高考数学一轮复习：7空间向量与立体几何-专题1练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154010076" 题型一： 空间几何体的结构特征 PAGEREF _Tc154010076 \h 5
\l "_Tc154010077" 题型二： 直观图的斜二测画法 PAGEREF _Tc154010077 \h 6
\l "_Tc154010078" 题型三： 最短路径问题 PAGEREF _Tc154010078 \h 8
\l "_Tc154010079" 题型四： 求几何体的表面积 PAGEREF _Tc154010079 \h 10
\l "_Tc154010080" 题型五： 求几何体的体积 PAGEREF _Tc154010080 \h 14
\l "_Tc154010081" 题型六： 球的表面积和体积 PAGEREF _Tc154010081 \h 19
\l "_Tc154010082" 题型七： 截面问题 PAGEREF _Tc154010082 \h 22
知识点总结
棱柱、棱锥、棱台
圆柱、圆锥、圆台、球
简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体. 其构成形式主要有：由简单几何体拼接而成，或由简单几何体截去或挖去一部分而成.
立体图形的直观图
(1)概念：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形，立体几何中通常是在平行投影下得到的平面图形.
(2)斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.
简单几何体的表面积与体积
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积
其中r，r′为底面半径，l为母线长.
(2)柱、锥、台、球的表面积和体积
常见四棱柱及其关系
例题精讲
空间几何体的结构特征
【要点讲解】解决此类问题的基本方法：①定义法：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；②反例法：学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可.
下列说法正确的是
A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
【解答】解：选项，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故错误；
选项，其余各面的边延长后不一定交于一点，故错误；
选项，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是时，
各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故错误；
选项，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，
又底面也是长方形，符合长方体的定义，故正确．
故选：．
下列命题正确的是
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
【解答】解：对于，棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定是全等的平行四边形，错误；
对于，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，错误；
对于，四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，正确；
对于，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，错误．
故选：．
下列说法正确的是
A．直四棱柱是长方体
B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体
D．台体是由一个平面截锥体所得的截面与底面之间的部分
【解答】解：对于，当直四棱柱的底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，错误；
对于，不符合棱柱的结构特征，如下面是一个正三棱柱，上面是一个以正三棱柱上底面为底面的斜三棱柱，错误；
对于，正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体，正确；
对于，不符合台体的结构特征，截面应该跟底面平行，错误．
故选：．
直观图的斜二测画法
【要点讲解】在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
水平放置的的直观图如图所示，是△中边的中点，且平行于轴，则，，对应于原中的线段，，，对于这三条线段，正确的判断是
A．最短的是B．最短的是C．D．
【解答】解：因为平行于轴，所以在中，，
又因为是△中边的中点，
所以是的中点，
所以．
故选：．
如图，边长为2的正方形是用斜二测画法得到的四边形的直观图，则四边形的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：因为直观图的面积为，
所以原四边形的面积为．
故选：．
一个水平放置的平面图形用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角△，其中，则平面图形的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，在直观图等腰直角△，其中，则，
故其面积，
故原图平面图形的面积．
故选：．
如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为的等腰梯形，已知直观图中，，则该平面图形的面积为
A．B．2C．D．
【解答】解：因为直观图是底角为的等腰梯形，且，，
所以等腰梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，
所以原平面图形的面积为．
故选：．
最短路径问题
在一个长方体中，已知，，，则从点沿表面到点的最短路程为
A．B．C．D．15
【解答】解：将长方体展开共三种情况如下：
（1），
（2），
（3），
所以从点沿表面到点的最短路程为．
故选：．
如图，某圆柱体的高为1，是该圆柱体的轴截面．已知从点出发沿着圆柱体的侧面到点的路径中，最短路径的长度为2，则该圆柱体的底面周长为 2 ．
【解答】解：设圆柱体底面圆的半径为，将侧面的一半展开后得四边形为矩形，矩形的对角线是点到点的最短距离，
依题意得：，
所以，解得，
所以该圆柱体的底面周长为．
故答案为：2．
