山东省德州市2024年数学中考模拟试题（解析版）

这是一份山东省德州市2024年数学中考模拟试题（解析版），共30页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的县（市、区）、学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1.的结果是（ ）
A. B. 2020C. D. -2020
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值的定义计算即可．
【详解】解：．
故答案为：B
【点睛】本题考查了绝对值的化简，熟知绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数”是解题关键．
2.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．
【详解】解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴A中的图象不是中心对称图形，
∴选项A不正确；
∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，
∴选项B正确；
∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，
∴选项C不正确；
∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴D中的图形不是中心对称图形，
∴选项D不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
3.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法逐一分析即可．
【详解】A．，该项不符合题意；
B．，该项符合题意；
C．，该项不符合题意；
D．，该项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，解题的关键是掌握运算法则．
4.如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形，若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（ ）
A. 主视图B. 主视图和左视图
C. 主视图和俯视图D. 左视图和俯视图
【答案】D
【解析】
【分析】
根据从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从上边看得到图形都是第一层一个小正方形，第二层是三个小正方形，从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图．
5.为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：
那么一周内该班学生的平均做饭次数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平均数的计算方法计算即可．
【详解】解：==6，
故选：C．
【点睛】本题考查了平均数的计算，掌握计算方法是解题关键．
6.如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）
A. 80米B. 96米C. 64米D. 48米
【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形的外角和即可求出答案．
【详解】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．
7.函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵反比例函数和一次函数
∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确；
当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
8.下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；
④对角线相等的平行四边形是矩形．
其中真命题的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定逐一判断即可．
【详解】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题；
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；
③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形，是假命题；
④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定，熟知特殊四边形的判定定理是解题关键．
9.若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得关于a的不等式，解之可得．
【详解】解：解不等式＞，得：，
解不等式-3x＞-2x-a，得：x＜a，
∵不等式组的解集为，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．
【详解】解：正六边形的面积为：，
六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，
所以阴影部分的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
11.二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A. 若，是图象上的两点，则
B.
C. 方程有两个不相等的实数根
D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
【详解】由函数的图象可知，二次函数的对称轴为
则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，选项D错误
由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等
则当时，函数值为
，则选项A正确
又当时，
，即，选项B正确
由函数的图象可知，二次函数的图象与x轴有两个交点
则将二次函数的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数与x轴也有两个交点
因此，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
即方程有两个不相等的实数根，选项C正确
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系，掌握理解二次函数的图象与性质是解题关键．
12.下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）

A. 148B. 152C. 174D. 202
【答案】C
【解析】
【分析】
观察各图可知，第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）…由此可以推出第n个图案需要的个数为（个），所以第10个图案需要的个数只需将n=10代入即可．
【详解】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）；
第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）；
第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）；
第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）；
…
第n个图案需要的个数为（个）
∴第10个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)×2+2×9=174（个）
故选C．
【点睛】本题考查了图形的变化．解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律．
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题：本大題共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
13.计算：＝_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：原式=．
故答案为．
14.若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 °．
【答案】120．
【解析】
试题分析：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm），设圆心角的度数是n度．则=4π，解得：n=120．故答案为120．
考点：圆锥计算．
15.在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A′的坐标．利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
【详解】∵以原点O为位似中心，将线段OA放大为原来的2倍，得到OA'，A（-2，1），
∴点A的对应点A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）．
设反比例函数的解析式为()，
∴，
∴反比例函数的解析式为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了位似变换、坐标与图形的性质以及待定系数法求反比例函数的解析式，正确把握位似图形的性质是解题关键．
16.菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为________．
【答案】20
【解析】
【分析】
解方程得出x=4，或x=5，分两种情况：①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；②当AB=AD=5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵
因式分解得：（x-4）（x-5）=0，
解得：x=4，或 x=5，
分两种情况：
当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；
当AB=AD=5时，5+5＞8，可构成三角形；
∴菱形ABCD的周长=4AB=20．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．
17.如图，在的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据轴对称的定义，确定可以构成轴对称图形的情况，根据概率公式求解即可．
【详解】解：如图，图中共有12个白色正方形，其中涂黑1个使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的共有2种情况，
所以概率为P=．
故答案为：
【点睛】本题考查了列举法求概率，轴对称图形的判定，熟知求概率公式和轴对称图形的概念是解题关键．
18.如图，在矩形ABCD中，，，把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的处，再将绕点E顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点F．交AB于点G，连接有如下结论：①的长度是；②弧的长度是；③；④．上述结论中，所有正确的序号是________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
①先根据图形反折变换的性质以及勾股定理得出的长，再根据勾股定理求出EF的长，即可求解；
②利用特殊角的三角函数求得，从而求得，根据弧长公式即可求解；
③由于不是等边三角形，得出，从而说明和不是全等三角形；
④先利用“HL”证得，求得，再求得，从而推出．
【详解】①在矩形ABCD中，，
∵△ADE翻折后与△AD′E重合，
∴AD′=AD，D′E=DE，，
∴四边形ADED′是正方形，
∴AD′=AD=D′E=DE=，
∴AE=，
将绕点E顺时针旋转，得到，
∴，==，，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②由①得，
在中，，
，
∴，
∴，
∴弧的长度是，故②正确；
③中，，，
∴不是等边三角形，
∴，
∴和不是全等三角形，故③错误；
④在和中，，公共，
∴(HL)，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
又，
∴，故④正确；
综上，①②④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了图形的翻折变换，特殊角的三角函数，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式的应用，勾股定理的应用，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19.先化简：，然后选择一个合适的x值代入求值．
【答案】化简结果是：，选择x=1时代入求值为-1.
【解析】
【分析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可
【详解】解：原式
.
当x=1时代入，原式=.
故答案为：化简结果是，选择x=1时代入求值为-1.
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键，最后在选择合适的x求值时要保证选取的x不能使得分母为0.
20.某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：

