2023-2024学年陕西省西安市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年陕西省西安市九年级（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

计算：5-12=（ ）
A. 6 B.-6 C.7 D. -7
中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，平行线AB、CD被EF所截，过点B作BG⊥EF于点G，若∠1=50°，则∠B为( )
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
4.若（ ）×ab=2ab2，则括号内应填的单项式是( )
A. 2 B. 2a C. 2b D. 4b
5.在同一坐标系中，正比例函数y=kx与一次函数y=x-k的图像大致是( )
A. B. C. D.
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CF是AB边上的中线，DE是△ABC的中位线，若CF=6，则DE的长( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.如图所示“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺(1尺=10寸)，问径几何？”依题意，圆材半径为( )
第3题图
第6题图
第7题图
A. 252寸 B. 13寸 C. 25寸 D. 26寸
8.已知二次函数y=ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：则可求得的值是( )
A.8 B. -8 C. 4 D. -4
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
9.实数a、b在数轴上的位置如图所示，若无理数c满足b10.已知正多边形的边长为5，从其一个顶点出发共有3条对角线，则该正多边形的周长为______ ．
11.已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，
12.如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形且面积为4，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y=6x 的图象上，则点B的坐标为______．
第12题图
第9题图
第13题图
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△GEF，则GC的长的最小值是______．
三、解答题(共13小题，计81分.解答应写出过程）
14.（本小题5分）
15.（本小题5分）计算：- 27-(π3- 2)0+6cs30∘-(12)-1．
16.（本小题5分）解分式方程：x-8x-7-17-x=8
第17题图
第18题图
17.（本小题5分）三角形中，顶角等于36∘的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC中，AB=AC，且∠A=36∘．在边AC 上求作一点D，使△BDC是黄金三角形(保留作图痕迹，不写作法）．
18.（本小题5分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，请找出与△ABE全等的三角形，并证明．
19.（本小题5分）为传承中华优秀传统文化，深入挖掘中华经典诗词中所蕴含的民族正气、爱国情怀、道德品质和艺术魅力，引领诗词教育发展，我校举办诗词大赛，第一轮为经典诵读参赛者从《短歌行》《将进酒》《观沧海》《木兰辞》(分别用A、B、C、D表示)中随机抽取一首进行朗诵：第二轮为诗词讲解，参赛者从《蒹葭》《沁园春·雪》《念奴娇·赤壁怀古》(分别用E、F、G表示)中随机抽取一首进行讲解，小悦和晓歆都参加了诗词大赛．
(1)小悦第一轮抽到《将进酒》的概率是______．
(2)利用树状图或列表法，求晓歆第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的概率．
20.（本小题5分）现在是互联网时代，微商小王一次购进了一种时令水果200kg，前两天他以每千克高于进价40%的价格卖出150kg，第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价基础上打4折全部售出，最后他卖该种水果获得570元的利润.求这批水果的进价为多少元．
（本小题6分）校训是一个学校的灵魂，体现了一所学校的办学传统，代表着校园文化和教育理念，是人文精神的高度凝练，是学校历史和文化的积淀.小悦在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量学校教学楼上校训牌的高度AP，如图，她先在教学楼前的D处测得校训牌上端A处的仰角为∠1，然后她后退2m到达F处，又测得该校训牌下端P处的仰角为∠2，发现∠1与∠2恰好互余，已知教学楼的高AB=12m，BD=8.5m，小悦的眼睛离地面的距离CD=EF=1.5m，且A，P，B三点共线，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，校训牌的顶端与教学楼顶端平齐，请你根据以上信息帮助她求出校训牌的高度AP．
