2025高考数学一轮专题复习：解析几何专题2（含答案解析）-练习

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典例1、已知焦点在x轴的椭圆C：离心率e=，A是左顶点，E（2，0）
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若斜率不为0的直线l过点E，且与椭圆C相交于点P，Q两点，求三角形APQ面积的最大值
随堂练习：已知椭圆的中心在原点，焦点，且经过点．
（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上有一点P，另一焦点，求的面积的最大值．
典例2、已知椭圆的左右焦点为，且，直线过且与椭圆相交于两点，当是线段的中点时，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当线段的中点不在轴上时，设线段的中垂线与轴交于点，与轴交于点为椭圆的中心，记的面积为的面积为，当取得最大值时，求直线的方程．
随堂练习：已知椭圆：的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为
坐标原点，
（1）若的面积为，求椭圆的标准方程：
（2）过点作斜率的直线交椭圆于不同两点，，点在椭圆的内部，在椭圆上存在点，使，记四边形的面积为，求的最大值.
典例3、已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当椭圆和圆：.过点作直线和，且两直线的斜率之积等于，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点，．
（i）求的取值范围； （ii）求面积的最大值．
随堂练习：已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，直线交椭圆C于P，Q两点，直线与
x轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
（1）求证：直线恒过定点；（2）设和的面积分别为，求的最大值.
知识点二 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例4、已知，是椭圆E：上的两点．
（1）求椭圆E的方程．
（2）若直线l与椭圆E交于C，D两点（C，D均不与点A重合），且以线段CD为直径的圆过点A，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
随堂练习：已知椭圆过点B（0，1），A为其左顶点，且直线AB的斜率为.
（1）求E的方程；（2）不经过B点的直线l与E相交于C，D两点，若两直线BC，BD的斜率之和为，求直线l所过的定点.
典例5、已知椭圆经过点和点．
（1）求椭圆的标准方程和离心率；
（2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．
随堂练习：已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求该椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，使得为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由.
典例6、已知椭圆过点，椭圆的左、右顶点分别为，点P坐标为，成等差数列．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若对斜率存在的任意直线l与椭圆恒有M，N两个交点，且．证明：直线l过定点．
随堂练习：已知椭圆：过点，且点A到椭圆的右顶点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为坐标原点，直线：与交于M，N两点，记线段MN的中点为P，连接OP并延长交于点Q，直线交射线OP于点R，且，求证；直线过定点.
高考解析几何复习专题二
典例1、答案：（1）（2）
解:（1）∵∴，a=4， 椭圆的标准方程为；
（2）设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆方程得，
设P，Q，则
∴三角形APQ面积为：，
令
∵函数y=x+在上单调递增
∴当u=，即m=0时，三角形APQ的面积取最大值.
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）因为椭圆的焦点为且过，所以
所以，，所以椭圆方程为：；
（2）因为，
因为，所以，此时P点位于短轴端点处
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）由于，所以，则右焦点的坐标为，
当时，代入椭圆方程为 ，故当是线段的中点时，此时轴，
故，又，联立即可求解
解得，，， 椭圆的标准方程：；
（2）由线段的中点不在轴上可知直线有斜率且不为0，
设过椭圆的右焦点的直线的方程为，， 设，，，，
联立整理得：，
由韦达定理得，． ．
为线段的中点，则可得点，．
，
又直线的斜率为，直线的方程为：．
令得，，故 令得，,故
因此,
, 故
令 ， 故，记，
故当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，取最大值 ，故此时取最大值，
此时， 此时直线的方程为
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1），∴， ，，又，
解得，所以椭圆的标准方程为：.
（2），∴，椭圆，
令，直线l的方程为：，
联立方程组： ， 消去y得，
由韦达定理得，， 有 ，
因为：，所以， ，
将点Q坐标代入椭圆方程化简得： ，
而此时： . ，
而， O点到直线l的距离，
所以：，
因为点P在椭圆内部，所以 ，得， 又，所以
，当，即时等号成立. 所以的最大值是.
典例3、答案： （1） （2）（i）；（ii）
解：（1）由题意，，解得，，，所以椭圆的标准方程为.
（2）（i）由题意，两直线、的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1，
设的斜率为，则的斜率为， 则直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
与圆相切于点，，化简得，
由得，，
，化简得，，
由得，，代入上式化简得，，
解得， 又，则，得，
所以的取值范围是.
（ii）设，，
由（1）可知，，，
又， 又原点到直线的距离，
面积，
设，则，由以及得，
所以当时，面积取最大值. 所以面积的最大值是.
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）依题意，，设，
直线方程为，由消去x并整理得：
，，则，
因在椭圆上，有，直线BP斜率，有，
则，即， 而
，
解得，此时，直线：恒过点，所以直线恒过定点.
由（1）知，，令，，
则，
令，函数在上单调递增，则当时，取得最小值，
所以当，即时，取得最大值.
典例4、答案： （1） （2）定点，理由见解析.
解：（1）将，代入椭圆方程可得，解得，
所以椭圆方程为；
（2）若直线的斜率不存在，设直线方程为，由题可得为等腰直角三角形，
则可将代入椭圆，解得（舍去）或，即直线方程为；
若直线的斜率存在，设方程为，设，
联立方程，可得，
则，可得，
①，②，
由题可得，则，即，
代入①②，整理可得，解得或，
若，直线为，经过点,不符合，
若，直线为，经过定点，
综上所述，直线l过定点.
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）由题意，直线AB为，即，故当时，
所以，椭圆过，则， 所以椭圆E为.
（2）设直线BC与直线BD的斜率分别为，.
若直线l与x轴垂直，设直线，且， 可得C，D分别为，，
则，得，不符合题设. 从而可设直线.
将代入得：.
由题意. 设，，则，.
而.
所以，即，解得或（舍去）.
当且仅当时，于是直线，即，
所以直线l过定点.
典例5、答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为 （2）证明见解析
解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则，
所以，椭圆的标准方程为，离心率为.
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
可得，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
由已知，则
，
所以，，即，解得或.
当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意；
②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点，
由已知可得， ，，由已知，
则，所以，，因为，解得，
此时直线的方程为，则直线过点. 综上所述，直线过定点.
随堂练习：答案：（1） （2）存在，
解：（1），，椭圆，将代入可得，故，
椭圆方程为：；
（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，，
联立方程可得：，
，，为常数，
代入韦达定理可知，即为常数，，故
且，直线l过定点
当直线l斜率为0时，可检验也成立，故存在定点.
典例6、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由题意知：，， 成等差数列．可得：
解得： 又，，解得： 故椭圆标准方程为：
（2）设直线方程为
联立，化简得：
可得：，，
则有：
可得： 解得：或 故直线方程为：或
所以直线恒过点或
又因为直线l与椭圆恒有两个交点，故易知定点必在椭圆内，故直线l恒过点
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由题意得，，解得或（舍去）， 则椭圆的方程为
将代入：得，，解得， 则椭圆的方程为.
（2）设，，：，
联立，得，
由得，∴，∴.
由斜率公式可知，∴：，∴.
联立，得，即.
∵，∴，
∴，∴，此时满足，
则直线为：，则直线过定点.