黑龙江省六校联合体2025届高三上学期模拟数学试卷

这是一份黑龙江省六校联合体2025届高三上学期模拟数学试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若且同时成立，则是（ ）
A．第四象限角B．第三象限角C．第二象限角D．第一象限角
3．若向量，满足，，，的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
4．下列不等关系中的充分条件是（ ）
A．B．；
C．；D．；
5．在正方体中，点和点分别在和上，且，则（ ）
A．与异面B．与和都垂直
C．与相交D．至多与和两者之一垂直
6．已知正项等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
7．函数图象如图所示，若函数在单调增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则被除的余数为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知圆，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（ ）
A．点在圆外B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
10．已知复数z，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则z的虚部为
C．若，则D．若，则
11．已知抛物线的焦点为，上不同两点，，以，为切点的切线，相交于点，、、三点共线.下列说法正确的有（ ）
A．最小值为4B．的最小值为
C．使得的直线有两条D．
三、填空题
12．直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则
13．已知正方体的棱长为2，为底面内（包括边界）的动点，若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
14．若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
四、解答题
15．在锐角中，，，
(1)求；
(2)若为的中点，求.
16．已知在平面直角坐标系中，两定点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.
(1)求点的轨迹方程，并指出的形状.
(2)若直线与点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.
17．函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若不等式对任意的，恒成立，求的取值范围.
18．如图，三棱锥中，平面，平面平面，，，.
(1)求三棱锥的体积；
(2)在线段上试确定一点，使得平面，经过三棱锥内切球的球心，并求的值.
19．对于一个有穷整数列，，，，对正整数，若对于任意的，有穷数列中总存在，，，，自然数使得，则称该数列为1到连续可表数列.即1到中的每个数可由中的一个或连续若干项表示，而不可由中连续若干项表示.例如数列2，1，3则，，，，而，，，所以数列2，1，3是1到4连续可表数列.
(1)数列，，，，是否为1到5连续可表数列？若数列，，是一个1到连续可表数列，求的值.
(2)若有穷数列，，，其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列本身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列，，，为1到5连续可表数列，且公比为整数，求数列的公比的值.
(3)对正整数，，存在唯一的数列，，使得，，且满足，，，，数列，，，称为正整数的进制残片.记事件“随机挑选区间内的整数（为大于等于2的正整数），该数的进制残片调整顺序后能成为1到5连续可表数列”的概率为，求的表达式.
《黑龙江省六校联合体2025届高三上学期模拟数学试卷》参考答案
1．D
【分析】根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系对选项逐一判断即可.
【详解】对于A，0是自然数，，故A错误；
对于B，不是有理数，，故B错误；
对于C，Z是整数集，Q是有理数集，Z是Q的子集，故C错误；
对于D，是方程的解集，，故D正确.
故选：D.
2．B
【分析】利用三角函数值的符号判断所在象限即可.
【详解】因为，，
所以，即是第三象限角，故B正确.
故选：B
3．D
【分析】由题知，将和两边同时平方后，解方程组即可求得.
【详解】∵，的夹角为，.
，，
，
，
解得，.
故选：D.
4．D
【分析】利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性，结合指数式与对数式的互化即可逐一判断各选项.
【详解】对于A，由可得，故不是的充分条件，A错误；
对于B，由，，因，
则，故不是的充分条件，B错误；
对于C，因，由可得，
即，故不是的充分条件，C错误；
对于D，由可得，由可得，
即，故它是的充分条件，即D正确.
故选：D.
5．B
【分析】由图逐一判断两直线的位置关系.
【详解】如图所示：
连接，与交于点处，
因为，所以
所以为中点，
连接，交与点，
因为，所以
所以为中点，
所以重合，且，所以，
又平面 ，所以，
所以，同理，，
所以与都垂直，且相交，B正确；
与共面，同在面内，故A错；
，C错；
，D错，.
故选:B.
【点睛】此题考查正方体中线与线之间的位置关系，属于基础题.
6．C
【分析】根据等差数列求和公式进行化简，可得，进而得解.
【详解】因为为等差数列，所以，，
则，
所以，
从而，
故，
故选：C.
7．C
【分析】由题意，求得，过点，即可得到函数的解析式，求得其单调递增区间即可求参.
【详解】∵，
∴，
∵的图象过点，
∴.
∴，
∴．
由，，
得，，
∴函数的单调增区间为，．
若函数在单调增，则的取值范围是.
故选：C.
8．D
【分析】分析可得，将数列中每项除的余数一一列举，找出余数的周期性，进而可求得结果.
【详解】当且时，蜜蜂到达第号蜂房，可以从第号蜂房到达第号蜂房，
也可从第号蜂房到达第号蜂房，所以，，且，，
所以，，，，，，，，，
，，，，，，，
，，
所以，中每项除的余数依次为：、、、、、、、、、、、、
、、、、、、、，
发现余数的周期是，而，因此，被除的余数为，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是列举出每项除的余数，结合周期性求解.
