福建省福州市2023_2024学年高二数学上学期期末联考试题

这是一份福建省福州市2023_2024学年高二数学上学期期末联考试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 在正项等比数列中，，则数列的公比为（ ）
A．B．4C．D．2
2.抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
3.已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，
则下列关系正确的是（ ）
A．B． C． D．
4、直线过定点Q，若为圆上任意一点，
则的最大值为
A．1B．3C．4D． 2
5．在等差数列中，若S3=3，S6=24，则S12=( )
A．100 B．120 C．57 D．18
6. 在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，
其中，且双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则下列关系不正确的是（ ）
.
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7. 已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，
则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
8．已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（ ）
A．3B．C． D ．2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9.若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（ ）
A．若，则为椭圆
B．若为椭圆，且焦点在轴上，则
C．曲线可能是圆
D．若为双曲线，则
10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，,设数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
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11.设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C． D．的最小值为
12．已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的
焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的斜率为，则
B．的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为
D．若点，则的周长最小值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知数列的前项和，则数列的通项公式=.
14.已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，
则实数的取值范围为.
15.如图，四棱锥中，底面 , 底面是边长为6的正方形，
且四棱锥的外接球的表面积为，点在线段上，且
为线段的中点，则点到直线上任意点的距离的最小值为．
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16. 瑞典数学家科赫在1904年构造能描述雪花形状的图案，就是数学中一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线（图2），如此继续下去形成雪花曲线（图3），直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线的边数为，面积为，
若正三角形的边长为，则=;=.

四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6大题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）
17．已知等差数列的前项和为，；
（1）求等差数列的前项和及的最大值；
（2）求数列的前项和.
18．（12分）已知圆，直线过点.
(1)若直线与圆相交，求直线的斜率的取值范围；
(2)以线段为直径的圆与圆相交于两点，求直线的方程及的面积。
19.已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长 ，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点, 的面积为.
(1)求双曲线的标准方程;
（2）过点的直线交双曲线于两点,且点是线段的中点，求直线的方程.
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20.在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
21．已知数列的首项，且满足．
（1）判断数列是否为等比数列；
（2）若，记数列的前n项和为，求．
22．已知点，是圆：上的任意一点，
线段的垂直平分线交于点,设动点的轨迹曲线为；
求曲线的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线交曲线于两点，交直线于．过点作轴的垂线，垂足为，直线 交轴于点，直线交轴于点，求线段中点M的坐标．
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完卷时间：120分钟 满分：150分
第I卷
选择题（单选8题，每小题5分；多项选择4题，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13、14、15、16、 (2分) （3分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6大题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）
17.法一（1）解：…1分
…………2分
，……………………………………3分
…………………………4分
……5分
当或时，……………………6分
………………………………7分
法二（1）解：eq \\ac(○,1)………1分
eq \\ac(○,2)……………………………2分
由eq \\ac(○,1)-eq \\ac(○,2)得，…………………………………………………………3分
………………………………………………………………………4分
………………………………5分
当或时，………………………………………………6分
…………………………………………………………7分
法三（1）解：设
eq \\ac(○,1)……………………1分
eq \\ac(○,2)……………………2分
由eq \\ac(○,1)-eq \\ac(○,2)得，……………………………………………………3分
……………………………………………………………………4分
……………………………………………………………5分
当或时，………………………………………………………6分
……………………………………………………………………7分
（2）由（1）可得 ……………………8分
……………………9分
……………………………………10分
18.法一（1）由已知可得圆，……………………1分
直线即……………………………………2分
∵直线与圆相交，
∴圆心到直线的距离小于半径，
即， ……………………………………………………4分
解得.
故直线的斜率的取值范围………………………………………5分
法二：设直线的方程……………………………………………1分
联立方程得 ………………3分
……………………………………………4分
解得解得.
故直线的斜率的取值范围……………………………………5分
（2） 以为直径的圆，……………………………………6分
且半径 ，……………………………………………………7分
圆的方程为，……………………………………8分
在圆上
又在圆：上，
所在直线即两圆公共弦直线，
将两圆方程作差得
∴直线的方程为……………………………………………………9分
法一：因为圆心到直线的距离即…………10分
………………………………………………………11分
所以的面积……………………………………………………………12分
法二：联立方程得，………………………10分
解得或 ………………………………………………………11分
所以的面积……………………………………………………………12分
19.（1）解：由题设双曲线，直线的方程为…………1分
联立方程解得……………………………………………2分
……………………………………………………3分
，……………………………………………………4分
，
……………………………………………5分
所以双曲线的标准方程为.……………………………………6分
法一：（2）解：因为过点的直线与双曲线相交于两点，
可知，直线的方程不是，……………………………………………7分
设直线的方程为即…………………8分
联立方程
得eq \\ac(○,1)……………………9分
解得……………………………………10分
将代入eq \\ac(○,1)，得……………………11分
故直线的方程为 ………………………………………………12分
法二：（2）因为过点的直线与双曲线相交于两点，
可知，直线的方程不是，……………………………………7分
设
……………………………………………………8分
得，
……………………………………………10分
直线的方程为即……………………………11分
联立方程
得
故直线的方程为……………………………………………12分
20.法一（1）证明：取中点，连接，
为的中点，
，……………………………………………1分
又，……………………………………………2分
，
四边形为平行四边形：………………………………………3分
，……………………………………………………………4分
平面平面，
平面……………………………………………………5分
法二（1）证明：取中点，连接，
为的中点，
平面平面，平面…………………1分
又，
，
四边形为平行四边形：
，………………………………………………………………………2分
平面平面，
平面……………………………………………………………………3分
,平面
平面平面,……………………………………………………………4分
平面平面…………………………………………………5分
（2）解：平面平面，
平面平面平面，
平面，………………………………………………………………6分
取中点，连接，则平面，
,
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，…………7分，
，
又，
，
，…………………………………………………9分
设平面的一个法向量，，
则，取，则，………………10分
平面的一个法向量可取， ………………………………………11分
设平面与平面所成的夹角为，
,
故平面与平面所成的夹角的余弦为………………………………12分
21.（1）法一 解：解得，
则数列不是等比数列……………………………………1分
即……………………………2分
，，………………3分
，…………………………………4分
……………………………5分
所以当时则数列不是等比数列
当时，数列是以为首项，为公比的等比数列．……………6分
法二 解得，
则数列不是等比数列……………………………………1分
即……………………………………2分
，，……………………3分……………………4分
……………………5分
所以当时则数列不是等比数列
当时，数列是以为首项，为公比的等比数列．……………6分
（2）由（1）知，，……………………7分
则．……………………………8分
则
令……………………………………9分
令①，
所以②，…10分
①-②得：
，……………………11分
得．
……………………………………12分
22.解（1） 设动点
因为线段的垂直平分线交于点
所以…………………………………………………………………………1分
……………………………………………………2分
…………………………………………………………………………………3分
由椭圆定义可知点的轨迹为以为左右焦点，长轴长为4的椭圆…………4分
设动点的轨迹曲线的方程（）
故动点的轨迹曲线的方程…………………………………………………5分
（2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为
联立，整理得………………………………6分
设，则，………………………………7分
直线l交直线于，则…………………………………………………8分
所以直线的方程为，
令，解得，则………………………………………………9分
所以直线的方程为，
令，解得，则……………………………………………10分
所以线段CD中点M的坐标为………………………………………………………12分
法二：直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为
联立，整理得………6分
设，则，………7分
直线l交直线于，则………8分
所以直线的方程为，
令，解得，则………9分
同理可得………10分
所以线段CD中点M的坐标为………12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
D
B
B
D
C
A
BC
ABD
AC
BCD