2025年陕西省西安中学高考数学一模试卷

这是一份2025年陕西省西安中学高考数学一模试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合，3，，，，若，则
．1．或2．2．
2．（5分）已知为虚数单位，若，则
．．2．．
3．（5分）设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
．充分而不必要条件
．必要而不充分条件
．充分必要条件
．既不充分也不必要条件
4．（5分）若，则
．．．．
5．（5分）某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定、、、、共五个等级（见下表）．第二步，将至五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到、、、和五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分．
赋分公式：，计算出来的经过四舍五入后即为赋分成绩．
某次考试，化学成绩等级的原始最高分为98分，最低分为63分．学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的化学赋分分数为
．85．88．91．95
6．（5分）若函数是上的减函数，则的取值范围为
．，．
．，．，，
7．（5分）已知直线与相交于，两点，且为等边三角形，则实数
．或2．或4．．
8．（5分）已知函数及其导函数定义域均为，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则
．0．3．4．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．
（多选）9．（6分）已知函数，则
．函数的图象关于点，对称
．函数的图象关于直线对称
．若，，则函数的值域为，
．函数的单调递减区间为，
（多选）10．（6分）若函数，则
．的图象关于对称
．在上单调递增
．的极小值点为
．有两个零点
（多选）11．（6分）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点位于点右方，若，则下列结论一定正确的有
．．
．．直线的斜率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．
13．（5分）在等差数列中，，则的值为 ．
14．（5分）三棱锥中，，，平面平面，且．记的体积为，内切球半径为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．中，．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
16．如图，在四棱锥中，底面四边形的边长均为2，且，，，棱的中点为．
（1）求证：平面；
（2）若的面积是，求点到平面的距离．
17．已知椭圆的离心率为，且短轴长2，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程．
18．高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为．
（1）求每个芯片智能检测不达标的概率；
（2）人工检测抽检50个芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求；
（3）若芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良．
19．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点，在函数的图象上，其中为正整数．
（Ⅰ）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记，求数列的前项和，并求使的的最小值．
2025年陕西省西安中学高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合，3，，，，若，则
．1．或2．2．
【分析】依题意可得或，求出，再代入检验即可．
【解答】解：因为合，3，，，且，
所以或，
解得或或，
当时，集合不满足元素的互异性，故，
当时，3，，，符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
2．（5分）已知为虚数单位，若，则
．．2．．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：，
则．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的概念，属于基础题．
3．（5分）设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
．充分而不必要条件
．必要而不充分条件
．充分必要条件
．既不充分也不必要条件
【分析】，为非零向量，存在负数，使得，则向量，共线且方向相反，可得．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足，而不成立．即可判断出结论．
【解答】解：，为非零向量，存在负数，使得，则向量，共线且方向相反，可得．
反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足，而不成立．
，为非零向量，则“存在负数，使得”是”的充分不必要条件．
故选：．
【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）若，则
．．．．
【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查三角函数求值，属基础题．
5．（5分）某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定、、、、共五个等级（见下表）．第二步，将至五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到、、、和五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分．
赋分公式：，计算出来的经过四舍五入后即为赋分成绩．
某次考试，化学成绩等级的原始最高分为98分，最低分为63分．学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的化学赋分分数为
．85．88．91．95
【分析】根据赋分公式有，即可求化学赋分分数．
【解答】解：由题意，该学生的化学赋分分数为，
则，
所以，解得分．
故选：．
【点评】本题主要考查统计的新定义，考查运算求解能力，属于基础题．
6．（5分）若函数是上的减函数，则的取值范围为
．，．
．，．，，
【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数是上的减函数，
则，解可得，
即的取值范围为，，
故选：．
【点评】本题考查分段函数单调性的判断，注意函数单调性的定义，属于基础题．
7．（5分）已知直线与相交于，两点，且为等边三角形，则实数
．或2．或4．．
【分析】根据为等边三角形，得到圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：的圆心，半径，
直线和圆相交，为等边三角形，
圆心到直线的距离为，
即，所以，
解得或，
故选：．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系的应用，根据为等边三角形，得到圆心到直线的距离是解决本题的关键，属中档题．
8．（5分）已知函数及其导函数定义域均为，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则
．0．3．4．1
【分析】根据题设知关于、对称且（3），即可求（9），再由已知有关于、对称，求，即可得解．
【解答】解：由关于原点对称，则关于轴对称，且，
所以关于对称，关于对称，且（3），
又，即，则关于对称，
综上，，，则，
所以，而，故，
又，则关于对称，即，
所以，则（9）（6）（3），
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．
（多选）9．（6分）已知函数，则
．函数的图象关于点，对称
．函数的图象关于直线对称
．若，，则函数的值域为，
．函数的单调递减区间为，
【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用判断、、、的结论．
【解答】解：已知函数，
对于：当时，，故正确；
对于：当时，，故错误；
对于：由于，故，故．
故的值域为，故错误；
对于：令，整理得，，函数的单调递减区间为，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）10．（6分）若函数，则