第21题图
第23题图
22.（本小题7分）小悦在阅读物理课外书时，了解到在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间满足一次函数关系.他通过实验验证了这个事实，他的测量结果如表所示：
(1)根据所测量的数据，求该弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式．
(2)小悦妈妈在市场买了6kg水果，小悦将该水果放在袋中(袋子的质量忽略不计)挂到该弹簧下(在弹性限度内)，并测得弹簧的长度为9.3cm.请你通过计算帮助小悦确定该市场老板的称是否足称．
23.（本小题7分）学期即将结束，白老师对自己任教的两个班(每个班均为40人)的数学成绩进行质量检测，并对成绩进行统计，得出相关统计表和统计图．其中，成绩均为整数，满分100分，成绩等级分为：优秀(80分及以上)，良好(70～79)，合格(60～69)，不合格(60分以下).(2)班中良好这一组学生的成绩分别是：70，71，73，73，73，74，76，77，78，79．
根据以上信息，回答下列问题，
(1)写出(2)班良好这一组成绩的中位数和众数；
(2)已知(1)班没有3人的成绩相同，则成绩是76分的学生，在哪个班的名次更好些？请说明理由；
(3)根据上述信息，推断______班整体成绩更好，并从两个不同角度说明推断的合理性．
第24题图
24.（本小题8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若AB=3，AC=4，求线段BD的长；
25（本小题8分）一个数学兴趣小组在上综合与实践课时发现：在大自然里，存在很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶子、刚生长出的幼苗的部分轮廓线，可以近似的看作由抛物线的一部分沿直线折叠而成，如图①与图②所示．

【问题发现】如图③，为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现心形叶子下部轮廓线可以看作是二次函数y=mx2-4mx-20m+5图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的表达式及顶点D的坐标．
【问题探究】如图③，心形叶片的对称轴直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，直线x=6分别交抛物线和直线AB于点E，F，点E、E'是叶片上的一对对称点，EE'交直线AB于点G.求叶片此处的宽度EE'的长．
【拓展应用】兴趣小组同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线也可以看作是二次函数y=mx2-4mx-20m+5图象的一部分，如图④，幼苗叶片下方轮廓线正好对应“问题发现”中的二次函数y=mx2-4mx-20m+5.若直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D'时，叶尖Q落在射线OP上(如图⑤所示).求此时一片幼苗叶子的长度和最大宽度．
26.（本小题10分）
问题提出：
（1）如图①，为等腰三角形，，，D是AB上一点，且CD平分的面积，则线段CD的长度为 ．
问题探究：
（2）如图②，中，，，试分析和判断的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
问题解决：
（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃ABCD，满足米，米，，，主办方打算过BC的中点M点（入口）修建一条径直的通道ME（宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形ABCD边上一点，通道ME把四边形ABCD分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道ME？若存在，请求出点A距出口的距离AE的长；若不存在，请说明理由．
2023-2024第一学期期末考试初三年级数学参考答案和评分标准
一、选择题（每小题3分，8小题，计24分）1.解：5-12=-7，选D
2.解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； 选D．
3.解：延长BG，交CD于H，
∵∠1=50°，
∴∠2=50°，
∵AB/​/CD，
∴∠B=∠BHD，
∵BG⊥EF，
∴∠FGH=90°，
∴∠B=∠BHD=90°-∠2
=90°-50°
=40°． 选：C．
4.解：∵2b×ab=2ab2，
∴括号内应填的单项式是2b， 选：C．
5.解：根据图象知：
A．k<0，-k<0.解集没有公共部分，所以不可能；
B．k<0，-k>0.解集有公共部分，所以有可能；
C．k>0，-k>0.解集没有公共部分，所以不可能；
D.正比例函数的图象不对，所以不可能． 选B．
6.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CF是AB边上的中线，
∴AB=2CF=12，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB=6， 选：D．
