山东省青岛市即墨区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份山东省青岛市即墨区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的相反数是（ ）
A．﹣B．±C．﹣5D．5
2．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．0.1，0.1，0.2B．2，2，4
C．6，8，10D．32，42，52
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）在平面直角坐标系内有一点P，若点P位于第四象限，并且点P到x轴和y轴的距离分别为3，4，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，﹣3）D．（3，﹣4）
5．（3分）若一次函数y＝5x﹣b的图象经过点（0，﹣3），则下列各点在该一次函数图象上的是（ ）
A．（2，1）B．（0，3）C．（﹣3，0）D．（1，2）
6．（3分）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A的坐标为（﹣1，﹣1），点B的坐标为（1，1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣2，2）B．（2，﹣2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）
7．（3分）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A．x2＝（x﹣1）2+12B．（x+1）2＝x2+102
C．x2＝（x﹣1）2+102D．（x+1）2＝x2+12
8．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则函数y＝kbx的图象一定经过（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、二、三象限D．第二、三、四象限
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）比较大小：3 （填写“＜”或“＞”）．
10．（3分）的平方根是 ．
11．（3分）已知点A（3，﹣4）、B（a，a+2），且直线AB平行于x轴，则a的值为 ．
12．（3分）如图，有一张直角三角形纸片△ABC，两直角边AC＝8，BC＝16，现将Rt△ABC折叠，使点B与点A重合，得到折痕MN，则△ACM的面积为 ．
13．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B是正比例函数y＝x图象上一动点，点C是y轴上一动点，则△ABC周长的最小值为 ．
15．（3分）2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．已知华氏温度F（℉）与摄氏温度c（℃）之间的关系满足如表：
若火星上的平均温度大约为﹣50℃，则此温度换算成华氏温度约为 ℉．
16．（3分）如图，已知直线a：y＝x，直线和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（6分）已知正数a的两个平方根分别是x﹣5和2x﹣1，与互为相反数，求a+2b的值．
19．（8分）（1）在下面的平面直角坐标系中画△ABC，使△ABC各顶点坐标分别为A（3，﹣1），B（﹣1，0），C（0，﹣3）；
（2）△ABC关于x轴的对称图形为△A1B1C1，则A1点坐标为 ，B1点坐标为 ，C1点坐标为 ．
20．（8分）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
21．（8分）阅读下列材料，解答相应的问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；；
．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简：＝ ．
（2）请直接写出的化简结果： ．
（3）计算：．
22．（8分）如图，已知函数y1＝x+5的图象与x轴交于点A，一次函数y2＝﹣2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点B，C，且与y1＝x+5的图象交于点D（m，4）．
（1）求m，b的值；
（2）若y1＞y2，则x的取值范围是 ；
（3）求四边形AOCD的面积．
23．（8分）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门．
若该班购买x千克肥料，按方案一购买的付款总金额为y1元，按方案二购买的付款总金额为y2元．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？
24．（10分）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120cm），得到如表：
（1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间x（h），纵轴表示箭尺读数y（cm），描出以表格中数据为坐标的各点，并连线；
（2）观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的 函数，请结合表格数据，求出该函数解析式；
（3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么当箭尺读数为81cm时是什么时候？
2024-2025学年山东省青岛市即墨区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．【分析】根据相反数的意义求解即可．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：A．
【点评】本题考查相反数，正确记忆在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数是解题关键．
2．【分析】依据勾股定理的逆定理进行判断即可．如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】解：A．因为0.12+0.12≠0.22，所以不能组成直角三角形，不合题意；
B．因为22+22≠42，所以不能组成直角三角形，不合题意；
C．因为62+82＝102，所以能组成直角三角形，符合题意；
D．因为（32）2+（42）2≠（52）2，所以不能组成直角三角形，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
3．【分析】分别根据二次根式的性质与化简，立方根的定义，二次根式的乘法，二次根式的加法对各选项进行计算即可．
