2024年常州市中考数学模拟试题及答案

这是一份2024年常州市中考数学模拟试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，画图与应用等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，）
1．（2分）（2012•常州）﹣3的相反数是（ ）

2．（2分）（2009•台州）下列运算正确的是（ ）

3．（2分）（2012•常州）如图所示，由三个相同的小正方体组成的立体图形的主视图是（ ）

4．（2分）（2012•常州）为了参加市中学生篮球运动后，某校篮球队准备购买10双运动鞋，经统计10双运动鞋的号码（cm）如表所示：
则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别是（ ）

5．（2分）（2012•常州）已知两圆半径分别为7、3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为（ ）

6．（2分）（2012•常州）已知等腰三角形三边中有两边的长分别为4、9，则这个等腰三角形的周长为（ ）

7．（2分）（2012•常州）已知二次函数y=a（x﹣2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）

8．（2分）（2012•常州）已知a、b、c、d都是正实数，且＜，给出下列四个不等式：
①＜；②＜；③；④＜
其中不等式正确的是（ ）

二、填空题（第9小题4分，其余8小题每小题2分，共20分，不需写出解答过程）
9．（2分）（2012•常州）计算：|﹣2|= _________ ，（﹣2）﹣1= _________ ，（﹣2）2= _________ ，= _________ ．

10．（2分）（2012•常州）已知点P（﹣3，1），则点P关于y轴的对称点的坐标是 _________ ，点P关于原点O的对称点的坐标是 _________ ．

11．（2分）（2012•常州）若∠a=60°，则∠a的余角为 _________ ，csa的值为 _________ ．

12．（2分）（2012•常州）已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长为 _________ cm，扇形的面积是 _________ cm2．（结果保留π）

13．（2分）（2012•常州）已知函数y=，则自变量x的取值范围是 _________ ；若分式的值为0，则x= _________ ．

14．（2分）（2012•常州）已知关于x的方程2x2﹣mx﹣6=0的一个根2，则m= _________ ，另一个根为 _________ ．

15．（2分）（2012•常州）已知x=y+4，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25的值为 _________ ．

16．（2分）（2012•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0），⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆，若一次函数y=kx+b的图象过点A（﹣1，0）且与⊙P相切，则k+b的值为 _________ ．

17．（4分）（2012•常州）如图，已知反比例函数y=（k1＞0），y=（k2＜0）．点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB．若△BOC的面积为，AC：AB=2：3，则k1= _________ ，k2= _________ ．

三、解答题（本题共2各小题，共18分，解答应写出演算步骤）
18．（8分）（2012•常州）化简：
（1）﹣（）0+2sin30°
（2）﹣．

19．（10分）（2012•常州）解方程组和不等式组：
（1）
（2）．

四、解答题（本大题共2小题，共15分，解答应写出文字说明或演算步骤）
20．（7分）（2012•常州）为了迎接党的十八大的召开，某校组织了以“党在我心中”为主题的征文比赛，每位学生只能参加一次比赛，比赛成绩只分A、B、C、D四个阶段．随机抽取该校部分学生的征文比赛成绩进行统计分析，并绘制了如下的统计图表：
根据表中的信息，解决下列问题：
（1）本次抽查的学生共有 _________ 名；
（2）表中x、y和m所表示的数分别为：X= _________ ，y= _________ ，m= _________ ；
（3）请补全条形统计图．

21．（8分）（2012•常州）在一个不透明的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球2只，红球1只，黑球1只，它们除了颜色之外没有其它区别，从袋中随机地摸出1只球，记录下颜色后放回搅匀，再摸出第二只球并记录颜色，求两次都摸出白球的概率．

五、解答题（本大题共2小题，共12分，解答应写出证明过程）
22．（7分）（2012•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．

23．（5分）（2012•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC=∠DCB．

六、画图与应用（本大题共2小题，共13分）
24．（6分）（2012•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）．
按下列要求画图：以O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：
（1）顶点A1的坐标为 _________ ，B1的坐标为 _________ ，C1的坐标为 _________ ；
（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形），写出符合要求的变换过程．