如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．
（1）求该几何体的表面积；
（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离．
【解答】解：（1）根据题意，旋转后的几何体为上底半径为1，下底半径为2，母线为3的圆台，
其侧面展开图如图：
其变面积，
（2）根据题意，在圆台的侧面展开图中，，则，
设，则有，则，
蚂蚁爬行的最短距离即，而，
故蚂蚁爬行的最短距离为．
求几何体的表面积
【要点讲解】求解多面体的表面积，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，通过建立未知量与已知量间的关系进行求解； 求空间几何体体积的常用方法为公式法、割补法和等积变换法(等体积法)．①割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积. ②等积变换法：特别地，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”．
已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为
A．B．C．D．
【解答】解：设圆锥的母线长为，
因为圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，
所以，得，
所以圆锥的侧面积为，
故选：．
一个圆台的上、下底面的半径分别为1，4，母线长为5，则该圆台的侧面积为
A．B．C．D．
【解答】解：设圆台的上、下底面的半径为，，母线长为，
所以，，，
．
故选：．
在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑biēnà．已知在鳖臑中，面，，则该鳖臑的表面积为 ．
【解答】解：根据题意，已知在鳖臑中，面，，
如图所示：
在中，，则，
在中，，有，则，
在中，，，则，
在中，，，，
故该鳖臑的表面积．
故答案为：．
如图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中为圆台下底面圆心，，分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上下底面圆的半径为，，，圆台下底面圆半径为，则该组合体的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，圆柱上下底面圆的半径为，，，
则圆柱的上底面面积为，圆柱的侧面面积为；
又由圆台下底面圆半径为，则圆台的下底面面积为，
圆台的母线长为，
所以圆台的侧面面积为，
故该组合体的表面积为．
故选：．
南高学生到南充内燃机厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为
A．86.4B．172.8C．864D．950.4
【解答】解：由题意可得，
又棱锥的高为，
所以，
又长方体的体积，
所以该模型体积，
故该模型所需原料的质量为．
故选：．
求几何体的体积
【要点讲解】求旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用. 求旋转体体积的一般思路是理解旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量，求旋转体的体积常用公式法、分割法等，注意相关公式要牢记.
圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，
则，
所以，，
所以圆锥的体积为．
故选：．
一个直角三角形的两条直角边长分别为1和，将该三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周得到两个圆锥，则这两个圆锥的体积的比值为
A．1B．C．3D．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
若绕边长为1的直角边旋转得到圆锥，其底面的半径，高，
所以圆锥的体积；
若绕边长为的直角边旋转得到圆锥，其底面的半径，高，
所以圆锥的体积；
所以．
故选：．
已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为
A．3B．4C．6D．8
【解答】解：三棱锥与三棱柱等底等高，
则三棱锥的体积是三棱柱体积的，
即三棱锥的体积为4．
故选：．
已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为．在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为
A．B．1C．D．
【解答】解：因为圆锥的高与其底面圆的半径相等，设圆锥的高为，底面圆的半径为，则，
又因为圆锥的体积为，可得，解得，则，
设圆锥的顶点为，底面圆心为，则高为，与正方体的上底面交点为，
在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，
上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，取其轴截面，如图，
设正方体的棱长为，可得，
由△，可得，即，
解得，
所以该正方体的棱长为．
故选：．
如图，一个三棱锥中，，，分别为棱，，上的点，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比
A．B．C．D．
【解答】解：作，交于点，
，又，
，可得点，到平面的距离相等，
．
由题意，小三棱锥与大三棱锥相似，相似比为，则体积比为，
设，则，，
．
故选：．
随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”．图1是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面是矩形，，，四边形、是两个全等的等腰梯形，、是两个全等的等腰三角形．若，，，则该几何体的体积为
A．90B．C．D．135
【解答】解：过点作，，
又，，平面，
所以平面，
过点作，，
又，，平面，
所以平面，
因为底面，平面，平面平面，
所以，同理，
所以，，，，
平面，平面，
又平面，平面，
所以，，
因为，，，与是全等的等腰三角形，
由对称性可得，，
所以，
连接点与的中点，
则，
所以，
又，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，，平面，，
所以平面，
又，
所以，
所以五面体的体积为．
故选：．
在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为
