2025高考数学二轮复习-专题6 第1讲 直线与圆【课件】

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1.两条直线平行与垂直的判定(1)若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则①两直线平行l1∥l2⇔k1=k2;②两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
需注意分析两直线斜率是否有不存在的情况
(2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为零),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为零),则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0;l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0.
名师点析1.对两条不重合的直线,当斜率都不存在时,两直线平行;当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,两直线垂直,此种情形易忽略.2.直线的一般式方程中,垂直与平行的充要条件包含了直线斜率不存在的情况.
误区警示应用两平行线间距离公式时,注意两平行线方程中x,y的系数应对应相等.
3.圆的方程(1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r.(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
不满足这个条件的方程不表示圆
(3)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
[例1-1]“m=-1”是“直线x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行”的(　　)A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析 若直线x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行,则m2-1=0,∴m=±1.当m=1时,两条直线都为x+y=0,即重合,舍掉;当m=-1时,直线分别为x-y+4=0,x-y-2=0,符合题意.故“m=-1”是“直线x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行”的充要条件.
[例1-2]三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上,我们把这条直线称为该三角形的欧拉线.若△ABC的顶点都在圆x2+y2=4上,边AB所在的直线方程为x+2y=1,且AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为　　　　　　　　. 
答案 2x-y=0　解析 由题意可得△ABC的欧拉线过圆心(0,0)且与直线x+2y=1垂直,所以欧拉线方程的斜率为2,所以△ABC的欧拉线方程为2x-y=0.
[例1-3]已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,若在坐标平面内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,则P点坐标为　 . 
解题心得解直线方程问题注意几个误区(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.如例1-1.(2)若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.
所以直线l的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-3,此时圆心(0,-2)到直线的距离为3,不满足题意.综上,直线l的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0.
(3)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中延伸出一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在位置为B(-1,-4),若将军从点A(-1,2)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3.则“将军饮马”的最短总路程为(　　)
解析 如图所示,设点B关于直线x+y=3的对称点为C(a,b),
[例2-1]已知圆C的圆心坐标是(0,m),若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则圆C的标准方程为　　　　 　. 
x2+(y+2)2=5
[例2-2] (2022·全国乙,理14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　. 
[例2-3] (2024·广西桂林、来宾、北海三模)在中国传统文化中,“九”被视为至尊之数,象征长寿、福气和完美,若直线l与圆C相切,直线l在两坐标轴上的截距均为9,圆C的半径为9,点C到x轴的距离为9,则圆C的一个方程为　　　　　　　　 . 
规律方法求圆的方程的两种方法(1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.
(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,且圆心到直线2x-y=0的距离为 ,若点M(0, )在圆C上,则圆C的方程为　　　　　　　　. 
(2)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+2y=4与x轴交于A点,直线m:kx+y-1=0与y轴及直线l分别交于B点、C点,且A,B,C,O四点共圆,则此圆的标准方程是　　　　　　　　　　　　. 
(3)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=3x上在第三象限内的点,B(-10,0),以线段AB为直径的圆C(C为圆心)与直线l相交于另一个点D,AB⊥CD,则圆C的标准方程为　　　　　　　　　　　　. 
(2)由题意A,B,C,O四点共圆且OA⊥OB,所以CB⊥CA,则直线l与m垂直,故k=-2.
(3)根据题意,设A的坐标为(2a,6a),其中a