25．（7分）（2012•常州）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件，根据市场调研，若每件降价1元，则每天销售数量比原来多3件．现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）．在促销期间，商场要想每天获得最大销售毛利润，每件应降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差）

七、解答题（本大题共3小题，共26分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
26．（7分）（2012•常州）平面上有两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：
（1）点O的“距离坐标”为（0，0）；
（2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）；
（3）到直线AB、CD的距离分别为p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）．
设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：
（1）画出图形（保留画图痕迹）：
①满足m=1，且n=0的点M的集合；
②满足m=n的点M的集合；
（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式．（说明：图中OI长为一个单位长）

27．（9分）（2012•常州）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点）．连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图），设CP=x，DE=y．
（1）写出y与x之间的关系式 _________ ；
（2）若点E与点A重合，则x的值为 _________ ；
（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．

28．（10分）（2012•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0），以点P为圆心，m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（点D在点C的上方）．点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）．
（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ，试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？
（3）连接BC，求∠DBC﹣∠DBE的度数．

2024年中考数学模拟卷精析版——常州卷
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
3. （2012江苏常州2分）如图所示，由三个相同的小正方体组成的立体图形的主视图是【 】
【答案】B。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】找到从正面看所得到的图形即可：从正面看易得上层右边有1个正方形，下层有2个正方形。故选B。
4. （2012江苏常州2分）为了参加中学生篮球运动会，某校篮球队准备购买10双运动鞋，经统计10双运动鞋的尺码（cm）如下表所示：
则这10双运动鞋的众数和中位数分别为【 】
A.25.5 cm 26 cm B.26 cm 25.5 cm C.26 cm 26 cm D.25.5 cm 25.5 cm
【答案】B。
【考点】众数，中位数。
【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是25.5 cm，故这组数据的众数为25.5 cm。
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此这组10个数据的中位数是第5，6个数据的平均数，而第5，6个数据都是25.5 cm，故这组数据的中位数为25.5 cm。
故选B。
5. （2012江苏常州2分）已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【 】
A.外离 B.内切 C.相交 D.内含
【答案】B。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，
∵两半径之差7－3等于两圆圆心距4，∴两圆内切。故选B。
6. （2012江苏常州2分）已知三角形三边的长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为【 】
A.13 B.17 C.22 D.17或22
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。
【分析】由三角形三边的长分别为4，9，知三角形三边的长分别为4，4，9或4，9，9，但由于4，4，9与三角形的构成条件 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”不符，因此，三角形三边的长只能分别为4，9，9 ，周长为22。故选C。
7. （2012江苏常州2分）已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是【 】
A. B. C. D.
【答案】 B。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】由二次函数知，
它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示。
根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y值相等。
由于二次函数在对称轴x=2左侧，y随x的增大而减小，而0＜1＜，因此，。故选B。
8. （2012江苏常州2分）已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式：
