长沙市麓山国际实验学校2024-2025学年高三下学期入学考试数学试卷

这是一份长沙市麓山国际实验学校2024-2025学年高三下学期入学考试数学试卷，共4页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.或
2.若复数满足，则其共轭复数为（ ）
A.B.C.D.
3.等比数列中， ，则 （ ）
A.2B.4C.9D.252
4.设，，是非零向量，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.若函数,恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
6.过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C.或 D.或
7.如图，过原点的直线交椭圆于两点，过点分别作轴、的垂线，且分别交椭圆于点，，连接交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
8.已知正数，满足，若恒成立，则实数的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.
9.下面命题中是假命题的有（ ）
A.△ABC中，若，则
B.若，则是第一象限角或第二象限角
C.若一个扇形所在圆的半径为，其圆心角为弧度，则扇形的周长为
D.函数的最小值为
10.已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（ ）
A.展开式共有6项
B.二项式系数最大的项是第4项
C.展开式常数项为540
D.展开式的有理项共有3项
11.已知等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，最大
B.使得成立的最小自然数
C.
D.数列中的最小项为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为________．(若，则)
13.正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为________
14.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题: 本题共 5 小题，共77分， 解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15.在△ABC中，内角所对的边分别为．已知．
（1）求；
（2）若，求△ABC的面积．
16.随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以再店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取.
（1）求第二天获得优惠金额的数学期望；
（2）记“第天抽取1张奖券”概率为，写出与的关系式并求出.
17.已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
18.如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．
（1）当点为线段的中点时，求证：；
（2）当点在线段上时（包含端点），求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围．
19.在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；
（3）已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线．