中考数学三轮冲刺练习回归教材重难点07 圆中的角度与长度计算（2份，原卷版+解析版）

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本考点是中考五星高频考点，难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。
（2022年青海省中考数学试卷第17题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 m．
【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，
∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，
∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，
在Rt△AOC中，∵OA＝rm，OC＝（6﹣r）m，
∴22+（6﹣r）2＝r2，
解得r＝，
即⊙O的半径长为m．
故答案为：．
点评：本题考查了垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧
圆中的计算主要考察的九年级《圆的基本性质》里面的内容，其中，有关角度计算用到的知识点有：圆心角定理、圆周角定理以及相关推论；有关长度的计算用到的考点主要有垂径定理及其推论。在不同问题中还需要熟练掌握圆的基本性质中的考点，做到融会贯通。
本考点是中考五星高频考点，难度中等或中等偏上，个别难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。
技法01：圆中的角度计算
①圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度
圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系
②圆中模型“知1得4”
由图可得以下5点：
①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤；
以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。
③圆中求角度常用的其他规律：
圆内接四边形的一个外角=其内对角
折叠弧过圆心→必有30°角
以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点
圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）
技法02：圆中的长度计算
（1）圆中线段计算口诀——“圆中求长度，垂径加勾股”
弦长、半径、直径是圆中的主要线段，相关计算主要利用垂径定理及其推论，构造“以半径、弦心距、弦长一半为三边的直角三角形”，通过勾股定理列方程求解；
（2）圆中模型“知2得3”
由图可得以下5点：
①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤；
以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。
（3）常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角=90°
（4）弧长与扇形面积：不规则图形面积想割补法
常用公式：
【中考真题练】
1．（2022•无锡）底面半径为10cm，高为10cm的圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A．200πcm2B．100πcm2C．200πcm2D．100πcm2

2．（2022•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80°B．100°C．140°D．160°

3．（2022•巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（ ）
A．B．C．1D．2

4．（2022•资阳）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．

5．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（ ）
A．6πB．2πC．πD．π

6．（2022•鄂尔多斯）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米

7．（2022•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝OD，则∠ABD的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°

8．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）
A．25°B．35°C．40°D．50°

9．（2022•营口）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
A．4B．8C．4D．4

10．（2022•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°

11．（2022•南京）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的3个外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1：2：4，则∠D＝ °．

12．（2022•广州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 ．（结果保留π）

13．（2022•沈阳）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则的长是 （结果保留π）．

14．（2022•南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．过A，D，E三点作⊙O，连接AO并延长，交BC于点F．
（1）求证AF⊥BC；
（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半径长．

15．（2022•徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．


【中考模拟练】
1．（2023•越秀区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都是⊙O上的点，若∠CAB＝30°，则∠ADC的度数是（ ）
A．65°B．55°C．60°D．70°

2．（2023•苏州模拟）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为（ ）
A．1B．2C．3D．4

3．（2023•荆门一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，⊙O的半径为3，点P是⊙O上的一点，且PB＝AB，则PA的长为（ ）
A．B．C．D．

4．（2023•衢州一模）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝2cm，DE＝7cm，则AB的长为（ ）
A．4cmB．8cmC．cmD．2cm

5．（2023•宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A．2πB．C．D．

6．（2023•南沙区一模）如图，在⊙O中，点C是圆上的一点且∠ACB＝120°，弦AB＝12，则⊙O的直径长是（ ）
A．B．C．24D．12

7．（2023•镇平县二模）如图，扇形纸片AOB，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，已知，则图中阴影部分的周长为 ．

8．（2023•红旗区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，∠BCA＝30°，以点B为圆心，AB的长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E，则图中阴影部分的面积为 ．

9．（2023•北仑区二模）如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝AC＝8，半径为2的⊙O在射线AC上运动，当⊙O与△ABC的一边相切时，线段CO的长度为 ．

10．（2023•高邮市一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在AC的延长线上，PQ⊥AB于点Q，交BC于点E，CD是⊙O的切线，交PQ于点D．
（1）判断△DCE的形状，并说明理由；
（2）若CD＝AC＝2，求OQ的长度．