九年级中考数学专题训练：二次函数综合压轴题---相似三角形问题（含答案）

这是一份九年级中考数学专题训练：二次函数综合压轴题---相似三角形问题（含答案），共16页。试卷主要包含了综合与探究，如图1，抛物线与x轴交于A，B等内容，欢迎下载使用。

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P为上方抛物线上的动点，过点作，垂足为点，连接，当与相似时，求点的坐标．
2．综合与探究．
如图1，抛物线经过，，且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接，．
(1)求抛物线的表达式．
(2)求证：．
(3)如图2，动点P从点B出发，沿着线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点Q从点A出发，以相同的速度沿着线段向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，连接，设P，Q运动的时间为t秒，在点P，Q运动的过程中，是否成为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
3．如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图1，连接，点E在直线上方的抛物线上，连接，当面积最大时，求点E坐标；
(3)如图2，连接，在抛物线上是否存在点M，使，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图1，抛物线与x轴交于A，B．两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线经过点A，C．
(1)求直线的解析式；
(2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，过点P作于点D，过点P作交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）问取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，点M为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点N，使得以点P，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．
5．抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，直线经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值．
6．如图①，抛物线与轴交于两点，（点位于点的左侧），与轴交于点，拋物线的对称轴与轴交于点，长为2的线段（点位于点的上方）在轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)求抛物线的关系式；
(2)在线段运动过程中，当的值最小时，求此时点的坐标；
(3)如图②过点作轴于点，当和相似时，求点的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，抛物线经过A，C两点，连接．
(1)请直接写出b，c的值；
(2)若动点在边（不与O，A两点重合）上，过点E作x轴的垂线l交于点F，交于点M，交抛物线于点P，连接．
①设线段的长为h，求h与m的函数关系式；
②当点P在下方的抛物线上时，以P，C，F为顶点的三角形与是否相似？若相似，请求出此时点E的坐标；若不相似，请说明理由．
8．如图1，直线与x轴、y轴分别交于、两点，经过、两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为.
(1)求、两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；
(2)P在线段上的一个动点（与、不重合），过点P作直线轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m.
若点P的横坐标为m，请用m表示线段的长度并写出m的取值范围；
②有人认为：当直线a与抛物线的对称轴重合时，线段的值最大，你同意他的观点吗？请说明理由；
③过点P作直线轴（图2），交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得与相似？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.
9．如图，抛物线经过点于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，若点是第二象限内抛物线上的一点，直线与相交于点，连接，，若的面积3，求点的横坐标；
(3)如图②，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线交轴于点，点在平面内，以点，，为顶点的三角形与相似且时，请直接写出符合条件的点的坐标．
10．如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，，．求证：；
(3)点为抛物线对称轴上的一个动点，点是平面直角坐标系内一点，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．
11．抛物线过，，三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，点K与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线上一点D在线段AK的上方，交AK于点E，若满足，求点D的坐标；
(3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动．是否存在这样的点P、Q，使得与相似（P与F为对应点），若存在，直接写出P、Q的坐标及此时的面积；若不存在，请说明理由．
12．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线上方抛物线上一动点，
①连接，，，设交直线于点E，的面积为，的面积为．求的最大值；
②过点D作，垂足为点P，连接，若以点D，C，P为顶点的三角形与相似，则点D的坐标为______．
13．如图，在直角坐标平面中，对称轴为直线的抛物线经过点、点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点的坐标；
(2)联结，求；
(3)过作轴的垂线与交于点是直线上一点，当与相似时，求点的坐标．
14．如图，二次函数的图象与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，并且，D是抛物线的一个动点，轴于点F，交直线于点E．
(1)求出二次函数解析式及所在直线的表达式；
(2)在点D运动的过程中，试求使以O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形的点D的坐标；
(3)连接，在点D运动的过程中，抛物线上是否存在点D，使得以点D，C，E为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点D的坐标，如果不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线经过点，且交轴于点，点是轴正半轴上的动点，交抛物线于点，轴交线段的延长线于点，作直线，交轴于点，交轴于点
(1)求抛物线的解析式．
(2)当为何值时，点恰好与点重合
(3)当时，请直接写出线段的值．
16．如图，二次函数与轴交于，两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合．
(1)求二次函数的表达式；
(2)①求证：；
②求的最小值；
17．如图，已知，，抛物线经过、两点，交轴于点．点是第一象限内抛物线上的一点，连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
(3)试探究在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，直线分别交轴、轴于、两点，绕点按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过、、三点．
(1)填空：， 、 ， 、 ， ；
(2)求抛物线的函数关系式；
(3)为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)存在，
(3)点P的坐标为或
2．(1)；
(3)存在，或或
3．(1)，
(2)E的坐标为
(3)存在，或
4．(1)
(2)的最大值为；此时点
(3)或或
5．(1)；
(2)
(3)
6．(1)
(2)
(3)的坐标是或或
7．(1)，
(2)①，②相似，或
8．(1)
(2)①；②不同意他的观点，理由见解析；③或或
9．(1)
(2)
(3)，，，
10．(1)
(2)证明见解析
(3)或或或
11．(1)
(2)
(3)存在，，或，或
12．(1)
(2)①；②或
13．(1)，顶点的坐标为；
(2)3
(3)或
14．(1)，
(2)D的坐标为或或；
(3)存在，或．
15．(1)
(2)当时，点恰好与点重合
(3)或
16．(1)
(2)①证明见解析；②
17．(1)
(2)，当时，有最大值
(3)存在，或
18．(1)，，
(2)
(3)存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，此时点的坐标为，