(Xn)－8＝－eq \f(35,8)n－1＝－5·n，即E(Xn)＝8－5·n.
题型三：概率与数列求和
【例3】(2022·河南模拟)湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中eq \f(1,3)的人计划只游览岳麓山，另外eq \f(2,3)的人计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．(1) 从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2) 从游客中随机抽取n人(n∈N*)，记这n人的合计得分恰为n＋1分的概率为Pn，求P1＋P2＋…＋Pn；
(3) 从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为an，随着抽取人数的无限增加，an是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
【思维引导】
【解答】由题意知，每位游客计划不参观马王堆的概率为eq \f(1,3)，参观马王堆的概率为eq \f(2,3)，则X的可能取值为3,4,5,6，
P(X＝3)＝3＝eq \f(1,27)，P(X＝4)＝Ceq \\al(1,3)·eq \f(2,3)·2＝eq \f(2,9)，
P(X＝5)＝Ceq \\al(2,3)·2·eq \f(1,3)＝eq \f(4,9)，P(X＝6)＝3＝eq \f(8,27)，
所以X的分布列如下表所示：
所以E(X)＝3×eq \f(1,27)＋4×eq \f(2,9)＋5×eq \f(4,9)＋6×eq \f(8,27)＝5.
(2) 因为这n人的合计得分为n＋1分，则其中只有1人计划参观马王堆，所以Pn＝Ceq \\al(1,n)·eq \f(2,3)·n－1＝eq \f(2n,3n)，
设Sn＝P1＋P2＋…＋Pn＝eq \f(2,3)＋eq \f(4,32)＋eq \f(6,33)＋…＋eq \f(2n,3n)，
则eq \f(1,3)Sn＝eq \f(2,32)＋eq \f(4,33)＋eq \f(6,34)＋…＋eq \f(2n－1,3n)＋eq \f(2n,3n＋1)，
由两式相减得
eq \f(2,3)Sn＝eq \f(2,3)＋eq \f(2,32)＋eq \f(2,33)＋…＋eq \f(2,3n)－eq \f(2n,3n＋1)＝2×－eq \f(2n,3n＋1)＝1－eq \f(2n＋3,3n＋1)，所以P1＋P2＋…＋Pn＝Sn＝eq \f(3,2).
(3) 在随机抽取的若干人的合计得分为(n－1)分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n分或(n＋1)分，记“合计得n分”为事件A，“合计得(n＋1)分”为事件B，A与B是对立事件．
因为P(A)＝an，P(B)＝eq \f(2,3)an－1，所以an＋eq \f(2,3)an－1＝1(n≥2)，
即an－eq \f(3,5)＝－eq \f(2,3)(n≥2)．
因为a1＝eq \f(1,3)，则数列是首项为－eq \f(4,15)，公比为－eq \f(2,3)的等比数列，所以an－eq \f(3,5)＝－eq \f(4,15)n－1，n≥1，
所以an＝eq \f(3,5)－eq \f(4,15)n－1＝eq \f(3,5)＋eq \f(2,5)·n.
因为0