．的图象关于对称
．在上单调递增
．的极小值点为
．有两个零点
【分析】根据已知条件，结合函数的对称性，以及利用导数研究函数的单调性，即可求解．
【解答】解：，
则的定义域为，，，
，关于对称，故正确；
，
当 时，， 上单调递减，故错误；
当时，，在，上单调递增，
故，故正确；
当趋近于1时，趋近于无穷大，当趋近于0时，趋近于无穷大，
故无零点，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查导数的应用，考查转化能力，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点位于点右方，若，则下列结论一定正确的有
．．
．．直线的斜率为
【分析】设直线的方程为，不妨设，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，可得，的表达式，再由正弦定理得到，得到，代入两根之和，两根之积，列出方程，求出的值，进而求出的值，根据可判断；进而可得的值，可判断；根据可判断；根据对称性判断．
【解答】解：由题意得，，，
当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，
故设直线的方程为，不妨设，设，，，，则，，
联立，整理可得，易得△，
则，，
则，，
在中，由正弦定理得，
在中，，
因为，，
所以，，
即，
又由焦半径公式可知，
则，即，
即，
解得，
则，，
可得，为方程的两个根，且，
解得，，
故．
，
当时，由抛物线的对称性可得到，故正确；
，故正确；
，故正确；
当时，，则，即，
此时，
由对称性可得，当时，，
故直线的斜率为，故错误．
故选：．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．
【分析】基本事件总数，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．
【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，
基本事件总数，
选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：
，
选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
13．（5分）在等差数列中，，则的值为 48 ．
【分析】为等差数列，所以，然后将也表示为用表示即可．
【解答】解：因为数列为等差数列，所以可化为可化为，又因为，
故填：48．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
14．（5分）三棱锥中，，，平面平面，且．记的体积为，内切球半径为，则的最小值为 ．
【分析】由题意，根据等体积法可得，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而可解．
【解答】解：设三棱锥的高为，取中点，
连接，，
此时，
因为，
所以，
则，，
因为平面平面，且交线为，，平面，
所以平面，
所以，
此时，，
因为，
所以和的面积为，
则三棱锥的表面积为，
因为，
所以，
即，
设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，最小值为，
则当时，取得最小值，最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性以及棱锥的体积，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．中，．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
【分析】（1）运用余弦定理和特殊角的三角函数值，可得所求角；
（2）方法一、运用正弦定理和三角函数的和差公式，结合余弦函数的图象和性质，可得所求最大值．
方法二、运用余弦定理和基本不等式，即可得到所求最大值．
【解答】解：（1）设的内角，，所对的边分别为，，，
因为，
由正弦定理可得，
即为，
由余弦定理可得，
由，可得；
（2）由题意可得，
又，可设，，，
由正弦定理可得，
可得，，
则周长为，
，
当，即时，的周长取得最大值．
另解：，，又，
，
由，则（当且仅当时，“”成立），
则周长的最大值为．
【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换和图象与性质，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
16．如图，在四棱锥中，底面四边形的边长均为2，且，，，棱的中点为．
（1）求证：平面；
（2）若的面积是，求点到平面的距离．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）利用三棱锥的体积关系，求解点到平面的距离即可．
【解答】解：（1）证明：为菱形，，
又，，，平面，
平面，又平面，，
又，，，平面，
平面；
（2）为的中点，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
由（1）知，平面，，
又，，，，
设点到平面的距离为，则根据等体积算法可得：
，
又，，
又，，，
，
又，，
，
，．
【点评】本题考查线面垂直的判定定理与性质，等体积法求解点面距问题，化归转化思想，方程思想，属中档题．
17．已知椭圆的离心率为，且短轴长2，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程．
【分析】（1）直接由右顶点及离心率和，，之间的关系求出椭圆的方程；
（2）设直线方程与椭圆联立得两根之和及之积，又弦长公式求出弦长及原点到直线的距离，求出面积，由均值不等式求出面积的最大值时的直线方程．
【解答】解：（1）由题意得：，，，解得：，，
所以椭圆的方程为：；
（2）由题意得直线的斜率存在且不为零，设直线的方程：，，，
联立与椭圆的方程整理得：，
△，得，，，
所以弦长，
原点到直线的距离，
所以，
令，所以，
，当且仅当时等号成立，
即，满足条件，解得，
所以直线的方程为：．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
18．高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为．
（1）求每个芯片智能检测不达标的概率；
（2）人工检测抽检50个芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求；
（3）若芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良．
【分析】（1）先求每个芯片智能检测达标的概率，再利用对立事件的概率求解；
（2）先求，利用导数判断单调性可求解；
（3）利用条件概率求出芯片的合格率，与比较可得结论．
【解答】解：（1）记事件“每个芯片智能检测不达标”，则．
（2）由题意，
则，
令，则，
当，，为增函数；
当，，为减函数；
所以在处取到最大值．
（3）记事件“人工检测达标”，
则，
又，
所以，
故需要对生产工序进行改良．
【点评】本题考查随机变量的期望与方程，属于中档题．
19．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点，在函数的图象上，其中为正整数．
（Ⅰ）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记，求数列的前项和，并求使的的最小值．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出，从而能证明是“平方递推数列”，对两边取对数能证明数列是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，从而得到，由此利用等比数列求和公式能求出结果．
（Ⅲ）由，求出，由此能求出使的的最小值．
【解答】（Ⅰ）证明：点，在函数的图象上，
，
，
是“平方递推数列”．（2分）
对两边取对数得，
数列是以为首项，2为公比的等比数列．（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 （5分）
．（8分）
（Ⅲ）解：（9分）
（10分）
又，即（11分）
又，．（12分）
【点评】本题考查“平方递推数列”和等比数列的证明，考查数列前项和的求法，考查最小值的求法，解题时要认真审题，注意等比数列前项和公式的合理运用．
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比例
赋分区间


题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
等级

比例
赋分区间