（1）本次比赛参赛选手共有________人，扇形统计图中“79.5~89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为________；
（2）补全图2频数直方图；
（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；
（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．
【答案】（1）50，36%；（2）见解析；（3）能获奖．理由见解析；（4）
【解析】
分析】
（1）用“89.5～99.5”的人数和除以它们所占的百分比得到调查的总人数，再计算出“59.5～69.5”这两组所占的百分比，然后计算出“79.5～89.5”所占的百分比；
（2）根据“69.5～79.5”所占的百分比可求得“69.5～74.5”的人数，根据“79.5～89.5”所占的百分比可求得“79.5～84.5”的人数，从而补全统计图；
（3）计算出前40%有20人，恰好落在“84.5～99.5” 这一范围，从而可判断他能获奖；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）“89.5～99.5”的人数和它们所占的百分比分别是：(8+4)人和24%，
∴总人数为：(人)，
“59.5～69.5”的人数是5人，所占百分比是：，
∴“79.5～89.5”所占的百分比是：1-24%-10%-30%=36%，
故答案为：50，36%；
（2）∵“69.5～79.5” 的人数是：5030%=15(人)，
∴“69.5～74.5”的人数是：15-8=7(人)，
“79.5～89.5” 的人数是：5036%=18(人)，
∴“79.5～84.5”的人数是：18-8=10(人)，
补全条形图如图所示：
（3）能获奖．理由：
因为本次参赛选手共50人，所以前40%的人数为（人）
由频数直方图可得84.5～99.5这一范围人数恰好人，
又，所以能获奖；
（4）画树状图为：
由树状图可知共有12种等可能的结果，恰好选中一男一女为主持人的结果有8种，
所以P（一男一女为主持人）．
答：恰好选中一男一女为主持人的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用以及列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
21.如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．
【答案】这栋楼高为40米
【解析】
【分析】
过点B作交于点E，解，求出AD，即可求出BE，解中，求出CD，问题得解．
【详解】解：过点B作交于点E，
由题意知，．
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴（米）．
答：这栋楼高为40米．
【分析】本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，应用已知条件解直角三角形．
22.如图，点C在以AB为直径的上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD，过点D作交CB的延长线于点H．
（1）求证：直线DH是的切线；
（2）若，，求AD，BH的长．
【答案】（1）见解析；（2），
【解析】
【分析】
（1）连接，先根据是的直径，D是半圆的中点，得出，再根据，得出，即可证明；
（2）连接，先证明是等腰直角三角形，求出AD的长，再根据AB，BC的长求出AC，根据四边形是圆内接四边形，推出，证明，得出，即可求出答案．
【详解】证明：（1）连接，
∵是的直径，D是半圆的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）连接，
∵是的直径，
∴，
又D是半圆的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴在中，
∵四边形是圆内接四边形，
∵，
∵，
∴，
由（1）知∠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，灵活运用知识点是解题关键．
23.小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．
（1）超市B型画笔单价多少元？
（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．
（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？
【答案】（1）超市B型画笔单价为5元；（2），其中x是正整数；（3）小刚能购买65支B型画笔．
【解析】
【分析】
（1）设超市B型画笔单价a元，根据“花100元买了相同支数的B型画笔”，列出分式方程，即可求解；
（2）分两种情况：当小刚购买的B型画笔支数时， 当小刚购买的B型画笔支数时，分别列出函数表达式，即可；
（3）把y=270代入第（2）小题的函数表达式，即可求解．
【详解】解：（1）设超市B型画笔单价a元，则A型画笔单价为元，
由题意列方程得，
解得
经检验，是原方程的解．
答：超市B型画笔单价为5元
（2）由题意知，
当小刚购买的B型画笔支数时，费用为
当小刚购买的B型画笔支数时，费用为
所以其中x是正整数
（3）当时，解得，因为，故不符合题意，舍去．
当时，，符合题意
答：小刚能购买65支B型画笔．
【点睛】本题主要考查分式方程和一次函数的实际应用，理解题目中的数量关系，列出方程和函数表达式，是解题的关键．
24.问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使，连接BE，证明，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明的判定定理是：__________________________________________；
（2）AD的取值范围是________________________；
方法运用：
（3）如图2，AD是的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使，求证：．
（4）如图3，在矩形ABCD中，，在BD上取一点F，以BF为斜边作，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的中线与辅助线条件，直接证明，从而可得证明全等的依据；
（2）利用全等三角形的性质得到求解的范围，从而可得答案；
（3）延长至点，使，证明，利用全等三角形的性质与，证明，得到，从而可得答案；
（4）延长至点使，连接、、，证明，得到，利用锐角三角函数证明，再证明，利用相似三角形的性质可得是直角三角形，从而可得答案．
【详解】解：（1）如图，AD是中线，