7.解：连接OA．
设圆的半径是x寸，在直角△OAE中，OA=x，OE=x-1，
∵OA2=OE2+AE2，
则x2=(x-1)2+25，
解得：x=13．
则圆材半径为13寸．
故选B．
8.解：∵当x=-1时，y=0，当x=2时，y=0，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，且-1，2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，
∴ca=-1×2=-2．
∵当x=3时，y=4，
∴当x=-2时，y=4，
∴ca(4a-2b+c)=-2×4=-8．选：B．
二、填空题（每小题3分，5小题，计15分）9.【答案】 2(答案不唯一)
10.【答案】30
解：∵过多边形的一个顶点共有3条对角线，
故该多边形边数为n-3=3，
∴n=6
∵这个正多边形的边长为5，
∴6×5=30
∴这个多边形的周长为30．故答案为：30．
11.【答案】85或811
解：∵菱形ABCD的边长是8，
∴AD=BC=8，AD//BC，
如图①：当E在线段AD上时，
∴AE=AD-DE=8-3=5，
可得△MAE∽△MCB，
∴MCAM=BCAE=85；
如图②，当E在AD的延长线上时，
∴AE=AD+DE=8+3=11，
∴△MAE∽△MCB，
∴MCAM=BCAE=811．
∴MCAM的值是85或811． 故答案为85或811．
12.【答案】(1,6)
解：∵正方形ADEF的面积为4，
∴AD=DE=EF=FA=2，
把y=2代入y=6x得：x=3，
∴E(3,2)，
OA=OD-AD=3-2=1，
把x=1代入y=6x得：y=6，
∴B(1,6)， 故答案为：(1,6)
13.【答案】(6) 10-1．
解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点G在线段CE上时，GC的长取最小值，如图所示．
根据折叠可知：GE=AE=12AB=1．
在Rt△BCE中，BE=12AB=1，BC=3，∠B=90°，
∴CE= BE2+BC2= 12+32= 10，
∴GC的最小值=CE-GE= 10-1．
故答案为 10-1．
14.解：(1)12x-13⩽23x-12， 分
去分母得：3x-2≤4x-3， 分
移项得：3x-4x≤-3+2， 分
合并同类项得：-x≤-1， 分
系数化为1得：x≥1； 分
15.解：(Ⅰ)- 27-(π3- 2)0+6cs30°-(12)-1
=-3 3-1+6× 32-2 分
=-3 3-1+3 3-2 分
=-3； 分
16.解：方程两边同时乘以最简公分母(x-7)，得
x-8+1=8(x-7)， 分
解得x=7， 分
检验，把x=7代入(x-7)=0，
∴x=7是增根， 分
∴原分式方程无解． 分
17.解：作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，如图所示：
（图对得4分）
则△BDC是黄金三角形为所求．分
18.解：△ADF和△ABE全等 分
证明：∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD
∴AE=AF， 分
在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=ADAE=AF
分
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)． 分
解：
(1)第一轮随机抽取一首诗词共有4种等可能的结果，其中抽到《将进酒》的结果有1种，
∴ P=14 ；故答案为： 14 ． 分
(2)列表如下：
分共有12种等可能的结果，其中晓歆第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》只有1种结果； 分
∴ P=112 ． 分
解：设这批水果的进价为x元，依题意得：
分
150(1+40%)x+(200-150)×40%×(1+40%)x-200x=570，
分
解得x=15， 分
答：这批水果的进价为15元． 分
解：延长EC交AB于点G，由题意得：
分
BG=CD=EF=1.5m，GC=BD=8.5m，CE=DF=2m，∠AGE=90°，
∴GE=GC+CE=10.5(m)， 分
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠GAC=90°，
∴∠2=∠GAC，
∵AB=12m，
∴AG=AB-GB=10.5(m)， 分
∴AG=GE，
∵∠AGC=∠EGP=90°，
∴△AGC≌△EGP(ASA)， 分
∴PG=CG=8.5m，
∴AP=AG-PG=10.5-8.5=2(m)，分
答：校训牌的高度AP为2m． 分
解：(1)设弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为y=kx+b，分
将(0,3)，(1,4)代入得，
b=3k+b=4， 分
解得k=1b=3，∴y=x+3； 分
(2)将y=9.3代入y=x+3得， 分
9.3=x+3，解得x=6.3， 分
∵6.3>6， 分
∴该市场老板的称足称． 分
解：(1)由题知(2)班良好这一组成绩的中位数是第 5 、 6 个数据的平均数，所以中位数 =73+742=73.5 ， 分
