江西省宜春市丰城中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

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12． 13． 14．/
15．(1) (2)
【详解】（1）因为，所以，
整理得，解得或．
当时，，，符合题意，
当时，，，与重合，不满足题意．
综上，．
（2）由（1）得，，
所以两直线之间的距离为，而，
所以直线与均垂直，
由于，所以，
故直线方程为
16．(1) (2)
【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，
即圆心，，
所以，圆的方程为.
（2）因为直线被曲线截得弦长为，
则圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，解得.
17．(1) (2)
【详解】（1）由题意得解得，.
所以椭圆C的方程为.
（2）由得，，
设点，的坐标分别为，，则，.
所以，
又因为点到直线的距离，
所以的面积为.
18．(1)(2)证明见解析
【详解】（1）抛物线：的焦点为，
，解得，
故抛物线的标准方程为：；
（2）点的横坐标为，即，解得，
故点的坐标为，设，，
由已知设：，即，
代入抛物线的方程得，即，
则，故，
所以，
即，
设：，即，
同理可得，则，
即
直线的斜率，
所以直线的斜率为定值．
19．【小问1详解】
设点，由题意可知，
即，
经化简，得的方程为，
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．
【小问2详解】
设点，其中且，
（ⅰ）由（1）可知的方程为，
因为，所以，
因此，三点共线，且，
（法一）设直线的方程为，联立的方程，得，
则，
由（1）可知，
所以
，
所以为定值1；
（法二）设，则有，解得，
同理由，解得，
所以，
所以为定值1；
由椭圆定义，得，
，
解得，同理可得，
所以
．
因为，所以的周长为定值．
（ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，
根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且，
（法一）设直线的方程为，联立的方程，
得，
，（*）
因为，
所以
，
将（*）代入上式，化简得，
（法二）设，依条件有，解得，
同理由，解得，
所以．
由双曲线的定义，得，
根据，解得，
同理根据，解得，
所以
，
由内切圆性质可知，，
当时，（常数）．
因此，存在常数使得恒成立，且．
题号
1
2
3
4
5
6
8
9
10
答案
A
D
B
A
A
B
C
BCD
AD
题号
11








答案
BCD