【解答】解：A、（）2＝4，原计算错误，不符合题意；
B、＝﹣2，正确，符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
D、×＝＝2，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，立方根的定义，二次根式的乘法，二次根式的加法，熟知以上知识是解题的关键．
4．【分析】根据点的坐标的几何意义及点在第四象限内的坐标符号的特点解答即可．
【解答】解：∵点P在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3，4，
∴点P的横坐标是4，纵坐标是﹣3，即点P的坐标为（4，﹣3）．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
5．【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝5x﹣b的图象经过点（0，﹣3），
∴一次函数解析式为：y＝5x﹣3，
A、当x＝2时，y＝7≠1，故（2，1）不在直线上，不符合题意；
B、当x＝0时，y＝﹣3，故（0，3）不在直线上，不符合题意；
C、当x＝﹣3时，y＝﹣18≠0，故（﹣3，0）不在直线上，不符合题意；
D、当x＝1时，y＝2＝2，故（1，2）在直线上，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
6．【分析】直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案．
【解答】解：确定平面直角坐标系如图所示：
∴点C的坐标为（1，﹣1），
故选：C．
【点评】本题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．
7．【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x﹣1）尺，根据勾股定理可列出方程．
【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴102+（x﹣1）2＝x2，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
8．【分析】根据一次函数y＝kx+b（k≠0），函数值y随自变量x的增大而增大，可以得到k＞0，再根据图像可以得到b＜0，即可得出kb＜0，然后根据正比例函数的性质，即可得到函数y＝kbx的图象经过哪几个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0），函数值y随自变量x的增大而增大，
∴k＞0，
∵交y轴负半轴，
∴b＜0，
∴kb＜0
∴函数y＝kbx的图象经过二、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，正比例函数的性质及一次函数的图象，熟知以上知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．【分析】将3转化为，然后比较被开方数即可得到答案．
【解答】解：∵3＝，且9＞7，
∴3＞，
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法．（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
10．【分析】根据平方根、算术平方根的定义即可解决问题．
【解答】解：∵＝9，9的平方根是±3，
∴的平方根是±3．
故答案为±3．
【点评】本题考查算术平方根、平方根的定义，解题的关键是记住平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，属于基础题，中考常考题型．
11．【分析】根据平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等列出方程求解．
【解答】解：∵线段AB平行于x轴，
∴a+2＝﹣4，
解得a＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等的性质．
12．【分析】由Rt△ABC的两直角边AC＝8，BC＝16，可知∠C＝90°，由折叠得AM＝BM＝16﹣CM，则82+CM2＝（16﹣CM）2，求得CM＝6，则S△ACM＝AC•CM＝24，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵Rt△ABC中，两直角边AC＝8，BC＝16，
∴∠C＝90°，
由折叠得AM＝BM＝16﹣CM，
∵AC2+CM2＝AM2，
∴82+CM2＝（16﹣CM）2，
解得CM＝6，
∴S△ACM＝AC•CM＝×8×6＝24，
故答案为：24．
【点评】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，根据勾股定理正确地列出方程是解题的关键．
13．【分析】利用函数图象，x＝﹣2函数值为0，则于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2．
【解答】解：∵OA＝2，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
14．【分析】作A点关于直线y＝x的对称点P，关于y轴的对称点Q连接PQ交直线y＝x于B，交y轴于C，此时△ABC的周长最小，
【解答】解：作A点关于直线y＝x的对称点P，关于y轴的对称点Q，连接PQ交直线y＝x于B，交y轴于C，如图：
∵AC＝CQ，BP＝AB，
∴C△ABC＝AC+CB+AB＝CQ+CB+BP，
∵P、B、C、Q四点共线，
∴CQ+CB+BP最小，即△ABC周长最小，最小值为PQ的长度，
由A（1，2）知Q（﹣1，2），P（2，1），
∴PQ＝＝，
∴△ABC周长最小为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，勾股定理，轴对称确定最短路线问题，解题的关键是由对称性得到△ABC周长最小时的点B与点C的位置．
15．【分析】根据表格中“摄氏（单位℃）”与“华氏（单位℉）”之间的变化关系得出函数关系式，再将c＝﹣50℃代入计算即可．
【解答】解：由表格中两个变量的变化关系可得，
f＝32+18×＝32+1.8c，
当c＝﹣50时，f＝32+1.8×（﹣50）＝﹣58（℉），
故答案为：﹣58．
【点评】本题考查函数的表示方法，理解表格中两个变量的变化关系是正确解答的关键．
16．【分析】根据题意，求出P1、P5、P9的坐标，发现规律即可求得结果．
【解答】解：∵点P（1，0），P1在直线a：y＝x上，
∴P1（1，1），
∵P1P2∥x轴，
∴P2的纵坐标和P1的纵坐标相同，都是1，
∵P2在直线y＝﹣x上，
∴P2（﹣2，1），
同理，P3（﹣2，﹣2），P4（4，﹣2），P5（4，4），P6（﹣8，4），P7（﹣8，﹣8），P8（16，﹣8），P9（16，16），
