初中数学人教版（2024）八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形精练

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形精练，共21页。试卷主要包含了如图，由四个全等的直角三角形，在平面中，下列说法正确的是，在下列4个判断中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（ ）
A．2αB．45°+αC．D．
2．如图，由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接AG．若AG＝AB，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为（ ）
A．1：6B．1：5C．1：4D．1：3
3．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝3，那么正方形ABCD的面积为（ ）
A．B．6C．8D．10
4．如图，在一个大长方形中放入了标号为①，②，③，④，⑤五个四边形，其中①，②为两个长方形，③，④，⑤为三个正方形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙．若想求得长方形②的周长，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法：
甲说：只需要知道①与③的周长和；
乙说：只需要知道①与⑤的周长和；
丙说：只需要知道③与④的周长和；
丁说：只需要知道⑤与①的周长差．
下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确B．甲和乙均正确
C．乙和丙均正确D．只有丁正确
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P，Q分别是边AD，BC上的动点，点P从A出发到D停止运动，点Q从C出发到B停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：
①存在四边形APCQ是矩形；②存在四边形APCQ是菱形；
③存在四边形APQB是矩形；④存在四边形APQB是正方形．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
6．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列判断正确的是（ ）
A．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形
C．若AC⊥BD，AC＝BD，则四边形ABCD是正方形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则四边形ABCD是平行四边形
7．在平面中，下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
8．已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，若EG∥BC，FH∥CD，则四边形EFGH一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．对角线互相垂直且相等的四边形
9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A．14B．15C．16D．17
10．在下列4个判断中正确的是（ ）
A．如果四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．正方形具有矩形的性质，又具有菱形的性质
D．四边相等的四边形是正方形
二．填空题（共5小题）
11．如图，如图，已知点P为正方形ABCD内一点，连接BP、CP，若∠BPC＝90°，BP＝8，CP＝6，则点P到直线AD的距离为 ．
12．如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线上一点，EC＝AC，则∠DAE的度数为 °．
13．在初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由： 的矩形是正方形．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC＝BD，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个条件是 ．
15．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：
（1）△DOF≌△COE；
（2）CF＝BE；
（3）四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；
（4）OF2+OE2＝EF2．其中正确的是 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，把一边长为x cm的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为y cm的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒．
（1）求该纸盒的表面积；（用x，y表示）
（2）若x＝9cm，y＝2cm时，求该纸盒的体积；
（3）为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时x与y之间的倍数关系．
17．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CB的延长线上，连接AF，CE，恰好满足AF＝CE．
（1）求证：AF∥CE；
（2）若四边形AFCE的面积是28，CF＝7，求CE的长．
18．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：矩形ABCD为正方形．
19．如图，菱形ABCD中∠B＜90°，过顶点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）填空：四边形AEFD 为正方形．（填“可能”或“不可能”）
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积．
《18.2.3 正方形》同步练习-2024-2025学年第二学期人教版数学八年级下册
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（ ）
A．2αB．45°+αC．D．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝DC，AD∥BC，
在△ADG和△DCF中，，
∴△ADG≌△DCF（SAS），
∴∠DAG＝∠CDF，
∵∠DAG＝α，
∴∠CDF＝α，
∵∠ADG＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣α，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠ADF＝90﹣α，
∵EF＝DE，
∴△EDF是等腰三角形，
∴∠EFD＝∠EDF＝90°﹣α，
∵在△ADM中，∠DAM＝α，∠ADM＝∠ADF+∠EDF＝90﹣α+90°﹣α＝180°﹣2α，
∴∠AMD＝180°﹣α﹣（180°﹣2α）＝α，
∴∠DAM＝∠AMD，
∴△ADM是等腰三角形，
∴AD＝DM，
∴DM＝DC，
∴△DCM是等腰三角形，
∴∠DCM＝∠DMC（180°﹣∠CDM），
