湖南省娄底市“思齐杯”2025年初中毕业学业考试模拟数学试题卷

这是一份湖南省娄底市“思齐杯”2025年初中毕业学业考试模拟数学试题卷，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．2025B．C．D．-2025
2．根据教育部教育考试院及官方公布的消息，2024年全国高考报名人数共有1342万人，1342万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．在下列函数中，其图象的对称轴条数最少的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，，于点，连接，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．若不等式组无解，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，直线、与相切，切点分别为，与相交于点，连接交于点，，若，，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
8．中国太极图中，黑色和白色均衡对称、稳定和谐地组成了一幅美丽的图画． 如图，太极图内切于正六边形中，则图中黑色部分的面积与正六边形的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
9．在中，的对边分别为a、b、c，若，且关于A、B的函数有意义，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在等腰中，，，，点D在边上运动，将沿所在的直线翻折得到，连接，E是线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则 ．
12．函数的自变量的取值范围是 ．
13．“见贤思齐焉，见不贤而内自省也”这句话中，“贤”字出现的概率是 ．
14．已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且满足，则m的值为 ．
15．如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则 ．
16．一个物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，则这个物体的表面积为 ．
17．如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为 ．
18．我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”． 在平面直角坐标系中，点，，点在线段上运动，过点作与轴平行的直线，与抛物线始终有交点． 设直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，若满足，则的取值范围为 ．
三、解答题
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中满足．
21．某中心学校九（1）班为了了解学生对消防知识的掌握情况，为此九（1）班全体同学进行了一次测试，测试满分为5分，将所得的分数（单位：分）进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题：

(1) ，并补全条形统计图；
(2)请计算九（1）班本次测试成绩的中位数和平均数；
(3)由于学校开展消防演练的需要，现从成绩前四名（1名男生和3名女生）中随机抽取2人进行对灭火器的实践操作，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中1男1女的概率．
22．如图，有一建筑物在小山上，小山的斜坡的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔，在坡底处测得避雷塔顶端的仰角为，在山顶处测得建筑物顶端的仰角为，已知在同一条垂直于地面的直线上，，，．
(1)求小山的高度；
(2)求避雷塔的高度．（结果精确到，，）
23．冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件．
(1)求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？
(2)某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、600元，求服装城应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完）
24．如图，点A在以为直径的上，的角平分线与交于点D，与交于点E，过点C作的平行线交于点F．

