安徽省六安市2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D.
3. 设 是空间中的一个平面， 是三条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
4. 已知数列 、 分别满足 ， ，则下列说法错误 是（ ）
A. 数列 是公比为 的等比数列
B. 数列 是公差为 的等差数列
C. 数列 的前 项和为
D. 数列 是等比数列
5. 已知 、 两地的距离是 ．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在 ．假设
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油价是 元 ，以 的速度行驶时，汽车的耗油率为 ，司机每小时的工资是 元，
那么最经济的车速是（ ） .
A. B. C. D.
6. 已知向量 ，下列选项正确的为（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 的最小值为 6 D. 若 与 垂直，则
7. 已知双曲线 的右焦点为 为直线 上关于坐标原点对称的两
点， 为双曲线的右顶点，若 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知关于 的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数 的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 对于函数 和 ，下列选项正确 是（ ）
A. 与 有相同 最小正周期
B. 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
C. 与 在 上 最大值相等
D. 与 的图象有相同的对称轴
10. 已知函数 与 的图象有两个交点 ，其中 且
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，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知棱长为 2 的正四面体 满足 ，则下列选
项正确的是（ ）
A.
B. 当 时，
C. 当 时， 的最小值为
D. 当 时， 的取值范围为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 设 是等比数列 的前 项和， ，则 __________．
13. 已知圆锥 的顶点和底面的圆周都在球 的球面上，圆锥 的底面半径为 ，高为 ，当该圆锥的
体积取得最大值时， __________．
14. 为抛物线 上一动点，过 作圆 的一条切线， 为切点，点 ，
则 的最小值为__________．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在 中， 在 边上， ．
（1）当 时，求 的面积；
（2）当 时，求线段 的长度．
16. 如图，直线 平面 ， ，点 为线段 的中点，点 在线段 上，
， ， ．证明：
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（1）
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
17. 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹
是以椭圆的中心为圆心， 为半径的圆（ 为椭圆的长半轴长， 为椭圆的短半轴长），这个圆被称
为蒙日圆．已知椭圆 的蒙日圆的面积为 ，短轴长为 ，作直线 与椭圆 交
于 、 两点，与椭圆 的蒙日圆交于 、 两点．
（1）已知 ，直线 斜率为 ，若直线 、 的斜率满足 ，求直线 的方程；
（2）若椭圆 的左右焦点分别为 、 ，直线 过坐标原点．求证： ．
18. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围；
（3）若 ，求证： ．
19. 已 知 表 示 数 列 中 最 大 的 项 ， 按 照 以 下 方 法 ：
， ， ，…，得到数列
，则称数列 为数列 的“ 数列”．
（1）若 ，写出 ；
（2）若数列 满足 ，且 ．
（i）求 ；
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（ii）求 的前 项和 ．
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