①；②；③；④。
其中不等式正确的是【 】
A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③
【答案】A。
【考点】不等式的性质。
【分析】根据不等式的性质，计算后作出判断：
∵a、b、c、d都是正实数，且，∴，即。
∴，即，∴③正确，④不正确。
∵a、b、c、d都是正实数，且，∴。∴，即。
∴。∴①正确，②不正确。
∴不等式正确的是①③。故选A。
二、填空题（本大题共9小题，第9小题4分，其余8小题每小题2分，共20分）
11. （2012江苏常州2分）若∠α=600，则∠α的余角为 ▲ ，csα的值为 ▲ 。
【答案】300，。
【考点】余角定义，特殊角的三角函数值。
【分析】根据余角定义，∠α的余角为900－600=300；由特殊角的三角函数值，得csα=。
12. （2012江苏常州2分）已知扇形的半径为3 cm，圆心角为1200，则此扇形的的弧长是 ▲ cm，扇形的面积是 ▲ cm2（结果保留π）。
【答案】，。
【考点】扇形的的弧长和面积。
【分析】直接根据扇形的的弧长和面积公式计算即可：
扇形的的弧长=（cm），扇形的面积=（cm2）。
13. （2012江苏常州2分）已知函数，则自变量x的取值范围是 ▲ ；若分式的值为0，则x= ▲ 。
【答案】；。
【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，因此，
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。
根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。
14. （2012江苏常州2分）已知关于x的方程的一个根是2，则m= ▲ ，另一根为
▲ 。
【答案】1，。
【考点】方程根的意义，解一元二次方程。
【分析】∵关于x的方程的一个根是2，∴，解得m=1。
∴方程为，解得另一根为。
【本题或用根与系数的关系求角】
15. （2012江苏常州2分）已知，则代数式的值为 ▲ 。
【答案】－9。
【考点】代数式化简求值。
【分析】由得，∴。
16. （2012江苏常州2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0），⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆。若一次函数的图象过点A（－1，0）且与⊙P相切，则的值为 ▲ 。
【答案】或。
【考点】一次函数综合题，直线与圆相切的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质。
【分析】如图，设一次函数与y轴交于点C，与⊙P相切于点P。
则OA=1，OC=∣b∣，OP=3，BP=2，AP=4。
∴。
由△AOC∽△ABP，得，即，
解得。
∴。
由图和一次函数的性质可知，k，b同号，
∴或。
17. （2012江苏常州2分）如图，已知反比例函数和。点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。若△BOC的面积为，AC：AB=2：3，则= ▲ ，= ▲ 。
【答案】2，－3。
【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设点A（0，a）（∵点A在y轴的正半轴上，∴a＞0），则点B（），点C（）。
∴OA= a，AB=（∵），AC=（∵），AB=。
∵△BOC的面积为，∴，即①。
又∵AC：AB=2：3，∴，即②。
联立①②，解得=2，=－3。
三、解答题（本大题共2小题，共18分）
18. （2012江苏常州8分）化简
（1）（2012江苏常州4分）；
【答案】解：原式=。
【考点】实数的运算，算术平方根，零指数幂，特殊角的三角函数值。
【分析】针对算术平方根，零指数幂，特殊角的三角函数值3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。
（2）（2012江苏常州4分）。
【答案】解：原式=。
【考点】分式的加减法。
【分析】分式的加减法通分，后化简。
19. （2012江苏常州10分）解方程组和不等式组：
（1）（2012江苏常州5分）解方程组：；
【答案】解：，
②×3－①，得11y=22，y=2；
将y=1代入②，得x＋6=9，x=3。
∴方程组的解为。
【考点】解二元一次方程组。
【分析】解二元一次方程组的解题思想是消元，方法有加减消元法和代入消元法。本题可用加减消元法，也可将②化为x=9－3 y代入①，消元求解。
（2）（2012江苏常州5分）解不等式组：。
【答案】解：，
解①，得x＞－3，
解②，得x＜5。
∴不等式组的解为－3＜x＜5。
【考点】解一元一次不等式组。
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。
四、解答题（本大题共2小题，共15分）
20. （2012江苏常州7分）为了迎接党的十八大的召开，某校组织了以“党在我心中”为主题的征文比赛，每位学生只能参加一次比赛，比赛成绩分A、B、C、D四个等级，随机抽取该校部分学生的征文比赛成绩进行分析，并绘制了如下的统计图表：
根据表中的信息，解决下列问题：
（1）本次抽查的学生共有 ▲ 名；
（2）表中x、y和m所表示的数分别为x= ▲ ，y= ▲ ，m= ▲ ；
（3）补全条形统计图。
【答案】解：（1）200。
（2）100；30；5%。
（3）补全条形统计图如下：
【考点】统计表，条形统计图，频数、频率和总量的关系。
【分析】（1）由A等级人数60，占30%得本次抽查的学生共有60÷30%=200（名）。
（2）x=200×50%=100；y=200×15%=30；m=1－30%―50%―15%=5%。
（3）由（2）的数据可补全条形统计图。
21. （2012江苏常州8分）在一个不透明的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球2只，红球1只，黑球1只，它们除了颜色之外没有其它区别。从袋中随机地摸出1只球，记录下颜色后放回搅匀，再第二个球并记录颜色。求两次都摸出白球的概率。
【答案】解：画树状图如下：
∵共有16种等可能情况，两次都摸出白球的情况有4种，
∴两次都摸出白球的概率为。