∵∠CDM＝∠ADM﹣∠ADC＝180°﹣2α﹣90°＝90°﹣2α，
∴∠DCM（180°﹣90°+2α）＝45°+α，
故选：B．
2．如图，由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接AG．若AG＝AB，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为（ ）
A．1：6B．1：5C．1：4D．1：3
【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴∠GFE＝90°，
∴AF⊥BG，
∵AG＝AB，
∴AF是BG边上的中线，
∴GF＝BF，
设GF＝BF＝x，则BG＝GF+BF＝2x，
∵Rt△DAE≌Rt△ABF≌Rt△BCG≌Rt△CDH，
∴AF＝BG＝2x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
，
∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为：，
故选：B．
3．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝3，那么正方形ABCD的面积为（ ）
A．B．6C．8D．10
【解答】解：∵点E在正方形ABCD的边AB上，EB＝1，EC＝3，
∴∠B＝90°，
在直角三角形BCE中，由勾股定理得：BC2＝EC2﹣EB2＝32﹣12＝8，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝8．
故选：C．
4．如图，在一个大长方形中放入了标号为①，②，③，④，⑤五个四边形，其中①，②为两个长方形，③，④，⑤为三个正方形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙．若想求得长方形②的周长，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法：
甲说：只需要知道①与③的周长和；
乙说：只需要知道①与⑤的周长和；
丙说：只需要知道③与④的周长和；
丁说：只需要知道⑤与①的周长差．
下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确B．甲和乙均正确
C．乙和丙均正确D．只有丁正确
【解答】解：设③的边长为a，④的边长为b，②的宽为x，
∴⑤的边长为a+b，②的长为：a+a+b＝2a+b，①的长为x+a，宽为b﹣a，
∴②的周长为：2（2a+b+x）＝4a+2b+2x，
∵①的周长＝2（x+a+b﹣a）＝2x+2b，③的周长为4a，
∴①与③的周长和为：4a+2b+2x，
∴甲的说法正确；
∵①的周长＝2（x+a+b﹣a）＝2x+2b，⑤的周长为2（a+b）＝2a+2b，
∴①与⑤的周长和为：2a+2b+2x+2b＝2a+4b+2x，
∴乙的说法错误；
∵③的周长＝4a，④的周长＝4b，
∴③与④的周长和为：4a+4b，
∴丙的说法错误；
∵⑤的周长为2（a+b）＝2a+2b，①的周长＝2（x+a+b﹣a）＝2x+2b，
∴⑤与①的周长差为：2a+2b﹣2x﹣2b＝2a﹣2x，
∴丁的说法错误；
综上可知：说法正确的只有甲，
故选：A．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P，Q分别是边AD，BC上的动点，点P从A出发到D停止运动，点Q从C出发到B停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：
①存在四边形APCQ是矩形；②存在四边形APCQ是菱形；
③存在四边形APQB是矩形；④存在四边形APQB是正方形．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
当点P与D重合，点C与B重合时，存在四边形APCQ是矩形；故①正确；
∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形APCQ是平行四边形，
当AP＝CP时，四边形APCQ是菱形，
设AP＝x，则CP＝x，PD＝6﹣x，
∵∠D＝90°，
∴PC2＝PD2+CD2，
∴x2＝（6﹣x）2+42，
解得x＝6.5，
故当AP＝6.5时，四边形APCQ是菱形；故②正确；
当AP＝BQ时，四边形APQB是矩形，
∵AP＝CQ，
∴BQ＝CQBC＝3，
当AP＝3时，四边形APQB是矩形，故③正确；
不存在四边形APQB是正方形，
理由：当AP＝AB＝BQ＝4，
则CQ＝2，
∵AP＝CQ，
∴BQ＝CQ＝4，
∵BC＝BQ+CQ＝6，
∴不存在四边形APQB是正方形故④错误，
故选：A．
6．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列判断正确的是（ ）
A．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形
C．若AC⊥BD，AC＝BD，则四边形ABCD是正方形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则四边形ABCD是平行四边形
【解答】解：A、若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选项A不符合题意；
B、若AC＝BD，则四边形不一定ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、若AC⊥BD，AC＝BD，则四边形ABCD不一定是正方形，故选项C不符合题意；
D、∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
7．在平面中，下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
【解答】解：A、四边相等的四边形也可能是菱形，故正确；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项错误；
C、四个角相等的四边形是矩形，故错误；
D、对角线互相垂直的四边形是菱形，故错误；
故选：A．
8．已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，若EG∥BC，FH∥CD，则四边形EFGH一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．对角线互相垂直且相等的四边形
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD
∵EG∥BC，
∴∠CGE＝∠BCD＝90°，EG＝BC，
∵FH∥CD，
∴∠EOF＝∠EGC＝90°，FH＝CD，
∴EG⊥FH
∵BC＝CD，
∴FH＝EG，即四边形EFGH一定是对角线互相垂直且相等的四边形．
故选：D．
9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A．14B．15C．16D．17
【解答】解：设正方形B的边长为a，其中a＞0，
∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1，
∴阴影部分为正方形，且边长为1，
∴图①中大正方形的边长为a+1，
即正方形A的边长为a+1，
又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示：
∴图②中大正方形的边长为：a+a+1＝2a+1，
∵图②中阴影部分的面积为7，
∴（2a+1）2﹣a2﹣（a+1）2＝7，
整理得：2a2+2a﹣7＝0，
解得：a1，a20（不合题意，舍去），
∴图②中大正方形的边长为：2a+1，
∴图②中大正方形的面积为15．
