2024年陕西省西安市新城区名校协作体中考数学二模试卷

这是一份2024年陕西省西安市新城区名校协作体中考数学二模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的值为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
2．（3分）垃圾分类，人人有责．垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾．以下图标是几类垃圾的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1的度数为（ ）
A．120°B．80°C．60°D．40°
4．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．2x2+3x2＝6x2B．x4•x2＝x8
C．x6÷x2＝x3D．（xy2）2＝x2y4
5．（3分）在平面直角坐标系中，把直线y＝3x向左平移2个单位长度，平移后的直线解析式是（ ）
A．y＝3x+2B．y＝3x﹣2C．y＝3x+6D．y＝3x﹣6
6．（3分）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝3cm，则截面圆中弦AB的长为（ ）
A．B．8cmC．D．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，则AE的长是（ ）
A．3B．C．D．
8．（3分）经过点A（m，n），B（m﹣4，n）的抛物线y＝x2+2cx+c与x轴有两个公共点，与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1B．m＞2或m＜1C．m＜1D．1＜m＜2
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）计算：﹣＝ ．
10．（3分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 度．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，P是边BC上的一动点，R是边CD上的一固定点，E，F分别是AP，RP的中点．当点P在BC上从点B向点C移动时，线段EF的长 .（填“逐渐增大”“逐渐减小”或“不变”）
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C．若k＝﹣4，则△OAB的面积等于 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，1），C（0，3），将线段AB沿x轴向右平移得到A'B'，连接A′C，B′C，则A'C+B'C的最小值为 ．
三、解答题（本大题共13小题，共81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式组．
16．（5分）解方程：﹣1＝．
17．（5分）如图，用直尺和圆规在△ABC内找一点P，使它到三边的距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，点E、B在线段AB上，AE＝DB，BC＝EF，BC∥EF，求证：AC＝DF．
19．（5分）小明、小华一起到西安游玩，他们决定在三个热门景点（A．大雁塔；B．秦始皇兵马俑；C．城墙）中各自随机选择一个景点游玩．
（1）小华选择到秦始皇兵马俑景点游玩的概率是 ．
（2）用画树状图或列表的方法，求小明、小华选择到不同景点游玩的概率．
20．（5分）“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，三片国槐树叶与两片银杏树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
21．（6分）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊AB，文化长廊上伫立着三座名人塑像CD，EF，GH，点A，D，F，H，B在同一条直线上，且AD＝DF＝FH＝HB．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像CD的影子为DM，塑像EF的影子为FN．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊AB＝32米，塑像的高CD＝EF＝GH＝3米，塑像CD的影长DM＝2米．
（1）求明德楼的高PA．
（2）求塑像EF的影长FN．
22．（7分）如图，l1反映了某品牌汽车一天的销售收入与销售量之间的函数关系，l2反映了该品牌汽车一天的销售成本与销售量之间的函数关系．请根据图象，回答下列问题：
（1）分别求出l1、l2所对应的函数表达式．
（2）当销售量为15辆时，该品牌汽车所获利润为多少？（利润＝销售收入﹣销售成本）
23．（7分）某校开展了一次法制安全知识竞赛，并从七年级和八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩得分用x（分）表示，共分为五组：A.0≤x＜60；B.60≤x＜70；C.70≤x＜80；D.80≤x＜90；E.90≤x≤100．其中x≥80记为优秀），相关数据统计、整理如下．
七年级被抽取的学生竞赛成绩：52，58，58，60，64，70，72，74，74，76，76，78，80，86，86，86，88，90，94，98．
八年级被抽取的学生竞赛成绩中，C组的具体分数为70，72，74，76，76，76，78，78．
七年级和八年级被抽取的竞赛成绩统计表
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ．
（2）根据以上数据分析，评价该校七年级和八年级本次法制安全知识竞赛成绩哪个年级更优异？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）若该校七年级和八年级共有3000人，请你估计该校七、八年级学生中法制安全知识竞赛成绩为优秀的共有多少人？
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长CE，交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）当BD＝6，sin时，求EF的长．
25．（8分）如图，某一抛物线型隧道在墙体OM处建造，现以地面ON和墙体OM分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系．已知OA＝米，且抛物线经过点B（1，），C（7，）．