【考点】画树状图法或列表法，概率。
【分析】根据概率的求法，用画树状图法或列表法等找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。
五、解答题（本大题共2小题，共12分）
22. （2012江苏常州5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
求证：∠DBC=∠DCB。
【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。
又∵AB=AC，AD=AD，∴△BAD≌△CAD（SAS）。
∴BD=CD。∴∠DBC=∠DCB。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。
【分析】由已知，根据SAS可证△BAD≌△CAD，从而根据全等三角形对应边相等的性质可得BD=CD，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠DBC=∠DCB。
23. （2012江苏常州7分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。
求证：AE=AF。
【答案】证明：连接CE。
∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。
又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）。
∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。
又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。
∴AE=AF。
【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE=AF。
六、解答题（本大题共2小题，共12分）
24. （2012江苏常州6分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求画图：以点O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：
（1）顶点A1的坐标为 ▲ ，B1的坐标为 ▲ ，C1的坐标为 ▲ ；
（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。
【答案】解：作图如下：
（1）（－2，0），（－6，0），（－4，－2）。
（2）符合要求的变换有两种情况：
情况1：如图1，变换过程如下：
将△A2B2C2向右平移12个单位，再向上平移5个单位；再以B1为中心顺时针旋转900。
情况2：如图2，变换过程如下：
将△A2B2C2向右平移8个单位，再向上平移5个单位；再以A1为中心顺时针旋转900。
【考点】作图（位似、平移和旋转）网格问题，位似的性质，平移的性质，旋转的性质。
【分析】（1）作位似变换的图形的依据是相似的性质，基本作法是：①先确定图形的位似中心；②利用相似图形的比例关系作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意有两种情况，图形在位似中心的同侧或在位似中心的两侧。
（2）作平移变换时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形。
作旋转变换时，找准旋转中心和旋转角度。
25. （2012江苏常州7分）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）
【答案】解：根据题意，商场每天的销售毛利润Z=（60－40－x）（20＋3x）=－3x2＋40x+400
∴当时，函数Z取得最大值。
∵x为正整数，且，
∴当x=7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为－3·72＋40·7+400=533。
答：商场要想每天获得最大销售利润，每件降价7元，每天最大销售毛利润为533元。
【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。
【分析】求出二次函数的最值，找出x最接近最值点的整数值即可。
七、解答题（本大题共3小题，共26分）
26. （2012江苏常州7分）平面上两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=1500（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：
（1）点O的“距离坐标”为（0，0）；
（2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）；
（3）到直线AB、CD的距离分别为p、q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）。
设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：
（1）画出图形（保留画图痕迹）：
①满足m=1且n=0的点的集合；
②满足m=n的点的集合；
（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式。
（说明：图中OI长为一个单位长）
【答案】解：（1）①如图1中，F1，F2即为所求；
②如图2中，两条角平分线即为所求。
（2）如图3，过点M作MH⊥AB于点H。则
根据定义，MH=m，MO=n。
∵∠BOD=1500，∠DOM=900（∵l⊥CD），
∴ ∠HOM=600。
在Rt△MHO中，，
∴ ，即，即。
∴ m与n所满足的关系式为。
【考点】新定义，作图（复杂作图），含300角直角三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）①以点I为圆心，OI为半径画圆交AB于点E；以点O为圆心，OE为半径画圆交CD于点F1，F2，则F1，F2即为所求。
由作法知，OF1=2OI=2，由∠BOD=1500知∠EOF1=300，根据含300角直角三角形中300角所对边是斜边一半的性质，得点F1到AB的距离m =1，同时点F1在CD上，即n=0。同理，F2的证明。