故选：B．
10．在下列4个判断中正确的是（ ）
A．如果四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．正方形具有矩形的性质，又具有菱形的性质
D．四边相等的四边形是正方形
【解答】解：A．如果四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，故A选项错误；
B．对角线互相垂直的四边形是菱形，故B选项错误；
C．正方形既具有矩形的一切性质，又具有菱形的一切性质，故C选项正确；
D．四边相等的四边形是菱形，故D选项错误；
所以其中正确的命题是C；
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．如图，如图，已知点P为正方形ABCD内一点，连接BP、CP，若∠BPC＝90°，BP＝8，CP＝6，则点P到直线AD的距离为 5.2 ．
【解答】解：∵∠BPC＝90°，BP＝8，CP＝6，
∴，
∴CD＝BC＝10，
设点P到BC的距离为h，
∵△BCP的面积，
∴，
48＝10h，
h＝4.8，
∴点P到直线AD的距离为：10﹣4.8＝5.2，
故答案为：5.2．
12．如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线上一点，EC＝AC，则∠DAE的度数为 22.5 °．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ACB＝45°，
∵EC＝AC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠E+∠CAE＝∠ACB＝45°，
∴∠E＝∠CAE＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°．
故答案为：22.5．
13．在初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由： 有一组邻边相等 的矩形是正方形．
【解答】解：如图，由折叠得AE＝AF，∠AFE＝∠B＝90°，
∵∠BAF＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵有一组邻边相等的矩形是正方形，且AF＝AB，
∴四边形ABEF是正方形，
故答案为：有一组邻边相等．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC＝BD，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个条件是 AC⊥BD（答案不唯一） ．
【解答】解：添加的条件是AC⊥BD（答案不唯一），
理由：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）．
15．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：
（1）△DOF≌△COE；
（2）CF＝BE；
（3）四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；
（4）OF2+OE2＝EF2．其中正确的是 ①②③④ ．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠COF+∠DOF＝90°，
∴∠COE＝∠DOF，
在△COE和△DOF中，
，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ，故③正确；
④在Rt△ECF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得：OE2+OF2＝EF2，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④，
故答案为：①②③④．
三．解答题（共5小题）
16．如图，把一边长为x cm的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为y cm的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒．
（1）求该纸盒的表面积；（用x，y表示）
（2）若x＝9cm，y＝2cm时，求该纸盒的体积；
（3）为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时x与y之间的倍数关系．
【解答】解：（1）该纸盒的表面积为（x2﹣4y2）cm2；
（2）该纸盒的体积为y（x﹣2y）2cm3，
当x＝9cm，y＝2cm时，y（x﹣2y）2＝2×（9﹣2×2）2＝50（cm3），
答：该纸盒的体积为50cm3；
（3）如图，
∵AD＝2AE＝2DF，
∴EF＝2AD＝4AE，
∵EF＝x，AE＝y，
∴x＝4y，
∴x与y之间的倍数关系是x＝4y．
17．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CB的延长线上，连接AF，CE，恰好满足AF＝CE．
（1）求证：AF∥CE；
（2）若四边形AFCE的面积是28，CF＝7，求CE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∵AF＝CE，
∴Rt△ABF≌△DEC（HL），
∴BF＝DE，
∴AD+DE＝BF+BC，
∴AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）解：由（1）知四边形AFCE是平行四边形，
∵四边形AFCE的面积是28，CF＝7，
∴CD＝28÷7＝4＝AD，
∵AE＝CF＝7，
∴DE＝AE﹣AD＝3，
∴CE5；
故答案为：5．
18．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：矩形ABCD为正方形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
19．如图，菱形ABCD中∠B＜90°，过顶点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）填空：四边形AEFD 不可能 为正方形．（填“可能”或“不可能”）
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴AD∥EF，
∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC，
即EF＝BC＝AD
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD为矩形．
（2）解：四边形AEFD不可能为正方形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∴AE⊥BC，
∴AEB＝90°，
∴AB＞AE，
即AD＞AE，
∴四边形AEFD不可能为正方形，
故答案为：不可能．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形，
又∵AB⊥BC，
∴菱形ABCD为正方形，
（2）连接AC，如图所示：

∵CF⊥AE于点F，点F为AE的中点，
∴CF为线段AE的垂直平分线，
∴AC＝CE＝8√2，
∵四边形ABCD为正方形，
∵AD＝BC，∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
∴AD2AC264，
∴四边形ABCD的面积＝AD2＝64．
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答案
B
B
C
A
A
D
A
D
B
C