请根据以上信息，解决下列问题．
（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）现准备在抛物线上的点E处，安装一个直角形GEF钢拱架对隧道进行维修（点F，G分别在x轴，y轴上，且OG≤OA，EG∥x轴，EF∥y轴），已知钢拱架GE+EF的长为米，求点E的坐标．
26．（10分）问题提出
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，AD与BC之间的距离为4，则四边形ABCD的面积为 ．
问题探究
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，若AD＝1，BC＝3，对角线AC⊥BD，求四边形ABCD的最大面积．
问题解决
（3）某地在文旅开发建设中规划设计梯形ABCD为非遗展示区，计划分为传统、创新两个区域．如图3，已知 AD∥BC，AD：BC＝1：3，∠BDC＝60°，AB＝40m，则是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
2024年陕西省西安市新城区名校协作体中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）的值为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：＝2，
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
2．（3分）垃圾分类，人人有责．垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾．以下图标是几类垃圾的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转180°与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可．
【解答】解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；
A．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键．
3．（3分）如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1的度数为（ ）
A．120°B．80°C．60°D．40°
【分析】先根据两直线平行的性质得到∠3＝∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝2∠2，
∴∠1＝2∠3，
∴3∠3+60°＝180°，
∴∠3＝40°，
∴∠1＝80°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．
4．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．2x2+3x2＝6x2B．x4•x2＝x8
C．x6÷x2＝x3D．（xy2）2＝x2y4
【分析】先根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方进行计算，再得出选项即可．
【解答】解：A．2x2+3x2＝5x2，故本选项不符合题意；
B．x4•x2＝x6，故本选项不符合题意；
C．x6÷x2＝x4，故本选项不符合题意；
D．（xy2）2＝x2y4，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方等知识点，能熟记合并同类项法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方是解此题的关键．
5．（3分）在平面直角坐标系中，把直线y＝3x向左平移2个单位长度，平移后的直线解析式是（ ）
A．y＝3x+2B．y＝3x﹣2C．y＝3x+6D．y＝3x﹣6
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把直线y＝3x向左平移2个单位长度所得的直线的解析式是y＝3（x+2）＝3x+6．即y＝3x+6，
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
6．（3分）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝3cm，则截面圆中弦AB的长为（ ）
A．B．8cmC．D．
【分析】由垂径定理得AC＝BC＝AB，再由勾股定理得AC＝cm，即可得出结论．
【解答】解：由题意得：OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB，∠OCA＝90°，
∵OA＝OD＝5cm，CD＝3cm，
∴OC＝OD﹣CD＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC＝＝＝（cm），
∴AB＝2AC＝2（cm）．
∴截面圆中弦AB的长为2cm．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，则AE的长是（ ）
A．3B．C．D．
【分析】连接CE，由矩形的性质得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，OB＝OD，由线段垂直平分线的性质得出DE＝BE，设AE＝x，则DE＝5﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，OA＝OC，
∵EF⊥BD，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则DE＝AD﹣AE＝5﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2＝32+（5﹣x）2，
解得：x＝，
即AE＝．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
8．（3分）经过点A（m，n），B（m﹣4，n）的抛物线y＝x2+2cx+c与x轴有两个公共点，与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1B．m＞2或m＜1C．m＜1D．1＜m＜2
【分析】根据点A（m，n），B（m﹣4，n）是抛物线y＝x2+2cx+c上的点，可以得到该抛物线的对称轴，再根据对称轴公式，即可得到m和c的关系，然后抛物线y＝x2+2cx+c与x轴有两个公共点，与y轴的交点在x轴的上方，即可求得m的取值范围．
【解答】解：∵点A（m，n），B（m﹣4，n）是抛物线y＝x2+2cx+c上的点，
