浙江省嘉兴市2023-2024学年高一(上)1月期末检测数学试卷(解析版)

这是一份浙江省嘉兴市2023-2024学年高一(上)1月期末检测数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为集合，
所以.
故选：B.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由诱导公式，且，
可得，即.
故选：D.
3. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，则.
故选：B.
4. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由于，则成立，等价于成立，
充分性：若，且，则，则，
所以成立，满足充分性；
必要性：若，则成立，
其中，且，
则可得成立，即成立，满足必要性.
故选：C.
5. 已知都是锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为都是锐角，则，
则，
所以
.
故选：B.
6. 设函数，则下列函数是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
对于A选项，
，
令，该函数的定义域为，
，则为奇函数，A满足要求；
对于B选项，
，
令，该函数的定义域为，则，
所以，函数不是奇函数，B不满足条件；
对于C选项，
，
令，该函数的定义域为，则，
所以，函数不是奇函数，C不满足条件；
对于D选项，
，
令，该函数的定义域为，则，
所以，函数不是奇函数，D不满足要求.
故选：A.
7. 已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与轴的交点，为图象上的最高点，且，则（ ）
A B.
C. 在上单调递减D. 函数的图象关于点中心对称
【答案】D
【解析】由为等腰直角三角形，为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，
所以．
则函数的周期为4，由，，可得，
又，所以，则，
将点代入，得，
则，．而，则，
所以，
则，A错误；
，B错误；
若，则，显然函数不是单调的，C错误；
，
所以函数的图象关于点中心对称，D正确.
故选：D.
8. 已知函数，，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数、均为上的增函数，
所以函数为上的增函数，
，因为，其中，
所以，，故，
当且仅当时等号成立，故最大值为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. B. 的图象经过点
C. 在上单调递增D. 不等式的解集为
【答案】ABC
【解析】由幂函数的图象经过点，
则，得，所以幂函数，所以A正确；
又，即的图象经过点，B正确；
且在上单调递增，C正确；
不等式，即，解得，D错误.
故选：ABC.
10. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】对于A选项，取，，则，A错；
对于B选项，因为，，且，则，可得，
所以，，则，
因为，B错；
对于C选项，，
当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，因为，当且仅当时，即当时，
等号成立，
所以，，D对.
故选：CD.
11. 已知函数，值域为，则（ ）
A. B. 的最大值为1
C. D. ，使得函数的最小值为
【答案】AB
【解析】对于A，因为，故
今，则，
当时，，
因为，在上单调递减，在上单调递增，
所以，故A正确；
对于B，因为，，则且，
故，当且仅当或时，，
所以最大值为1，故B正确；
对于C；因为，，则，
即，所以，
由选项B又知与的最大值都为，所以，故C错误；
对于D，当时，，
因为，，在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以当时，，又，易知，
故不可能存在使最小值为，故D错误.
故选：AB.
12. 设定义在上的函数满足为奇函数，当时，，若，则（ ）
A. B.
C. D. 为偶函数
【答案】ABD
【解析】选项A：因为为奇函数，所以，
即关于对称，又是定义在上的函数，则，故A正确；
选项B：由可得，则有，
故B正确；
选项C：因为，所以，
即的周期为4；
因为，即，
所以；
因为关于对称，所以，
则，故C错误；
选项D：由得，
即为偶函数，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的半径为________．
【答案】
【解析】设扇形的弧长为，半径为，
所以，，解得：.
14. 函数的单调递增区间是________．
【答案】
【解析】，
所以函数的单调递增区间是.
15. 海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式：，且当地潮汐变化的周期为．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留________h．
【答案】
【解析】由题意可得：，则，
令，则，
可得，解得，
设该船到达港口时刻为，离开港口时刻为，可知，
则，即，
所以最多可停留时长为小时.
16. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】函数的定义域为，令，
则只有一个零点，
且该零点为正数，，
根据函数和的图象及凹凸性可知，
只需满足即可，即：，
又因为，所以实数的取值范围是．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合．
（1）求集合；
（2）求．
解：（1）由题意得，解得或，所以或.
（2）由（1）可得，，
所以.
18. 如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于、两点，且，已知点的坐标为．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）由三角函数的定义可得，，
将因为，且角、终边与单位圆分别交于、两点，且，
结合图形可知，，故.
故.
（2）由（1）可知，且，
故，根据二倍角公式得．
19. 已知函数．
（1）求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数；
（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）对于函数，则，可得，
所以，函数的定义域为，
证明单调性：设，
则有，
，
由于，所以，，，
并且
，则，
于是，
所以，即：，
所以函数在定义域上单调递增．
（2）当时，，
所以不等式恒成立等价于对任意的恒成立，
等价于在恒成立．
由可得，所以，
，
则，
于是实数的取值范围是．
20. 噪声污染问题越来越受到人们重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压（单位：）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级（单位：）是一个相对的物理量，并定义，其中常数为听觉下限阈值，且．
（1）已知某人正常说话时声压的范围是，求声压级的取值范围；
（2）当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压为各声源声压的平方和的算术平方根，即．现有10辆声压级均为的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级是多少？
解：（1）当时，
；
当时，；
因为是关于的增函数，
所以正常说话时声压级．
（2）由题意得：（其中），
总声压：，
，
故这10辆车产生的噪声声压级．
21. 设函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线，则曲线关于轴对称．
（1）求的值；
（2）若直线与曲线在区间上从左往右仅相交于三点，且，求实数的值．
解：（1）方法一：因为
，
由题意可知：曲线为函数，
因为曲线关于轴对称，则，解得，
又因为，所以；
方法二：因为
，
由题意可知：函数关于直线对称，
则，解得，
又因为，所以.
（2）方法一：由（1）可知：，
根据函数在上的图象，如图所示：
设
可知：且，
由，得①，
又因为两点关于直线对称，则②
由①②可得，
于是；
方法二：由（1）可知：，
设，
根据函数在上的图象，如图所示：
由题意可知：，且，
又因为，得，则，
而，即，
可得，
令，则，可得，即，
故．
22. 已知函数．
（1）若，求函数在上的值域；
（2）若关于的方程恰有三个不等实根，且，求的最大值，并求出此时实数的值．
解：（1）若，
因为函数和均在上单调递减，
所以函数在上单调递减，故，
所以函数在上的值域为．
（2），
显然：当时，，
由于方程有三个不等实根，所以必有，
令，则，显然有，
由，
得到，所以函数关于直线对称，
由，可得：，
于是，，
①，
由可得：②，
将②代入①式可得：
，
当且仅当，即时等号成立，
由于恰有三个不等实根，且，所以，此时，
由可得，故.