(1)求证：；
(2)连接，若与相切，，求的长度．
25．圆能够帮助我们解决很多问题，例如角的转换、点的轨迹等等，我们常常通过定角、定长来构造圆．在同一平面内，直线与直线交于点O，点A、B分别在直线、上运动，点C是该平面上任意一点，且A、B、C三点为顺时针走向，已知．
(1)如图1，若，，①写出以为直径的圆与直线交点个数；②求的最大值；
(2)如图2，若，，求的最大值．
26．已知抛物线与x轴左、右交点分别为A、B，与y轴负半轴交于点C，坐标原点为O，若，，点P是抛物线上的动点（点P在y轴右侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)D是线段的中点，①当时，请求出点P的坐标；②当时，请求出点P的坐标．
《湖南省娄底市“思齐杯”2025年初中毕业学业考试模拟数学试题卷》参考答案
1．B
【分析】本题考查倒数，根据积为1的两个数互为倒数，进行求解即可．
【详解】解：的倒数是；
故选B．
2．B
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．根据定义求解即可．
【详解】解：．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，二次根式的性质，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，二次根式的性质逐一判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
故选：．
4．B
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质．解决本题的关键是根据函数的图象与性质进行判断．
【详解】解：A选项：一次函数的图象是一条直线，直线有无数条对称轴；
B选项：反比例函数的图象是双曲线，双曲线是中心对称图形，不是轴对称图形，所以对称轴的条数为条；
C选项：二次函数的图象是抛物线，抛物线有条对称轴；
D选项：一次函数的图象是一条直线，直线有无数条对称轴．
对称轴条数最少的是反比例函数的图象．
故选：B ．
5．D
【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义．首先根据平行线的性质可知，根据垂直的定义可知，再根据角的和与差可得．
【详解】解：如下图所示，过点作，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D ．
6．B
【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数，反比例函数的图象和性质，求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于的不等式，利用反比例函数的图象和性质，进行求解即可．
【详解】解：解，得：，
∵不等式组无解，
∴，，，
令，
∵，
∴反比例函数的图象在第四象限，随着的增大而增大，
当时，，
∴当时，；
故选B．
7．A
【分析】设与交于点，由直线、与相切，切点分别为，与相交于点得，，然后证明垂直平分，则，又，则，故有，即平分，根据角平分线的性质，则可证明，根据性质得，由，，求出，通过勾股定理得到，然后设半径为，则，由勾股定理得，代入即可求解．
【详解】解：如图，设与交于点，
∵直线、与相切，切点分别为，与相交于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
设半径为，则，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴的半径为，
故选：．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，角平分线的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查了正多边形和圆，内切圆的性质和面积，等边三角形的面积以及勾股定理求边长，正确地计算能力是解决问题的关键．设圆的圆心为O，连接、，过点O作于点M，证明为等边三角形，设，根据勾股定理得出，求出，则黑色部分的面积为，求出，即可得出答案．
【详解】解：设圆的圆心为O，连接、，过点O作于点M，如图所示：
∵六边形为正六边形，
∴，，
∴为等边三角形，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴黑色部分的面积为，
∵，
∴图中黑色部分的面积与正六边形的面积之比是：
，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查正弦定理，解直角三角形，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，得到，，得到，根据，结合正弦定理，以及三角函数之间的关系，求出，得到，进而求出，得到，三角形的内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）
∴，
∴，
∴
∴；
故选C．
10．B
【分析】过点作，等边对等角，得到，三线合一结合锐角三角函数，求出的长，折叠得到，取的中点，连接，过点作，三角形的中位线定理，得到，进而得到点在以点为圆心的圆上，进而得到当三点共线时，最大，进行求解即可．
【详解】解：过点作，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，
取的中点，连接，，过点作，则：，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，为的中点，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴当三点共线时，的值最大为；
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，解直角三角形，三角形的中位线定理，求圆外一点到圆上一点的最值，熟练掌握相关知识点，确定点的运动轨迹，是解题的关键．
11．17
【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：17
12．且
【分析】此题考查了求函数自变量的取值范围，根据被开方数大于等于，分母不等于列式求解即可，熟练掌握函数是分式、二次根式时的自变量取值范围是解题的关键．
【详解】解：∵函数有意义，
∴自变量的取值范围为，
解得：且，
故答案为：且．
13．
【分析】本题考查了求概率，根据“贤”字出现的次数除以总字数即可，熟知概率公式的计算是解题的关键．
【详解】解：“见贤思齐焉，见不贤而内自省也”这句话中，共有个字，“贤”字出现了次，
∴“贤”字出现的概率为，
故答案为：．
14．0或8/8或0
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得或，分两种情况：①和②，利用一元二次方程根的判别式求解即可得．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两实数根为，，
∴，
∵，
∴，
∴或，
①当时，这个方程有两个相等的实数根，
则这个方程根的判别式，
解得或；
②当时，则，符合题意；
综上，的值为0或8，
故答案为：0或8．
15．
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，求出的坐标是解此题的关键．
过作轴于，得出，则根据菱形的性质得出是的中点，求得的坐标，进而求得的坐标，由反比例函数的图象经过点即可求出的值．
【详解】解：过作轴于，
∵，
则，
设，
则，
∵四边形是菱形，
∴是的中点，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
∵反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了求圆锥体的表面积．根据题意可判断该几何体是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为3，先求出圆锥的母线长，即可求出物体的表面积．
【详解】解：∵物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，
∴可判断该几何体是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为3，
∴圆锥的母线长为，
∴这个物体的表面积为．
故答案为：
17．
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，延长至点G，使，连接、、，根据可证明，得出，则，故当D、E、G三点共线时，取最小值为，然后根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解∶延长至点G，使，连接、、，
∵正方形，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
当D、E、G三点共线时，取最小值为，
在边长为5的正方形中，，，
∴，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式组，先由抛物线，则抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，画出图形，然后根据与抛物线始终有交点，直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，满足，联立不等式组，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由抛物线，
抛物线对称轴为直线，顶点坐标为：，
如图，
∵与抛物线始终有交点，
∴，
∵直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，满足，如图，
∴，
联立：，
∴的取值范围为，
故答案为：．
19．．
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角三角函数值，根据零指数幂，二次根式化简，绝对值化简，负整数指数幂，分母有理化，特殊角三角函数值分别进行计算，然后合并即可，熟练掌握相关知识并正确运算是解题的关键．
【详解】解：原式
．
20．，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先计算括号内分式加法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，然后解方程，再根据分式有意义的条件选取符合题意的代入求值即可，熟练掌握运算顺序，运算法则，解一元二次方程的方法步骤是解题得关键．
【详解】解：
，
由，解得：，，
∵，即
∴，
∴原式
．
21．(1)8，图见解析
(2)3分，2.98分
(3)
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，利用列表法求概率：
（1）求出3分的人数所占的比例，用3分的人数除以所占的比例求出总人数，再用5分的人数除以总人数求出的值，求出2分和4分的人数，补全条形图即可；
（2）根据中位数和平均数的计算方法，进行计算即可；
（3）用表示男生，表示女生，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：九（1）班的人数为：，
∴，
∴；
成绩为2分的学生人数为：，
∴成绩为4分的学生人数为：；
补全条形图如图：

