长沙市周南中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题及参考答案

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若复数，则的共轭复数（ ）
A B.C.D.1
【答案】A
【解析】【分析】由复数的除法运算化简复数，再由共轭复数的定义即可得出答案.
【详解】，所以的共轭复数.故选：A.
2.，，，则与的夹角为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】【分析】根据即可求解.
【详解】,因为，所以.故选：A.
3.一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有3个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内分别取一个小球，则不同的取法数为（ ）
A.7B.16C.9D.12
【答案】D
【解析】【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.
【详解】由题意，从两个袋子中分别取1个球，分两步进行: 第一个口袋内取一个球有4种取法，另一个口袋内取一个球有3种取法,根据分步乘法计数原理得到，从两个口袋内分别取1个小球, 共有种取法.故选:D.
4.集合，集合，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【分析】求解不等式化简，再用充分必要条件判定得答案.
【详解】或，或，
则，反之不成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.
5.函数的单调递增区间是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】【分析】求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系进行求解即可.
【详解】由得或，设，函数在为增函数，
此时为增函数，所以为增函数，即的单调增区间为.故选：C.
6.直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（ ）
A.2B.4C.D.
【答案】B
【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，可得直线过圆心,从而可求解.
【详解】圆的标准方程为,直线过圆心,所以直线被圆所截得的弦长等于直径长度4.故选:B．
7.函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】【分析】根据已知中函数的部分图象，求出满足条件的值，可得答案．
【详解】由图可得：函数的最大值为2，最小值为，故，，故，解得，故.将代入可得：，
则，解得.
∵，∴，∴.故选:B.
8.已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】【分析】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点，由导数判断函数的单调性、极值，由函数图象的交点个数得的范围.
【详解】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点，
函数的定义域为，,令，解得 ，
,的变化情况如下表：
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故当时，有极小值，
令，解得，
当时，；当时，，
当无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0；当无限趋向于正无穷大时时，无限趋向于正无穷大，
由此作出函数的大致图象：
由图象得：当时，交点为0个；
当或时，交点为1个；
当时，交点为2个.
若函数的图象与的图象有两个交点，
则由图可知，实数的取值范围为.故选：A.
二、多选题：本题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9.长沙市周南中学高二某班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示．
记事件：“在班级里随机选一人，选到男生”
事件：“在班级里随机选一人，选到团员”
下列说法正确的是（ ）
A.事件的对立事件为：“在班级里随机选一人，选到女生”
B.事件与事件互斥
C.，
D.事件与事件相互独立
【答案】AC
【解析】【分析】根据对立事件的概念可判断A；根据互斥事件的概念可判断B；根据古典概型可判断C；根据相互独立事件的概念可判断D.
【详解】对于A，事件的对立事件为:“在班级里随机选一人,选到女生”，故A正确；
对于B，事件与事件可以同时发生，故不互斥，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，结合选项C可知，，故事件与事件不相互独立，故D错误.
故选:AC.
10.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A.函数在点处切线的斜率为
B.函数在点处的切线方程为
C.函数图象上瞬时变化率为1的点有3个
D.函数的极大值点为，极小值点为
【答案】ABD
【解析】【分析】利用导数的几何意义即可判断AB；由瞬时变化率的定义即可判断C；直接利用导数研究的极值点即可判断D.
【详解】函数,则.
对于A,因为,所以函数在点处切线的斜率为,故A正确;
对于B,因为,所以在点处切线方程为,即为,故B正确;
对于C，令，,则函数图象上瞬时变化率为1的点有2个，故C错误；
对于D，令,解得,则当时, ,单调递增，
当时, ,单调递减，当时, ,单调递增，
所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，故D正确.故选:ABD.
11.直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A.，
B.直线的斜率为1时，
C.的最小值为6
D.以为直径的圆与的准线相切
【答案】AD
【解析】【分析】直线的方程可设为，与抛物线方程联立可得，, ,，从而可判断A；根据可判断BC；设线段的中点为，求出点到准线的距离,即可判断D.
【详解】依题意可知直线过抛物线的焦点,且直线的方程可设为,

