2025届高考数学二轮专题复习与测试第一部分板块突破篇板块三立体几何提升点立体几何中的截面及动态问题课件

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类型1　截面问题命题角度❶　截面形状的判断　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(　　)A．矩形B．三角形C．正方形D．等腰梯形
【解析】　如图，取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G，由题意得GH∥EF，AH∥A1F，又GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，所以GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF，又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1，所以平面AHGD1∥平面A1EF，故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，显然为等腰梯形．
首先根据条件作出相应的截面图形，再结合线面位置关系的判定与性质加以分析，得到截面图形所满足的特征性质，确定其形状．
求截面图形的面积的前提是确定截面的形状，转化为平面图形求解．
1．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的(　　)
解析：其空间结构体如图所示，易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条侧棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；截面所得等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C.
2．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，D为棱AB的中点，则过点D的平面截该三棱柱外接球所得截面面积的取值范围为_________________．
对于C，连接NB，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又点B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确；
解立体几何中与动点轨迹有关问题的关键还是利用线面的平行、垂直关系，在此类问题中要么容易看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式．
(2024·广西模拟)若正四面体P-ABC的棱长为1，在其侧面PAB所在平面内有一动点Q，已知Q到底面ABC的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则k的值为__________．
【解析】　如图，连接B1D1，因为E，F分别为棱AB，AD的中点，所以B1D1∥EF，则B1，D1，E，F四点共面．连接A1C1，A1D，设A1C1∩B1D1＝M，A1D∩D1F＝N，连接MN，则点Q的轨迹为线段MN，
当涉及动点轨迹的长度、图形的面积和图形的体积以及体积的最值时，一般要用未知变量表示轨迹，然后借助于函数的性质求解．
2．已知如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，P分别为B1C1，C1D1，CD的中点，Q是正方形BCC1B1内的动点．若PQ∥平面AEF，则点Q的轨迹长度为________．