（2）将成绩从小到大排列，第25个数据和第26个数据均为3分，
∴中位数为：3分；
平均数为：（分）；
（3）用表示男生，表示女生，列表如下：
共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有6种，
∴．
22．(1)小山的高度为；
(2)避雷塔的高度约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，仰角俯角问题，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由小山的斜坡的坡度为，则可得出，故有，然后代入求解即可；
（）过点作，垂足为点，证明四边形是矩形，则，，在中求出，则有，然后证明是等腰直角三角形，则，在中，，最后由，代入求解即可．
【详解】（1）解：∵小山的斜坡的坡度为，，，
∴，
∴，
∴中，，
则小山的高度为；
（2）解：如图，过点作，垂足为点，
∴则，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵在中，，
∴，
又∵在同一条垂直于地面的直线上，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵在中，，
∴，
则避雷塔的高度约为．
23．(1)鸭绒服的单价为每件元，鹅绒服每件元
(2)当购进鸭绒服和鹅绒服各30件时，利润最大，为5100元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用：
（1）设鸭绒服的单价为每件元，根据鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购进鸭绒服件，根据某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，列出不等式求出的取值范围，设总利润为，根据题意，列出函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设鸭绒服的单价为每件元，则：鹅绒服每件元，
由题意，得：，
解得：（舍去）或；
经检验，是原方程的解，
∴，
答：鸭绒服的单价为每件元，鹅绒服每件元；
（2）设购进鸭绒服件，则购进鹅绒服件；
由题意，得：，
解得：；
设总利润为，则：，
整理，得：，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值为：；
故当购进鸭绒服和鹅绒服各30件时，利润最大，为5100元．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）角平分线结合平行线推出，圆周角定理推出，三线合一即可得出结论；
（2）连接并延长，交于点，连接，先证明，得到，设，勾股定理求出的长，列出方程求出的长，再证明，得到，结合，求出的长，勾股定理求出，证明，得到，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵的角平分线与交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）连接并延长，交于点，连接，

∵是的切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，导角，证明三角形相似，是解题的关键．
25．(1)①当时，交点个数为1；当时，交点个数为2；②
(2)6
【分析】（1）①过点作且，连接、、，利用平行线的性质得出，得到，得到，则有点在以为直径的圆上；设中点为，以为直径的圆记为，由可知与直线至少有1个交点，再设与直线相切，利用正方形的性质和判定求出此时的长，即可得出结论；②由①中的结论可得，点在以为直径的圆上，设的中点为，则，再利用勾股定理求出的长，根据即可求出的最大值；
（2）在平面上取点使得且，作于点，连接、，先利用平行线的性质得出，利用三角形面积公式和三角函数的知识求出；作的外接圆，记圆心为，作于点，连接、、、，利用外接圆的性质和三角函数的知识求出的半径，再根据即可求出的最大值．
【详解】（1）解：①如图，过点作且，连接、、，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上；
设中点为，以为直径的圆记为，
，
点在上，
又点在直线上，
与直线至少有1个交点，
设与直线只有1个交点，即与直线相切，则有，
，
点在上，
点为与的交点，
，
，
又，，
，
，
点也是的中点，四边形是矩形，
，，
设中边的高为，则，
，
是中边的高，即，
四边形是正方形，
，
又，，
四边形为边长为2正方形，
，
当时，与直线相切；当时，与直线相交．
综上所述，当时，以为直径的圆与直线交点个数为1；当时，以为直径的圆与直线交点个数为2．
②由①中的结论可得，点在以为直径的圆上，
设的中点为，则，
，
，
，
的最大值为．
（2）解：在平面上取点使得且，作于点，连接、，
，
，，
，
，，
于点，
，
在中，，
；
作的外接圆，记圆心为，作于点，连接、、、，则，
，，
，，，
，
在中，，
，
的半径为，
在中，，
，
，
的最大值为6．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆、直线与圆的位置关系、解直角三角形、正方形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加辅助线构造直角三角形利用三角函数，构造三角形外接圆利用圆的性质求最值是解题的关键．本题属于几何压轴题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生．
26．(1)
(2)①或②或
【分析】（1）根据，，求出的长，进而求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①根据，得到，进而得到，推出四点共圆，圆周角定理得到为圆的直径，取的中点，则点即为圆心，连接，设，结合勾股定理列出方程进行求解即可；②中点得到，进而得到，取点，连接，得到，进而得到，同法①进行求解即可．
【详解】（1）解：抛物线与y轴负半轴交于点C，且，则：点在轴左侧，点在轴右侧：
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
∴，，，
∴设抛物线的解析式为：，把代入解析式，得：，
∴，
∴；
（2）①当∵，
∴，
∵，
∴当点与点重合时，满足题意；此时：；
当点与点不重合时，则：四点共圆，
∵，
∴为圆的直径，取的中点，则点即为圆心，连接，则：，
∵，
∴，，，
设点，
则：，
整理，得：
解得：（舍去）或（舍去）或（舍去）或，
当时，，
∴；
综上：或；
②∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
取点，连接，则：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边共圆，
∵，
∴为圆的直径，取的中点，则，，
∵，
∴，
设，
∴，
化简，得：，
解得：（舍去）或或（舍去）或；
∴或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，四点共圆，圆周角定理的推论，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
B
D
B
A
A
C
B
A
B
C
D
A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，D
D
D，A
D，B
D，C