天津市河北区2025届高三上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份天津市河北区2025届高三上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集,,,则( )
A.B.C.D.
2．设,则“”是“直线与直线平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3．函数在上的图象大致为( )
A.B.
C.D.
4．某校调查了400名学生每周的自习时间（单位:小时）,发现他们的自习时间都在区间内,将所得的数据分成5组:,,,,,制成了如图所示的频率分布直方图,则自习时间在区间内的人数为( )
A.240B.180C.96D.80
5．设,,,则( )
A.B.C.D.
6．如图,圆锥的底面直径和高均是4,过的中点作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,则剩下几何体的表面积为( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线的右焦点为F,过点F作垂直于x轴的直线l,M,N分别是l与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点,则C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
8．若函数的图象关于点对称,则的单调递增区间为( )
A.,B.,
C.,D.,
9．已知函数,若函数恰有5个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
10．复数（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是__________.
11．二项式的展开式中的常数项为__________.
12．若直线与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的方程是___________.
13．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,则函数在区间上的值域______.
14．为了组建一支志愿者队伍,欲从3名男志愿者,3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长,则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________,若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数,则________.
15．已知中,点G,O分别是的重心和外心,且,,则边的长为__________.
三、解答题
16．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,的面积为,.
（1）求角A的大小;
（2）求a的值;
（3）求的值.
17．如图,在直三棱柱中,,,,M,N,P分别为,,的中点.
（1）求证:平面;
（2）求平面与平面的夹角的余弦值;
（3）求点P到平面的距离.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过点作两条直线，，直线与C交于A，B两点，的周长为.
(1)求C的方程；
(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于M，N两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值.
19．已知函数在处取得极小值.
（1）求m的值;
（2）求函数在点处的切线方程;
（3）若,恒成立,求实数a的取值范围.
20．已知函数,其中e为自然对数的底数.
（1）当时,求的单调区间;
（2）若方程有两个不同的根,.
（i）求a的取值范围;
（ii）证明:.
参考答案
1．答案：C
解析：由,可得,即,
则或,故.
故选:C.
2．答案：A
解析：若直线与直线平行,则且,解得,
所以推得出直线与直线平行,即充分性成立;
由直线与直线平行推不出,即必要性不成立;
故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选:A
3．答案：A
解析：因为函数的定义域为,
且,
所以函数是偶函数,其函数图像关于y轴对称,排除CD.
又,排除B.
故选:A.
4．答案：A
解析：由频率分布直方图可知,自习时间在区间内的频率为,
所以自习时间在区间内的人数为.
故选:A.
5．答案：B
解析：因为,,所以;
因为,所以;
因为,所以,
所以.
故选:B.
6．答案：B
解析：设圆柱的高为h,底面半径为r,可知,
则圆锥的母线长为,
所以剩下几何体的表面积为.
故选:B.
7．答案：C
解析：设双曲线的右焦点,过第一象限的渐近线方程为,
当时,,即,又,
因为M是线段的中点,所以,得,
所以,即,
所以C的渐近线方程为.
故选:C.
8．答案：C
解析：,
图象关于点对称,
,,
,（）,
,,
,
由（）,
解得:（）,
函数的增区间为,.
故选:C.
9．答案：A
解析：函数的定义域为,
若时,由求导得,,
故当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,且,
当时,,当时,;
若时,由求导得,,
因,故恒有,即在上单调递增,
且当时,,当时,,即时,恒有.
作出函数的大致图象如图所示.
又由可得或,
由图知有两个根,此时有2个零点;
要使函数恰有5个不同的零点,
需使有3个零点,由图知,需使,即,解得.
综上所述,实数a的取值范围是.
故选:A.
10．答案：
解析：因,
故复数z在复平面内对应点的坐标是.
故答案为:.
11．答案：
解析：二项式的通项为,,…,5,
由可得,即得二项展开式中的常数项为.
故答案为:
12．答案：，
解析：不妨设直线与x轴和y轴的交点分别为A，B，
令，得，即；再令，得，即，
从而线段AB的中点为，且为所求圆的圆心，
又因为，所以所求圆的半径为，
从而以线段AB为直径的圆的方程是，
故答案为：.
13．答案：
解析：由题意,
因为,所以,所以,
所以函数在区间上的值域为.
故答案为:.
14．答案：;1.5或
解析：设事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”,事件“抽取的3人中全是男志愿者”
,,则,
即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是.
X可取0,1,2,3,,,
,,
则
故答案为:;1.5
15．答案：
解析：延长交于点D,连接,作于点H,则D,H分别为,的中点,如下图所示:
易知,
同理可得,
由重心性质可知;
所以;
又,即,可得;
所以,可得;
因此,即.
故答案为:
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因和正弦定理,,
又,所以,所以,
又,所以,
又,所以,所以,
;
（2）因,解得,
又因,即,代入上式可得:,解得,故,
由余弦定理得,,
故得;
（3）由（2）已得,,,
由余弦定理,可得
因且,故,
所以.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）如图,以C为原点,,,所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系则,,,,,,,.
设平面的法向量为,
,,
则取
所以所以
又因为平面,所以平面
（2）设平面的法向量为,,,
则取
设平面与平面的夹角为
则
所以平面与平面的夹角的余弦值为
（3）
设点P到平面的距离为d
所以点P到平面的距离为.
18．答案：（1）；
（2）或；
（3）
解析：（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，
的周长为，所以，
所以，故C的方程为.
（2）易知的斜率不为0，设，，，
联立，得，
所以，.
所以，
由，
解得，所以的方程为或.
（3）由（2）可知，
因为的斜率是的斜率的2倍，所以，
得
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由,可得,
由,解得,此时,
时,单调递减,
时,单调递增,
故是函数的极小值点,符合题意,所以.
（2）由题可得:,
在点处的切线方程为即
（3）由,恒成立,
则,恒成立,
令,则,
当时,,,当时,,,
所以当时,恒成立,所以在上单调递增,
所以,所以,
所以实数a的取值范围为.
20．答案：（1）在区间内单调递增,在区间内单调递减;
（2）（i）
（ii）证明见解析.
解析：（1）由题意得,,则,
由,解得.
当时,,单调递增,
当时,,单调递减;
综上,在区间内单调递增,在区间内单调递减;
（2）（i）由,得,
设,
由（1）得在区间内单调递增,在区间内单调递减,
又,当时,,且当时,,
所以当时,方程有两个不同的根,即方程有两个不同的根,
故a的取值范围是.
（ii）不妨设,则,且.
法一:
当时,结合（i）知,即;
当时,.
设,,
则,
所以在区间内单调递增,
则,即,
所以,
又,,,在区间内单调递减,
所以,即,
又,所以,
故,所以,得证.
法二:
设,,
则,
所以在区间内单调递增,又,
所以,即.
又,所以,
又,,在区间内单调递减.
所以,即,
又,所以,得证.