在与中，


故答案为：
（2）





故答案为：
（3）证明：延长至点，使，
∵是的中线
∴
在和中
∴，
∴，
又∵，
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
又∵
∴
（4）证明：延长至点使，连接、、
∵G为的中点
∴
在和中
∴
∴
在中，∵，
∴
又矩形中，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
又为的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
在和中，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵G为的中点，
∴，
即．
【点睛】本题考查的是倍长中线法证明三角形全等，同时考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
25.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．
探究：
（1）线段PA与PM的数量关系为________，其理由为：________________．
（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：
猜想：
（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是________．
验证：
（4）设点P的坐标是，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．
应用：
（5）如图3，点，，点D为曲线L上任意一点，且，求点D的纵坐标的取值范围．
【答案】（1），线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）图见解析，抛物线；（3）见解析；（4）；（5）
【解析】
【分析】
（1）由尺规作图的步骤可知，HG是AM的中垂线，结合中垂线的性质，即可得到答案；
（2）根据第（1）的作图方法，得到相应点P的位置，即可求解；
（3）用平滑的曲线作出图象，即可；
（4）过点P作轴于点E，用含x，y的代数式表示，，，结合勾股定理，即可得到答案；
（5）连接，由题意得当时，在外接圆上，弧所对的圆心角为60°，的外接圆圆心为坐标原点O，设，求出b的值，进而即可求解．
【详解】解：（1） 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
（2）
（3）草图见图2：形状：抛物线
（4）如图1，过点P作轴于点E，
，，
在中，
即
化简，得
∴y关于x的函数解析式为．

（5）连接，易得，又
∴为等边三角形，∴
当时，在的外接圆上，弧所对的圆心角为60°
其圆心在的垂直平分线y轴上，
∴的外接圆圆心为坐标原点O，
设，则，即 ①
又点D在该抛物线上
∴ ②
由①②联立解得：（舍去）
数形结合可得，
当时，点D的纵坐标的取值范围为
【点睛】本题主要考查尺规作作中垂线，二次函数的图象和性质，圆周角定理，解题关键是：熟练掌握垂直平分线的性质定理，构造三角形的外接圆．一周做饭次数
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M的坐标
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P的坐标
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M的坐标
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P的坐标
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