A．B．C．D．
【解答】解：在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，
所以，
设到平面的距离，到平面的距离，则，
则三棱锥的体积为．
故三棱锥和三棱锥的体积之比为．
故选：．
球的表面积和体积
【要点讲解】解决球的表面积、体积问题，关键是抓住“半径”，半径确定之后，根据相应公式计算即可．
棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，
该球面的半径，
该球面的表面积为．
故选：．
正四棱锥的高为3，体积为32，则其外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为，
正四棱锥的高为，又球心在正四棱锥的高上，
该正四棱锥的体积为，，，
设外接球的半径为，则在直角三角形中，
，解得．
球的表面积．
故选：．
在三棱锥中，、、两两互相垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，因为，，两两互相垂直，故将三棱锥补成一个长方体，
由题意知球心为中点，所以外接球半径，
因为，，，所以，
则，
所以球的表面积为．
故选：．
已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面是矩形，平面底面，为正三角形，，则球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：令所在圆的圆心为，则圆的半径，
因为平面底面，
所以，
则球的半径，
所以球的表面积．
故选：．
圆台的内切球的表面积与圆台的侧面积之比为，则圆台母线与底面所成角的正切值为
A．B．1C．D．
【解答】解：根据题意，设圆台的上底半径为，下底半径为，其内切球的半径为，
该圆台和其内切球的轴截面如图：作，交于点，作，交于点，
分析可得，，则圆台的母线为，
在中，，，，
则有，变形可得，
故该圆台的侧面积，
内切球的表面积，
又由圆台的内切球的表面积与圆台的侧面积之比为，则有，
变形可得，即，
设圆台母线与底面所成角为，则．
故选：．
已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则
A．1B．C．D．2
【解答】解：设球的半径为，则根据题意可得：
，
由，
外接圆半径，
如图，根据线面垂直模型知：．
故选：．
截面问题
用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为
A．B．C．D．
【解答】解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为球的半径是，
所以根据球的体积公式知，
故选：．
已知圆锥的底面半径为，轴截面的面积为，则该圆锥的体积为
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，设圆锥的高为，
圆锥的轴截面为等腰三角形，其底边长为，
则，解得，
故圆锥的体积为．
故选：．
如图，在三棱柱中，过的截面与交于点，与交于点，都不与重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为的两部分，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为三棱柱，
所以，面面，
又因为面面，面面，
所以，
显然为三棱台，
设，，
三棱柱的高为，
则，
所以三棱柱体积为，
三棱台的体积为，
①三棱台的体积占，
则，得，
解得或，均不符合题意；
②三棱台的体积占，
则，得，
解得或，
因为，
所以．
故选：．
如图：正方体的棱长为2，为的中点，过点作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，取，中点，，连接，，，，
如图：
四边形为平行四边形，，
四边形为平行四边形，，
即为过点长方体截面，
证明如下：
，平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
又，平面平面，
则截面的面积．
故选：．
已知正方体的棱长为2，点为线段的中点，若点平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为
A．B．C．D．
【解答】解：记，的中点分别为，，连接，，，，，
由正方体性质可知，平面，
因为平面，所以，
又为正方形，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以
因为，分别为，的中点，所以，所以，
同理可证，，
又，，平面，
所以平面，
所以三角形即为平面截正方体所得截面，
易知三角形为正三角形，，
所以截面周长为．
故选：．
棱柱
棱锥
棱台
图
形
定
义
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分的多面体
结
构
特
征
底面互相平行且全等；侧面都是平行四边形；侧棱都相等且互相平行
底面是一个多边形；侧面都是三角形；侧面有一个公共顶点
上、下底面互相平行且相似；各侧棱延长线交于一点；各侧面为梯形
圆柱
圆锥
圆台
球
图
形
定
义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体
以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分
以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体
结
构
特
征
①母线互相平行且相等，并垂直于底面；
②轴截面是全等的矩形；
③侧面展开图是矩形
①母线相交于一点；
②轴截面是全等的等腰三角形；
③侧面展开图是扇形
①母线延长线交于一点；
②轴截面是全等的等腰梯形；
③侧面展开图是扇环
截面是圆面
圆柱
圆锥
圆台
侧面展
开图
侧面积
公式
S圆柱侧
＝2πrl
S圆锥侧
＝πrl
S圆台侧
＝π(r＋r′)l
几何体
表面积
体积(S是底面积，
h是高)
柱体(棱柱
和圆柱)
S表面积＝S侧
＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥
和圆锥)
S表面积＝S侧
＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台
和圆台)
S表面积＝S侧＋
S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋
S下＋eq \r(S上S下))h
球(R是
半径)
S表面积＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3