②分别作∠BOD和∠BOC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，两角平分线上的点满足m=n，故两条角平分线即为所求。
（2）由已知和锐角三角函数定义即可得出m与n所满足的关系式。
27. （2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。
（1）写出y与x之间的函数关系式 ▲ ；
（2）若点E与点A重合，则x的值为 ▲ ；
（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）y=－x2＋4x。
（2）或。
（3）存在。
过点P作PH⊥AB于点H。则
∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，
∴P D′=PD=4－x，E D′=ED= y=－x2＋4x，EA=AD－ED= x2－4x＋2，∠P D′E=∠D=900。
在Rt△D′P H中，PH=2， D′P =DP=4－x，D′H=。
∵∠ E D′A=1800－900－∠P D′H=900－∠P D′H=∠D′P H，∠P D′E=∠P HD′ =900，
∴△E D′A∽△D′P H。∴，即，
即，两边平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得。
∵当时，y=，
∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。
∵当时，y=，
∴此时，点E在边AD上，符合题意。
∴当时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。
【分析】（1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE，
∴，即。∴y=－x2＋4x。
（2）当点E与点A重合时，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。
解得。
（3）过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△E D′A与△D′P H相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。
28. （2012江苏常州10分）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0）。以点P为圆心，为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（D点在点C的上方）。点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）。
（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？
（3）连接BC，求∠DBC－∠DBE的度数。
【答案】解：（1）B（3m，0），E（m，4m）。
（2）线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下：
由（1）知B（3m，0），E（m，4m），
∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，
∴D（0，3m）。
∴，，
。
∴。∴△BDE是直角三角形。
∴BE是△BDE的外接圆的直径。
设△BDE的外接圆的圆心为点G，则由B（3m，0），E（m，4m）得G（2m，2m）。
过点G作GI⊥DG于点I，则I（0，2m）。
根据垂径定理，得DI=IQ ，∴Q（0，m）。
∴。
∴BQ=EQ。
（3）延长EP交x轴于点H，则EP⊥AB，BH=2m。
根据垂径定理，得AH=BH=2m，AO= m。
根据圆的对称性，OC=OA= m。
又∵OB=3m，，，
∴。。
又∵∠COB=∠EDB=900，∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。
∴∠DBC－∠DBE=∠DBC－∠OBC=∠DBO。
又∵OB=OC，∴∠DBO=450。∴∠DBC－∠DBE=450。
【考点】直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理，圆的对称性，平行四边形的性质，中点坐标，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）过点P 作PH⊥x轴于点H，PF⊥y轴于点F，连接OE，BP。
∵点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0），
∴ P（m，m），H（m，0），F（0，m），OH=OF=HP= m。
∵PB=，∴。
∴OB=3 m。∴B（3m，0）。
∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，∴D（0，3m）。
∵四边形DOPE是平行四边形，∴PE=OD=3m，HE=4m。∴E（m，4 m）。

A．
﹣3
B．
﹣
C．
D．
3

A．
3a+2a=a5
B．
a2•a3=a6
C．
（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
D．
（a+b）2=a2+b2

A．
B．
C．
D．
尺码
25
25.5
26
26.5
27
购买量（双）
2
4
2
1
1

A．
25.5cm 26cm
B．
26cm 25.5cm
C．
26cm 26cm
D．
25.5cm 25.5cm

A．
外离
B．
内切
C．
相交
D．
内含

A．
13
B．
17
C．
22
D．
17或22

A．
y3＜y2＜y1
B．
y1＜y2＜y3
C．
y2＜y1＜y3
D．
y3＜y1＜y2

A．
①③
B．
①④
C．
②④
D．
②③
成绩等级
A
B
C
D
人数
60
x
y
10
占抽查学生总数的百分比
30%
50%
15%
m
尺码
25
25.5
26
26.5
27
购买量（双）
2
4
2
1
1
成绩等级
A
B
C
D
人数
60
x
y
10
占抽查学生总数的百分比
30%
50%
15%
m