9．AC
【分析】A选项把点的坐标代入圆的方程即可，B选项把圆上的点到原点的距离的最值转化为圆心到原点的距离减半径，选项C,D转化为圆心到直线的距离与半径的关系，解不等式得最值.
【详解】选项A，点O0,0坐标代入圆的方程左侧得，即原点在圆外，所以A正确；
选项B，圆的标准方程为，所以圆心，半径，，所以，所以B错误；
选项C，令，则直线与圆有公共点，根据点到直线的距离公式得，解得的最小值为，故C正确;
选项D，设，则直线与圆有公共点,根据点到直线的距离公式得，解得，所以的最小值为，故D错误.
故选：AC
10．BCD
【分析】对于A，由已知可得，则复数不确定，即可判断；对于B，设由于，可得，即可判断；对于C，由于，可得，即可判断；对于D，由， 可得在复平面内复数z对应的点的集合为以原点为圆心，以1为半径的圆，即单位圆，由表示单位圆上的点与点的距离，即可求得的范围，即可判断.
【详解】根据题意，对于选项A，设，由于，
所以，则复数不确定，故选项A不正确；
对于选项B，设，由于，
可得，则，故选项B正确；
对于选项C，设，由于，
所以，则，所以，，故选项C正确；
对于选项D，设，由于，所以，
所以在复平面内复数z对应的点的集合为以原点为圆心，以1为半径的圆，即单位圆，
因为表示单位圆上的点与点的距离，
所以的最小值为，最大值为，
所以，故选项D正确.
故选：BCD．
11．ACD
【分析】设直线，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式判断A，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可求出点坐标，从而得到点的轨迹方程，即可判断B，利用导数求出的最小值，即可判断C，根据抛物线的定义判断D.
【详解】由题意可设直线，
与联立得：，
则，所以，，
所以
，当且仅当等号成立，所以最小值为，故A正确；
由，得，所以在点处的切线方程为，整理得：，
同理得在点处的切线方程为，
两条切线方程联立得，解得，即，
由，，三点共线得
所以点在直线上，
所以的最小值为，故B错误；
由题意可设直线，与联立得：，
则，
所以，
令，
则，
令，则，
所以f′x在定义域上单调递增，
又，所以当时f′x0，则在上单调递增，
所以在时有最小值，此时，
所以使得的直线有两条，故C正确；
对于D选项，的准线方程为，过向准线作垂线，垂足为，
过做准线的垂线，垂足为，，，所以，
又，，同理，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：C选项关键是利用导数求出，D选项关键是抛物线的定义的理解与应用.
12．
【分析】由双曲线标准方程可得渐近线方程，代入易知直线，可得交点的坐标，可得答案.
【详解】由双曲线，则渐近线方程为，由直线可得，，
所以，
故答案为：.
13．
【分析】建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，设，根据线面平行的向量表示和垂直得向量数量积为列式，从而判断.
【详解】
以为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，
，若，
，即，
所以点的轨迹就是线段，
轨迹长为，
故答案为：.
14．
【分析】由导数法得过的切线方程为，由过点可作曲线的三条切线得有3个不等实根，令，由导数法讨论单调性与极值，由数形结合得出范围即可.
【详解】，则过的切线为，即.
由过点可作曲线的三条切线得有3个不等实根.
令，，由得或.
当或，，单调递增；当，，单调递减；
故当时，函数取得极大值为；当时，函数取得极小值为.
要使有3个不等实根，则，即得，即所求m的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理即可得到答案.
（2）先由余弦定理求得，或，再利用余弦定理即可求得结果，将不符合题意的舍去即可.
【详解】（1），，
由正弦定理得：，，
又因为为锐角，.
（2）在中由余弦定理得：
，或
若，则，则为钝角，舍去
，因为为中点，
在中，

在中，
16．(1)，焦点在轴上，长轴长为6，焦距为，除去，的椭圆.
(2)证明见解析
【分析】（1）结合给定条件求出轨迹方程，再判断形状即可.
（2）利用给定条件求出直线斜率，得到直线方程，联立求出交点横坐标，结合韦达定理求出定值，进而证明交点在定直线上即可.
【详解】（1）设点的坐标为，
因为，所以直线的斜率为，
因为，所以斜率为，
由已知得，整理得，
故形状为焦点在轴上，长轴长为6，焦距为，除去，的椭圆.
（2）联立，消去整理得：，
如图，设Mx1,y1，Nx2,y2，，，
而，
直线，直线，
联立两直线得到，
整理得，
故直线与直线的交点在定直线上.
【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是结合题意求出直线方程，然后把交点横坐标联立表示出来，结合韦达定理求出定值，进而得到所要证明的结论即可．
17．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出f′x，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令f′x>0求得的范围，可得函数增区间，f′x