将直线方程与抛物线方程联立可得，
因为，所以，, 所以,
，故A正确；
,
当时,有最小值4，故C错误；
当直线的斜率为1时，则，故，故B错误；
设线段的中点为，则,
所以点到准线距离为,
所以以为直径的圆与的准线相切,故D正确.故选:AD.
12.如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（ ）

A.
B.
C.直线与平面所成角的最大值是
D.的最小值为
【答案】ACD
【解析】【分析】由正方体的性质，得到正方体中的垂直关系，对照选项作出判断；作出直线与平面所成角，进而判断线面角的最大值；通过翻折平面，将平面与平面沿翻折到同一个平面内，进而判断的最小值.
【详解】对于选项A，由正方体性质，易得,,
因为平面，
所以平面.
因为平面，所以，故A正确；
对于选项B，当与重合，则此时与夹角为，故B错误；
对于选项C，如图连接交于，

因为平面，平面，所以.
因为,平面,
所以平面，即平面，
所以为直线与平面所成角，所以.
所以当最小时最大，即时，最小.
由，可得，
此时，故的最大值为，
直线与平面所成角的最大值是，故C正确；
对于选项D，如图，将平面与平面沿翻折到同一个平面内

由题意，，
从而，故为平行四边形.
又，故为矩形.
从而当为与交点时，最小，此时，故D正确.
故选:ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.从7件不同礼物中选出3件分别送给3位不同的同学，则不同方法的种数为______．
【答案】210
【解析】【分析】根据排列数的应用即可求解.
【详解】由题意，根据排列的定义可知一共有种．故答案为:210．
14.请写出同时满足下列条件的一个函数解析式______．
①周期为2；②偶函数
【答案】（答案不唯一）
【解析】【分析】根据余弦函数的周期性与奇偶性即可求解.
【详解】根据②可设解析式为，由①可得，解得，
故.故答案为:（答案不唯一）.
15.著名的“汉洛塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着个中心带孔的圆盘，将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则______，______．