∴抛物线对称轴是直线．
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣c，
∴c＝2﹣m，
∵抛物线 y＝x2+2cx+c 与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∵抛物线 y＝x2+2cx+c 与x轴有两个公共点，
∴Δ＝4c2﹣4c＞0，
∴c＞1，
∴2﹣m＞1，
解得m＜1，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）计算：﹣＝．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
10．（3分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 36 度．
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1440，即可求得n＝10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）＝1440，
解得：n＝10，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．
故答案为：36．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，P是边BC上的一动点，R是边CD上的一固定点，E，F分别是AP，RP的中点．当点P在BC上从点B向点C移动时，线段EF的长 不变 .（填“逐渐增大”“逐渐减小”或“不变”）
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵E，F分别是AP，RP的中点，
∴EF是△APR的中位线，
∴EF＝AR，
∵R是边CD上的一固定点，
∴AR的长度不变，
∴线段EF的长不变，
故答案为：不变．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C．若k＝﹣4，则△OAB的面积等于 6 ．
【分析】过点B作BE⊥x轴于E，设点B（a，b），点A（c，0），则BE＝b，OA＝﹣c，根据点C为AB的中点得点C（，由此得k＝ab＝，整理得bc＝3ab，再根据k＝﹣4得ab＝k＝﹣4，则bc＝3ab＝﹣12，然后根据S△OAB＝OA•BE可得出答案．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于E，如图所示：

设点B（a，b），点A（c，0），
∴BE＝b，OA＝﹣c，
∴点C为AB的中点，
∴点C的坐标为，
∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，
∴k＝ab＝，
整理得：bc＝3ab，
∵k＝﹣4，
∴ab＝k＝﹣4，
∴bc＝3ab＝﹣12，
∴S△OAB＝OA•BE＝×（﹣c）•b＝﹣bc＝×（﹣12）＝6．
故答案为：6
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点，中点坐标公式，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的解析式，熟练利用中点坐标公式求出AB中点C的坐标是解决问题的关键．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，1），C（0，3），将线段AB沿x轴向右平移得到A'B'，连接A′C，B′C，则A'C+B'C的最小值为 ．
【分析】作 CD∥A'B'，且使 CD＝A'B'，连接A′D．作点C（0，3）关于x轴的对称点C'（0，﹣3），连接C′D交x轴于点W，连接A'C'，推出当点A'在点W处时，A'C+A′D最小，最小值是C′D的长，再利用勾股定理求出C′D的长即可．
【解答】解：如图，作 CD∥A'B'，且使 CD＝A'B'，连接A′D．
∴四边形 A'B'CD 是平行四边形，
∴A'D＝B'C，
∴A'C+B'C＝A′C+A′D，
∵点A（﹣2，0），B（0，1），
∴可设点A'（a，0），B'（a+2，1），
∵C（0，3），
∴点D（﹣2，2）．
作点C（0，3）关于x轴的对称点C'（0，﹣3），
连接C′D交x轴于点W，连接A'C'，
∴A'C+A'D＝A'C'+A'D≥C'D，
∴当点A'在点W处时，A'C+A′D最小，最小值是C′D的长．
∵C'D＝＝，
∴A′C+B′C的最小值是 ．
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，平面直角坐标系中的平移，勾股定理，能灵活运用平移和轴对称构造将军饮马模型是解题的关键．
三、解答题（本大题共13小题，共81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
【分析】利用负整数指数幂，特殊锐角的三角函数值，零指数幂，立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：原式＝4+2×﹣1﹣3
＝4+﹣1﹣3
＝．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
15．（5分）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣2≥x+2，得：x≥2，
解不等式x﹣1＜，得：x＜3，
则不等式组的解集为2≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（5分）解方程：﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边都乘以最简公分母（x+3）（x﹣3），得x2﹣2x﹣3﹣x2+9＝12，
解这个方程，得x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17．（5分）如图，用直尺和圆规在△ABC内找一点P，使它到三边的距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】分别作∠ABC和∠ACB的平分线，交点即为点P．
【解答】解：由题意知，点P为△ABC三个内角的平分线的交点．
如图，点P即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
18．（5分）如图，点E、B在线段AB上，AE＝DB，BC＝EF，BC∥EF，求证：AC＝DF．
【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵BC∥EF，
∴∠CBA＝∠FED，