以此类推，P4n+1（22n，22n）（其中n≥1，n为整数），
∴令4n+1＝2025，
∴n＝506，
∴P2025（21012，21012），
∴P2024的横坐标为21012，
∵P2024在直线y＝﹣x上，
∴P2024纵坐标为﹣×21012＝﹣21011，
∴P2024的坐标（21012，﹣21011）．
故答案为：（21012，﹣21011）．
【点评】本题考查了坐标的变化规律，解题的关键是通过一次函数的图象和性质，找到坐标变化的规律进行求解．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解；
（2）先计算二次根式的乘除，再计算减法，即可求解；
（3）根据平方差公式进行计算即可求解；
（4）根据完全平方公式、化简二次根式，进行计算即可求解．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝3﹣3
＝0；
（3）
＝7﹣3﹣4
＝0；
（4）
＝
＝9．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
18．【分析】利用平方根的意义求出a值，利用算术平方根的非负性和相反数的意义求出b值，将a，b值代入代数式计算即可．
【解答】解：∵正数a的两个平方根分别是x﹣5和2x﹣1，
∴x﹣5+2x﹣1＝0，
解得：x＝2，
∴x﹣5＝﹣3，2x﹣1＝3，
∴a＝9，
∵与互为相反数，
∴b﹣3＝3﹣b＝0，
∴b＝3，
∴a+2b＝9+2×3＝9+6＝15．
【点评】本题主要考查了平方根，非负数的性质：算术平方根，利用平方根的意义求出a值，利用相反数的意义求出b值是解题的关键．
19．【分析】（1）根据点A，B，C的坐标描点再连线即可．
（2）关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，
∴A1（3，1），B1（﹣1，0），C1（0，3）．
故答案为：（3，1）；（﹣1，0）；（0，3）．
【点评】本题考查作图—复杂作图、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
20．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
过点C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC•BC＝CD•AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240km，
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，
∵ED＝（km），
∴EF＝2ED＝200km，
∵台风的速度为25千米/小时，
∴200÷25＝8（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
21．【分析】（1）分子分母分别乘即可；
（2）分子分母分别乘即可；
（3）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并即可．
【解答】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）
＝
＝
＝．
【点评】考查二次根式的有理化．二次根式的混合运算，平方差公式，熟知以上知识是解题的关键．
22．【分析】（1）先由函数y1＝x+5，求出点A，点D的坐标，得到m的值；再将D点坐标代入y2＝﹣2x+b，求出b的值；
（2）根据函数图象，求出y1落在y2图象上方的部分对应的x的取值范围即可；
（3）先由y2＝﹣2x+2，求出B，C两点的坐标，再代入S四边形AOCD＝S△ABD﹣S△BOC计算即可．
【解答】解：（1）∵函数y1＝x+5的图象与x轴交于点A，
∴A（﹣5，0）．
∵y＝4时，m+5＝4，解得m＝﹣1，
∴D（﹣1，4）．
将D（﹣1，4）代入y2＝﹣2x+b，
得4＝﹣2×（﹣1）+b，
解得b＝2，
故m＝﹣1，b＝2；
（2）由图象可知，若y1＞y2，则x的取值范围是x＞﹣1．
故答案为x＞﹣1；
（3）∵一次函数y2＝﹣2x+2的图象分别与x轴、y轴交于点B，C，
∴B（1，0），C（0，2），
∴S四边形AOCD＝S△ABD﹣S△BOC
＝×6×4﹣×1×2
＝12﹣1
＝11．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合思想．
23．【分析】（1）分别根据“按方案一购买的付款总金额＝运费+肥料价格×购买肥料的数量”和“按方案二购买的付款总金额＝肥料价格×购买肥料的数量”写出y1，y2与x之间的函数关系式即可；
（2）令两个函数的函数值分别为180，求出对应x的值并比较大小即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，y1＝2.5x+15，y2＝3x．
答：y1与x之间的函数关系式为y1＝2.5x+15，y2与x之间的函数关系式为y2＝3x．
（2）当y1＝180时，得2.5x+15＝180，
解得x＝66；
当y2＝180时，得3x＝180，
解得x＝60；
66＞60．
答：该班选择方案一购买的肥料较多．
【点评】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式是解题的关键．
24．【分析】（1）描点并连线即可；
（2）根据一次函数的图象特征判断函数类型，并由待定系数法求出函数解析式；
（3）将y＝81代入y与x之间的函数解析式，求出对应x的值，并根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为81cm时的时间即可．
【解答】解：（1）描点并连线如图所示：
（2）观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的一次函数．
故答案为：一次．
设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将x＝0，y＝6和x＝2，y＝18分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y与x之间的函数解析式为y＝6x+6．
（3）当y＝81时，得6x+6＝81，
解得x＝12.5，
上午9：00经过12.5小时是21：30，即下午9：30．
答：当箭尺读数为81cm时是下午9：30．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的图象特征、待定系数法求函数关系式是解题的关键．
微氏（单位℃）
…
﹣10
0
10
20
30
…
华氏（单位℉）
…
14
32
50
68
86
…
方案
运费
肥料价格
方案一
15元
2.5元/kg
方案二
0元
3元/kg
供水时间x（h）
0
2
4
6
8
箭尺读数y（cm）
6
18
30
42
54