【答案】 ①.7 ②.##
【解析】【分析】假设木桩1上原有个圆盘，要将这个圆盘全部按要求套到木桩3上，所需的最少次数为,则有如下操作：先将个圆盘从木桩1套到木桩2上，所需最少次数为，再将最大的圆盘从木桩1套到木桩3上，需要1次，最后将木桩2上的个圆盘全部套到木桩3上，所需的最少次数为，由此推出通项公式.
【详解】根据题意假设木桩1上原有个圆盘，要将这个圆盘全部按要求套到木桩3上，所需的最少次数为,则有如下操作：先将个圆盘从木桩1套到木桩2上，所需最少次数为，
再将最大的圆盘从木桩1套到木桩3上，需要1次，
最后将木桩2上的个圆盘全部套到木桩3上，所需的最少次数为，则,,
即,所以是以2为首项，1为公比的等比数列，
所以,.故答案为: .
16.设点分别为双曲线的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右支上，若，，且，则双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】【分析】由及数量积的运算律可得即，设，则，利用双曲线的定义及直角三角形可求得（不合题意舍去），然后求出，再用余弦定理得出关系求得离心率．
【详解】
∵，∴共线，设，则，
，∴，∴，
结合双曲线定义得，
∴，整理得，则或，
若，则，，不满足，舍去，
若，则，，满足，，，
∴在中，
在中，由余弦定理得，
即，整理得，
∴．故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.已知分别为的三个内角的对边，且．
（1）求的值；
（2）若，且的面积为，求．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解；
（2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案.
【小问1详解】在中，由正弦定理得：，
∴可等价转化为，其中，故．
∴，即，因为，所以.
【小问2详解】因为，所以，
由余弦定理可得即，所以，
所以.
18.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到的估计值为0.85．
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值且估计甲离子残留百分比的中位数；
（2）从组小鼠和组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少．
【答案】（1），甲离子残留百分比的中位数为4； （2）0.105.
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中，即可求中位数；
（2）先求出组、组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率，由相互独立事件的概率乘法公式求概率．
【小问1详解】由频率分布直方图可得：且，
解得，甲离子残留百分比的中位数为.
【小问2详解】组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为，
组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.7，
所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为.
19.如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点在棱上．
（1）证明：平面平面；
（2）当为的中点时，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析； （2）.
【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直，面面垂直.
（2）以为原点，所在直线分别为轴建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值.
【小问1详解】在四棱锥中，由底面，平面，得，
四边形是直角梯形，，，由，得，
显然，则，
即有，则，又，平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】以点为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然为平面的一个法向量，设二面角的大小为，显然为锐角，
因此，所以二面角的余弦值为.
20.已知等差数列满足，，数列满足．且有．记的前n项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，求的前n项和．
【答案】（1），； （2）.
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可联立方程组求出，从而得到，利用判断数列是等比数列，从而得到；
（2）利用错位相减法即可求出数列的前n项和.
【小问1详解】设等差数列公差为，则由题意得：，
解得：，所以等差数列的通项公式为，
由可得，数列是等比数列，且公比为，
又因为，所以数列的通项公式为，故，.
【小问2详解】由于，则
，
又有，
上面两式相减得： 故.
21.已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标．
【答案】（1）； （2）直线过定点.
【解析】【分析】（1）由圆，可知圆心为，半径为1，圆，圆心为，半径为3．设动圆的半径为，根据动圆与圆外切并与圆内切，可得，由椭圆的定义即可求解；
（2）①当直线斜率存在时,设直线:，设，与椭圆方程联立可得，根据，可得，代入，可得，可求直线所过的定点.同理，当直线斜率不存在时,设直线:,且，根据求出即可得直线所过的定点，综合即可求解.
【小问1详解】设动圆的半径为，
因为动圆与圆外切,所以.
因为动圆于圆外切,所以,
则,
由椭圆的定义可知,曲线是以为左、右焦点，长轴长为4的椭圆.
设椭圆方程为,则，故,
所以曲线的方程为.
【小问2详解】①当直线斜率存在时,设直线:，
联立，消去可得,
则，化简得.
设，则.
由题意知，因为,
所以,
所以,
所以,
即,
，
即，
即.
因为，所以，即，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
②当直线斜率不存在时，设直线:，且,
则点.
所以 ,解得,
所以直线方程为，也过定点.
综上所述, 直线过定点.
【点睛】方法点睛:圆锥曲线中定点问题的两种解法:
（1）引进参数法:先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；
（2）特殊到一般法:先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
22.已知函数，有两个不相等的正实数，使得．
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：．
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为； （2）证明见解析.
【解析】【分析】（1）求出得出的单调性；
（2）不妨设,先分析出,再构造函数函数，,利用导数分别完成对左右的证明即可.
【小问1详解】函数的定义域为，
，令，解得，
当时，；当时，,
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】,当时，且,
当时, ,
结合(1)可知,函数有两个不相等的正实数,使得,
又,
不妨设,则必有,
要证: ,即证明,
由于，
因为函数在上单调递增,所以即证: .
又因为,所以即证：.
构造函数，
有，
易知
当且仅当时取等,
所以在上恒成立,即函数在上单调递减，
那么,
由，可得.
因为，所以，
所以.
设，
则.
当时，恒成立，
所以在上单调递减，
所以时，,
于是有时.
因为，所以，则.
又因为,所以，
故.
因为，所以，
所以，即.
综上所述，.
【点睛】方法点睛:利用导数证明或判定不等式问题:
1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值)，从而得出不等关系;
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系;
3．适当放缩构造法:根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系;
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
-
0
+
单调递减
单调递增
团员
非团员
合计
男生
16
9
25
女生
14
6
20
合计
30
15
45