∵AE＝DB，
∴AE+BE＝BD+BE，
即AB＝DE，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边．
19．（5分）小明、小华一起到西安游玩，他们决定在三个热门景点（A．大雁塔；B．秦始皇兵马俑；C．城墙）中各自随机选择一个景点游玩．
（1）小华选择到秦始皇兵马俑景点游玩的概率是 ．
（2）用画树状图或列表的方法，求小明、小华选择到不同景点游玩的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明、小华选择到不同景点游玩的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，小华选择到秦始皇兵马俑景点游玩的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明、小华选择到不同景点游玩的结果有：（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B），共6种，
∴小明、小华选择到不同景点游玩的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．（5分）“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，三片国槐树叶与两片银杏树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为y克．根据三片国槐树叶与两片银杏树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为y毫克．
由题意得：，
解得：，
答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列二元一次方程组是解题的关键．
21．（6分）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊AB，文化长廊上伫立着三座名人塑像CD，EF，GH，点A，D，F，H，B在同一条直线上，且AD＝DF＝FH＝HB．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像CD的影子为DM，塑像EF的影子为FN．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊AB＝32米，塑像的高CD＝EF＝GH＝3米，塑像CD的影长DM＝2米．
（1）求明德楼的高PA．
（2）求塑像EF的影长FN．
【分析】（1）根据已知易得：AD＝DF＝FH＝HB＝AB＝8米，再根据题意可得：∠CDM＝∠PAM＝90°，然后证明A字模型相似△CDM∽△PAM，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得：∠PAN＝∠EFN＝90°，然后证明A字模型相似△EFN∽△PAN，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AD＝DF＝FH＝HB，AB＝32 米，
∴AD＝＝8 （米），
根据题意得∠CDM＝∠PAM＝90°，
∵∠CMD＝∠PMA，
∴△CDM∽△PAM，
∴，
∴，
∴AP＝15，
答：明德楼的高PA为15米．
（2）根据题意得∠PAN＝∠EFN＝90°，
∵∠ENF＝∠PNA，
∴△EFN∽△PAN，
∴，
∴，
∴FN＝4，
答：塑像EF的影长FN为4米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（7分）如图，l1反映了某品牌汽车一天的销售收入与销售量之间的函数关系，l2反映了该品牌汽车一天的销售成本与销售量之间的函数关系．请根据图象，回答下列问题：
（1）分别求出l1、l2所对应的函数表达式．
（2）当销售量为15辆时，该品牌汽车所获利润为多少？（利润＝销售收入﹣销售成本）
【分析】（1）设l1与x的关系式为y＝kx，l2与x的关系式为y＝k′x+b，（k′≠0），由待定系数法求出其解即可；
（2）设销售利润为w，根据利润＝销售收入﹣销售成本就可以得出解析式，当x＝15时代入解析式期初其解即可．
【解答】解：设l1所对应的函数表达式为y＝kx（k≠0），把（4，4）代入得：4k＝4，
解得：k＝1，
∴l1所对应的函数表达式为y＝x；
设l2所对应的函数表达式为y＝k′x+b（k′≠0），
把（4，4），（0，2）代入得：，
解得：
∴l2所对应的函数表达式为y＝x+2；
（2）设销售利润为w，由题意，得
w＝x﹣5x﹣2＝x﹣2．
当x＝15时，
w＝×15﹣2＝5.5（万元）．
答：当销售量为15辆时，该品牌汽车所获利润为5.5万元．
【点评】本题考查了一次函数的图象的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
23．（7分）某校开展了一次法制安全知识竞赛，并从七年级和八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩得分用x（分）表示，共分为五组：A.0≤x＜60；B.60≤x＜70；C.70≤x＜80；D.80≤x＜90；E.90≤x≤100．其中x≥80记为优秀），相关数据统计、整理如下．
七年级被抽取的学生竞赛成绩：52，58，58，60，64，70，72，74，74，76，76，78，80，86，86，86，88，90，94，98．
八年级被抽取的学生竞赛成绩中，C组的具体分数为70，72，74，76，76，76，78，78．
七年级和八年级被抽取的竞赛成绩统计表
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：a＝ 77 ，b＝ 86 ，m＝ 40 ．
（2）根据以上数据分析，评价该校七年级和八年级本次法制安全知识竞赛成绩哪个年级更优异？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）若该校七年级和八年级共有3000人，请你估计该校七、八年级学生中法制安全知识竞赛成绩为优秀的共有多少人？
【分析】（1）找出女生被抽取的学生竞赛成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，可求出a的值，找出男生成绩出现次数最多的数即为男生成绩的众数b，根据女生在D组和E组的百分比，可得女生的优秀率，即可得m的值；
（2）根据中位数进行判断即可；
（3）总数乘男、女生竞赛成绩的优秀率即可．
【解答】解：（1）女生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为a＝（76+78）÷2＝77（分），
因此中位数是77分，即a＝77，