(2)班良好这一组成绩出现次数最多的是 73 ，所以众数是 73 ； 分
(2)成绩是 76 分的学生，在(2)班的名次更好，理由如下： 分
∵(1)班成绩的中位数是 76 ，(1)班没有 3 人的成绩相同，
∴(1)班成绩是 76 分的学生，名次最好可能是 19 名， 分
∵(2)班成绩是 76 分的学生，名次是 16 名，
∴成绩是 76 分的学生，在(2)班的名次更好；
分
(3)由题知：(2)班成绩的中位数是第 20 、 21 个数据的平均数，
所以(2)班成绩的中位数 =71+732=72 ，(2)班的优秀率 9+340×100％=30％ ， 分
∵76>72 ， 40％>30％ ，
∴(1)班成绩的中位数大于(2)班成绩的中位数，(1)班的优秀率大于(2)班的优秀率，
∴(1)班整体成绩更好．分
24.(1)证明：如图所示，连接OD，分
∵圆心O在BC上，
∴BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°， 分
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠DAC，
∵∠DOC=2∠DAC，
∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，分
∵PD/​/BC，
∴OD⊥PD，
∵OD为⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线； 分
(2)解：在Rt△ABC中，由勾股定理得BC= AB2+AC2=5， 分
∵∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴DB=DC， 分
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°， 分
在Rt△DBC中，DB2+DC2=BC2，即2DC2=BC2=25，
∴DC=DB=5 22； 分
解：（1）∵二次函数y=mx2-4mx-20m+5过原点，
∴-20m+5=0， 分
解得：m=14，
则抛物线的表达式为：y=14x2-x，分
则点D(2,-1)； 分
（2）在QD'上取点M，过点M作MN/​/y轴交抛物线于点N，交过点D'与x轴的平行线于点L，过点N作NS⊥QD'于点S， 分
由抛物线的表达式知，点D(2,-1)，
∵直线PD与水平线的夹角为45°，则直线PD的表达式为：y=-x+1，
联立y=14x2-x和y=-x+1得：14x2-x=-x+1，
解得：x=-2，即点P(-2,3)， 分
则点D'(2,3)，
将点D'的坐标代入y=mx2-4mx-20m+5得：3=4m-8m-20m+5，
解得：m=112，
则抛物线的表达式为：y=112x2-13x+103，
分
由点P的坐标得，直线OP的表达式为：y=-32x，
联立上述两式得：112x2-13x+103=-32x，
解得：x=-4或-10(舍去)，
即点Q(-4,6)，
由点Q、D'的坐标得，D'Q=3 5，yQD'=-12x+4，
即叶子的长度为3 5； 分
设点M(x,-12x+4)，则点N(x,112x2-13x+103)，
则MN=-12x+4-(112x2-13x+103)=-112(x+1)2+34≤34，
即MN的最大值为34，
由直线D'Q的表达式知，tan∠MD'L=12，
则tan∠NMS=2，则sin∠NMS=2 55，
则叶子的最大宽度=2NS=2×MN⋅sin∠NMS=3 55． 分
26.解：（1）如图①，
∵CD平分△ABC的面积，
∴AD＝DB，
∵AC＝BC＝8，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝60°，
∴CD＝ACcs∠ACD＝8cs60°＝4，
∴CD的长度为4， 分
（2）存在．如图②，
∵AB＝10，∠ACB＝120°都是定值，
∴点C在上，并且当点C在的中点时，△ABC的面积最大； 分
连接OC交AB于点D，则CD⊥AB，AD＝BD＝AB＝5，∠ACD＝∠ACB＝60°， 分
∴，＝分
∴＝，
答：△ABC的面积最大值是； 分（3）存在．如图③，连接DM，BD，分
∵M是BC的中点，
∴CM＝BC＝300，
∴CM＝CD，
又∵∠C＝60°，
∴△CMD是等边三角形，
∴∠MDC＝∠CMD＝60°，CM＝DM＝BM，
∴∠CBD＝∠MDB＝30°，
∴∠BDC＝90°，
∴BD＝CD•tan60°＝米，分
在△ABD中，米，∠A＝60°为定值，
由（2）可知当AB＝AD时，即△ABD为等边三角形时△ABD的面积最大，
此时也为四边形ABCD的最大值（△BDC的面积不变），
Smax＝S△BDC+S△BDA＝＝；分
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ADM＝∠ADB+∠BDM＝90°，
由，得：
＝，
解得：DE＝225，
∴AE＝AD﹣DE＝＝（米），
答：点A距出口的距离AE的长为米．分
-1
2
3
0
0
4
所挂物体质量x/kg
0
1
2
3
弹簧的长度y/cm
3
4
5
6
(1)班成绩数据
平均数
众数
中位数
优秀率
人数
79
84
76
40%
E
F
G
A
A,E
A,F
A,G
B
B,E
B,F
B,G
C
C,E
C,F
C,G
D
D,E
D,F
D,G