2024-2025学年河南省南阳一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省南阳一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设直线l：x− 3y+8=0的倾斜角为α，则α=( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.已知双曲线x2a−y2a+1=1(a>0)的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为( )
A. 18B. 14C. 13D. 12
3.已知方程x2m−2+y24−m=1表示一个焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( )
A. (3,4)B. (2,3)C. (2,3)∪(3,4)D. (2,4)
4.直线y=2x+6被圆(x+2)2+y2=4截得的弦长为( )
A. 10B. 5 53C. 8 55D. 2 5
5.已知抛物线y2=3x的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则|PF|的最小值为( )
A. 1B. 34C. 43D. 32
6.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e1，双曲线C2：x2a2−y2b2=1的离心率为e2，则( )
A. e2=2e1B. e1+e2=2C. e22=e12+1D. e12+e22=2
7.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x−a)2+(y−a)2=a2(a>0)，A(−3,0)，若圆C上存在点P，使得|PA|=2|PO|，则正数a的取值范围为( )
A. (0,1]B. [1,2]C. [ 3,2]D. [1,3+2 3]
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，|BF1|=2|BF2|=4|AF2|，△ABF1的周长为10，则双曲线C的焦距为( )
A. 3B. 7C. 2 213D. 6 75
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆C的标准方程可能为( )
A. x24+y29=1B. x29+y25=1C. x29+y24=1D. x25+y29=1
10.如图，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过抛物线C上一点P(点P在第一象限)作准线l的垂线，垂足为H，△PHF为边长为8的等边三角形.则( )
A. p=2
B. p=4
C. 点P的坐标为(6,3 3)
D. 点P的坐标为(6,4 3)
11.已知双曲线C：x23−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线C右支上的动点，过点P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若圆(x−2)2+y2=1与双曲线C的渐近线相切，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程为y=± 33x
B. 双曲线C的离心率e=2 33
C. 当点P异于双曲线C的顶点时，△PF1F2的内切圆的圆心总在直线x= 3上
D. |PA|⋅|PB|为定值32
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点(3,1)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为______．
13.已知P(m,n)是圆C：(x−4)2+(y−4)2=8上的一个动点，则 m2+n2的取值范围为______．
14.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆左焦点F1的直线与椭圆C相交于P，Q两点，|QF2|=2|PF2|，cs∠PF2Q=14，则椭圆C的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的顶点坐标为A(−1,6)，B(−3,−1)，C(4,2)．
(1)若点D是AC边上的中点，求直线BD的方程；
(2)求AB边上的高所在的直线方程．
16.(本小题15分)
已知动点P到点F(t,0)(t为常数且t>0)的距离与到直线x=−t的距离相等，且点(1,−1)在动点P的轨迹上．
(1)求动点P的轨迹C的方程，并求t的值；
(2)在(1)的条件下，已知直线l与轨迹C交于A，B两点，点M(2,1)是线段AB的中点，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
已知点O(2,0)、A(−6,0)，动点P(x,y)满足|PA|=3|PO|．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知圆Q的圆心为Q(t,t)(t>0)，且圆Q与y轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x+2y=0，点(2 2,−1)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过定点P(0,1)的动直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，与其两条渐近线分别交于M，N(点M在点N的左边)两点，证明：线段AM与线段BN的长度始终相等．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，短轴长为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直．
参考答案
1.A
2.A
3.B
4.C
5.B
6.D
7.D
8.C
9.BD
10.BD
11.ABC
12.x−3y=0或x+y−4=0
13.[2 2,6 2]
14. 105
15.解：(1)因为点D是AC边上的中点，A(−1,6)，C(4,2)，
则D(32,4)，
又B(−3,−1)，
所以kBD=−1−4−3−32=109，
所以直线BD的方程为y+1=109(x+3)，即10x−9y+21=0；
(2)因为kAB=−1−6−3+1=72，
所以AB边上的高所在的直线的斜率为−172=−27，
所以AB边上的高所在的直线方程为y−2=−27(x−4)，即2x+7y−22=0．
16.解：(1)动点P到F(t,0)的距离与到直线x=−t的距离相等，
所以点P的轨迹是以F(t,0)为焦点，x=−t为准线的抛物线，
故点P的轨迹方程为y2=4tx，
又点(1,−1)在动点P的轨迹上，
所以t=14，
故动点P的轨迹C的方程y2=x；
(2)设直线l的方程为x=ky+m，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因为AB的中点为(2,1)，则有2=k+m，
联立方程组x=ky+my2=x，则有y2−ky−m=0，
所以y1+y2=k=2，故m=0，
所以直线l的方程为y=12x．
17.解：(1)由|PA|=3|PO|得|PA|2=9|PO|2，
即(x+6)2+y2=9[(x−2)2+y2]，整理得(x−3)2+y2=9，
故动点P的轨迹C的方程为(x−3)2+y2=9．
(2)∵点Q的坐标为(t,t)(t>0)且圆Q与y轴相切，∴圆Q的半径为t，
∴圆Q的方程为(x−t)2+(y−t)2=t2，
∴圆Q与圆C两圆心的距离为|CQ|= (t−3)2+t2= 2t2−6t+9，
∵圆Q与圆C有公共点，∴|3−t|≤|CQ|≤3+t，
即|3−t|2≤(t−3)2+t2≤(3+t)2，且t>0，解得0