2024-2025学年江苏省某中学高一（上）期末模拟数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省某中学高一（上）期末模拟数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U={−3,−2,1,2,3}，集合A={1,2}，B={−3,2,3}，则A∩(∁UB)=( )
A. {−3,3}B. {2}C. {1}D. {−2,1,3}
2.命题“∀x≥1，sinx−x20，c>0，则ba>b−ca−cD. 若a>|b|，则a2>b2
5.已知函数f(x)=2−x,x≤01x−x,x>0，g(x)=f(x)−x−a.若g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是( )
A. [−1,0)B. [0,+∞)C. [−1,+∞)D. [1,+∞)
6.已知α∈(π2,π)，tan2α=43，则cs(α+34π)sin(α−π4)=( )
A. −13B. −3C. 3D. 13
7.设x1满足2x+lnx=3，x2满足ln(1−x)−2x=1，则x1+x2=( )
A. 1B. 12C. 32D. 34
8.已知函数f(x)=cs(ωx−π4)(ω>0)在[π4,π2]上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. [0,32]B. [1,52]C. [2,52]D. [52,3]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列各式均有意义的前提下，运算正确的是( )
A. (mn)a=ma⋅n−aB. sin(3π2−α)=csα
C. lgab−lgac=lgabcD. 1−csθsinθ=sinθ1+csθ=tanθ2
10.已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则( )
A. 函数f(x)为减函数
B. 函数f(x)为偶函数
C. 当x≥4时，f(x)≥2
D. 当x2>x1>0时，f(x1)+f(x2)20,ω>0,01，求y=4x+1x−1的最小值；
(2)若a，b均为正实数，且满足a+2b=1，求4a+1+1b的最小值．
19.(本小题12分)
学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分)的函数关系.要求及图示如下：
(i)函数是区间[0,60]上的增函数；
(ii)每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
(iii)每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；
(iiii)每天最多得分不超过6分．
现有以下三个函数模型供选择：
①y=kx+b(k>0)；
②y=k⋅1.2x+b(k>0)；
③y=k⋅lg2(x10+2)+n(k>0)．
(1)请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.(注： 2≈1.414，结果保留整数)．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cs2x−1,x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程；
(2)解关于x的不等式f(x)≥1；
(3)将函数f(x)的图象向右平移3π8个单位长度后得到g(x)的图象，求函数y=g(x)+2csx在[0,π2]上的值域．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=exex+1．
(1)若函数g(x)=f(x)+2x+k为奇函数，求k的值；
(2)判断(1)中函数g(x)在R上的单调性，并用定义证明你的结论；
(3)对于(1)中的g(x)，若对任意的t∈[1,2]，不等式g(t2+1)+g(1−at)6，不合题意；
故①不合适；
由图可知，该函数的增长速度较慢，
对于模型②，y=k⋅1.2x+b(k>0)，是指数型的函数，其增长是爆炸型增长，
故②不合适；
对于模型③，y=k⋅lg2(x10+2)+n(k>0)，
对数型的函数增长速度较慢，符合题意，
故选择模型③，
此时，所求函数过点(0,0)，(20,3)，
则klg22+n=0klg2(2010+2)+n=3，
解得k=3，n=−3，
故所求函数为y=3lg2(x10+2)−3，
经检验，当x=60时，y=3lg2(6010+2)−3=6，符合题意，
综上所述，函数的解析式为y=3lg2(x10+2)−3．
(2)由(1)得y=3lg2(x10+2)−3，
因为每天得分不少于4.5分，
所以3lg2(x10+2)−3≥4.5，
即lg2(x10+2)≥52，
所以x10+2≥252=4 2，
即x≥40 2−20≈40×1.414−20=36.56，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼37分钟．
20.解：(1)f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cs2x−1
=sin2xcsπ3+cs2xsinπ3+sin2xcsπ3−cs2xsinπ3+cs2x
=sin2x+cs2x= 2sin(2x+π4)，
函数f(x)的最小正周期T=2πω=π．
令−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ,k∈Z，解得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ],k∈Z．
令2x+π4=π2+kπ,k∈Z，解得x=kπ2+π8(k∈Z)．
所以f(x)的对称轴方程为x=kπ2+π8(k∈Z)．
(2)f(x)≥1即 2sin(2x+π4)≥1,sin(2x+π4)≥ 22，
所以π4+2kπ≤2x+π4≤3π4+2kπ,k∈Z，解得x∈[kπ,π4+kπ],k∈Z．
(3)由题知g(x)= 2sin[2(x−3π8)+π4]= 2sin(2x−π2)=− 2cs2x，
则y=− 2cs2x+2csx=− 2(2cs2x−1)+2csx
=−2 2cs2x+2csx+ 2，
令t=csx∈[0,1]，则y=−2 2t2+2t+ 2=−2 2(t− 24)2+5 24，
当t= 24时，ymax=5 24；当t=1时，ymin=2− 2．
综上可知所求值域为[2− 2,5 24]．
21.解：(1)g(x)的定义域为R，由g(x)=exex+1+2x+k为奇函数，
所以g(0)=0，即12+k=0，
所以k=−12．
(2)结论：g(x)在R上单调递增，证明如下：
g(x)=exex+1+2x−12=ex+1−1ex+1+2x−12=12−1ex+1+2x，
设x1，x2∈R，且x1ex1，(ex2+1)(ex1+1)>0，所以g(x2)−g(x1)>0，即g(x2)>g(x1)，
所以g(x)在R上单调递增．
(3)因为g(x)为奇函数且在R上为增函数，
所以不等式g(t2+1)+g(1−at)3，
即实数a的取值范围为(3,+∞)．
22.解：(1)由题知BP=tanα，DQ=tanβ，AP=1−tanα，AQ=1−tanβ，
所以△APQ的周长t=AP+AQ+PQ=2−tanα−tanβ+ (1−tanα)2+(1−tanβ)2．
(2)因为点P，Q在运动的过程中，∠PCQ的大小保持不变，
所以α+β的大小保持不变，则tan(α+β)为定值．
t=1−tanα+1−tanβ+ (1−tanα)2+(1−tanβ)2，
令x=1−tanα，y=1−tanβ，
则有t=x+y+ x2+y2，化简得2t(x+y)=t2+2xy，
tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=1−x+1−y1−(1−x)(1−y)=2−(x+y)x+y−xy==2−(x+y)x+y−t(x+y)+t22=−(x+y)+2(1−t)(x+y)+t22，
要使得tan(α+β)为定值，则有−12=1−tt22，解得t=2，
此时tan(α+β)=1，α+β=π4，即∠PCQ=π4．
所以若P，Q在运动的过程中，∠PCQ的大小保持不变，
则△APQ的周长t为定值2．