男生竞赛成绩出现最多的是86，
因此男生竞赛成绩的众数86，即b＝86；
m＝（1﹣10%﹣10%﹣）×100＝40，
故答案为：77，86，40；
（2）（答案不唯一）八年级竞赛成绩更优异．
理由：∵八年级的众数高于七年级的众数，
∴在本次法制安全知识竞赛中，八年级竞赛成绩更优异；
（3）3000×40%＝1200（人）．
答：在该校七、八年级学生中法制安全知识竞赛成绩优秀的估计有1200人．
【点评】本题考查扇形统计图、中位数、众数、样本估计总体，理解中位数、众数、样本估计总体的方法是正确求解的前提．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长CE，交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）当BD＝6，sin时，求EF的长．
【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；
（2）连接AD．由已知条件易求AB的长，进而可求出BF，BE的长，再由勾股定理即可求出EF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠1+∠2，
∴∠3＝2∠1，
∵∠ABD＝2∠BAC，
∴∠ABD＝∠3，
∴OC∥BD，
∵CE⊥DE，
∴OC⊥CF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥CF，
∴CF∥AD，
∴∠BAD＝∠F，
∴sin∠BAD＝sin∠F＝＝，
∴AB＝BD＝10，
∵OC＝AB＝5，
∵OC⊥CF，OC＝5，sin∠F＝，
∴sin∠F＝＝＝，
解得BF＝，
∴sin∠F＝＝，
∴BE＝BF＝2，
在Rt△BEF中，由勾股定理看得：EF＝＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质等知识点．解题的关键是正确地作出辅助线．
25．（8分）如图，某一抛物线型隧道在墙体OM处建造，现以地面ON和墙体OM分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系．已知OA＝米，且抛物线经过点B（1，），C（7，）．
请根据以上信息，解决下列问题．
（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）现准备在抛物线上的点E处，安装一个直角形GEF钢拱架对隧道进行维修（点F，G分别在x轴，y轴上，且OG≤OA，EG∥x轴，EF∥y轴），已知钢拱架GE+EF的长为米，求点E的坐标．
【分析】（1）由OA的长可知抛物线和y轴的交点坐标，再把点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意，设点 ，则点 ，F（t，0），由已知条件钢拱架GE+EF的长为米，可建立关于t的一元二次方程，求出t的值即可求点E的坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝ 米．
∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+，
将点B（1，），C（7，） 代入得，
解得，
∴抛物线的函数表达式是 ；
（2）由题意，设点 ，则点 ，F（t，0）．
由题意，得
解得 t1＝5，t2＝6，
当 t＝5 时， （不符合题意，舍去）；
当t＝6时，．
∴点E的坐标为 ．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
26．（10分）问题提出
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，AD与BC之间的距离为4，则四边形ABCD的面积为 20 ．
问题探究
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，若AD＝1，BC＝3，对角线AC⊥BD，求四边形ABCD的最大面积．
问题解决
（3）某地在文旅开发建设中规划设计梯形ABCD为非遗展示区，计划分为传统、创新两个区域．如图3，已知 AD∥BC，AD：BC＝1：3，∠BDC＝60°，AB＝40m，则是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用梯形的面积公式求解即可；
（2）如图2中，设AC交BD于O，过点O作OH⊥BC于H，交AD于E，取BC的中点F，连接OF．由OH≤OF，推出OH的最大值为3，当OH的值最大时，点H与F重合，此时△BOC，△AOD是等腰直角三角形，OE＝AD＝1，由此即可解决问题；
（3）如图3中，延长BA交CD的延长线于E，证明BE＝6km，∠BDE＝120°，求出△BDE面积的最大值即可解决问题．
【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，AD与BC之间的距离为4，
∴四边形ABCD的面积＝（AD+BC）×4＝（3+7）×4＝20，
故答案为：20；
（2）如图2，设AC交BD于点O，过点O作OH⊥BC于点H，延长HO交AD于点E，取BC的中点F，连接OF，
∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵BF＝CF，
∴，
∵OH⊥BC，
∴OH≤OF，
∴OH的最大值为 ．
当OH的值最大时，点H与点F重合．
此时，△BOC和△AOD是等腰直角三角形，，
∴EH的最大值为 ，
∴四边形ABCD的面积的最大值为 ；
（3）存在，理由如下：如图3，延长BA，CD交于点E，
∵AD∥BC，
∴，
∴CD＝2DE． ，
∴AE＝20m．
设△BAD的面积为2x，则△ADE的面积为x，△BDE的面积为3x，△BCD的面积为6x，
∴四边形ABCD的面积为8x，
∵AB＝40m，
∴BE＝60m，∠BDE＝180°﹣∠BDC＝120°，
∴点D是在以点O为圆心，且扇形圆心角∠BOE＝120°所对的弧上，
∴当BD＝DE时，△BDE的面积最大，最大值为 ，
∴，
∴，
∴x的最大值为，
∴四边形ABCD的面积的最大值为 ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了梯形的面积，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
七年级
八年级
平均数
76
76
中位数
76
a
众数
b
87
优秀率
40%
m%
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
七年级
八年级
平均数
76
76
中位数
76
a
众数
b
87
优秀率
40%
m%