高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示导学案

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知识点1区间
1．区间的概念(为实数,且)
2．其他区间的表示
重难点一 区间的表示及运算
【例1】用区间或集合表示下列数集：
（1） ；
（2）＝ ．
【例2】已知区间，则实数a的取值范围为 ．（用区间表示）
【变式1-1】用区间表示下列集合：
① ；
② ；
③ .
【变式1-2】不等式组的解集用区间表示为 ．
【变式1-3】已知全集，集合，，求，，．
知识点2函数的概念
1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作.
2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集．
3．对应关系
除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系．
注意：
（1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数．
（2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性．
（3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样．
重难点二 函数关系的判断
【例3】在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【例4】已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】下列四种说法中，不正确的是 （填序号）．
①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；
②函数的定义域和值域一定是无限集合；
③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了；
④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素．
【变式2-2】下列对应关系中是A到B的函数的是（ ）
A．，，
B．，，对应关系如图：

C．，，f：
D．，，f：
【变式2-3】（多选）下列各图象中，是函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
重难点三 求函数值或由函数值求参
【例5】已知函数y=fx的对应关系如下表，函数y=gx的图象如图，则的值为（ ）
A．3B．0C．1D．2
【例6】如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为 ．
【变式3-1】已知函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】已知，则（ ）
A．2B．3C．D．
【变式3-3】已知函数，若，则的值等于（ ）.
A．2B．C．D．
知识点3同一个函数
1．函数三要素：由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．
2．相同函数：值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数．
知识点4常见函数的定义域和值域
重难点四 求具体函数的定义域
【例7】函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【例8】求下列函数的定义域：
(1)；
(2).
【变式4-1】函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】函数的定义域为
【变式4-3】求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)．
重难点五 同一个函数的判断
【例9】下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．B．
C．D．
【例10】（多选）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【变式5-1】下列各组中的两个函数是同一函数的是（ ）
①，；②，；③，；④，．
A．①②B．②③C．③D．③④
【变式5-2】下列函数中与函数相等的函数是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】与表示同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
重难点六 求抽象函数的定义域
【例11】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【例12】已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-1】已知函数的定义域，则函数的定义域是 .
【变式6-2】已知函数的定义域为，则的定义域为 .
【变式6-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
重难点七 求简单函数的值域
【例13】求下列函数的值域.
(1);
(2);
(3)，
(4)
【例14】已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】函数，的值域为（ ）．
A．B．C．D．
【变式7-2】函数的值域为 .
【变式7-3】求下列函数的值域：
(1)，；
(2)；
(3)，；
(4)．
重难点八 由函数的定义域或值域求参数
【例15】函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例16】已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有 个.
【变式8-1】已知函数的定义域为，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【变式8-2】写出使得函数的值域为的一个定义域 ．
【变式8-3】若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ．
一、单选题
1．下列各组函数是同一组函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
2．若函数y=fx的定义域为，值域为，则函数y=fx的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数的定义域是，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（ ）
A．0B．C．D．
5．已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．给出函数，如下表，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若函数的定义域为，则下列选项是函数 的定义域的真子集的有（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数的值域是，则它的定义域可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
10．函数的定义域为
11．已知函数满足，，则 .
12．已知函数，当时，的值域是 ；若的值域是，则的定义域为 ．（写出满足条件的一个结论）
四、解答题
13．已知，．
(1)求的定义域；
(2)求，的值，的值域
14．函数．
(1)若的定义域为，求实数的值；
(2)若的定义域为，求实数的取值范围．
15．设函数的定义域为集合，函数的值域为集合.
(1)求，；
(2)已知集合，若，求实数的取值范围.
一、区间的表示及运算
五、同一个函数的判断
二、函数关系的判断
六、求抽象函数的定义域
三、求函数值或由函数值求参
七、求简单函数的值域
四、求具体函数的定义域
八、由函数的定义域或值域求参数
定义
名称
符号
数轴表示
闭区间
开区间
半闭半开区间
半开半闭区间
定义
符号
1
2
3
2
3
0
函数
函数关系式
定义域
值域
正比例函数
反比例函数
一次函数
二次函数
1
2
3
4
5
6
4
3
2
1
6
5
1
1
3
3
5
5