备战2025年高考二轮复习数学专题突破练20 直线与圆（提升篇）（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题突破练20 直线与圆（提升篇）（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了故选D，已知直线l1，故选B，已知直线y=x+1与圆C，已知圆C1，已知圆C等内容，欢迎下载使用。

主干知识达标练
1.(2024辽宁大连一模)过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程为( )
A.x2+y2=4B.(x-2)2+y2=8
C.(x-1)2+y2=5D.(x-2)2+y2=10
答案D
解析设该圆圆心为(a,0),半径为r,则该圆方程为(x-a)2+y2=r2,把点(-1,1)和(1,3)代入,则有(-1-a)2+1=r2,(1-a)2+9=r2,解得a=2,r=10,故该圆方程为(x-2)2+y2=10.故选D.
2.(2024河北保定模拟)已知直线l1:ax+2y+b=0与直线l2:bx-y+a=0垂直,则a2+b2的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
答案B
解析因为直线l1:ax+2y+b=0与直线l2:bx-y+a=0垂直,
所以ab-2×1=0,即ab=2,所以a2+b2≥2ab=4,
当且仅当a=b=2或a=b=-2时等号成立.
即a2+b2的最小值为4.故选B.
3.(2024辽宁抚顺三模)已知直线y=x+1与圆C:x2+y2=5相交于M,N两点,O为坐标原点,则△MON的面积为( )
A.32B.2C.52D.4
答案A
解析设点O到直线MN的距离为d,则d=|0-0+1|2=22,又|MN|=25-(12) 2=62=32,所以S△MON=12×32×22=32.故选A.
4.(2024江苏海安模拟)已知直线3x+4y-4=0与圆C相切于点T(0,1),圆心C在直线x-y=0上,则圆C的方程为( )
A.(x-3)2+(y-3)2=13
B.(x-3)2+(y+3)2=25
C.(x+3)2+(y-3)2=13
D.(x+3)2+(y+3)2=25
答案D
解析由题意,设C(a,a)(a≠0),圆C的半径为r,所以kCT=a-1a=43,解得a=-3,
所以圆心C(-3,-3),半径r=|CT|=(-3-0)2+(-3-1)2=5,所以圆C的方程为(x+3)2+(y+3)2=25.故选D.
5.(2024山东聊城二模)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=4恰有一条公切线,则下列直线一定不经过点(a,b)的是( )
A.2x+y-2=0B.2x-y+2=0
C.x+y-2=0D.x-y+2=0
答案D
解析由题可得,圆C1:x2+y2=1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=4的圆心C2(a,b),半径r2=2,且两圆内切,所以|C1C2|=|r1-r2|,即a2+b2=1,表示以(0,0)为圆心,1为半径的圆.
圆心(0,0)到直线2x+y-2=0的距离为|0+0-2|5=105<1,则该直线一定过点(a,b),故A错误;
圆心(0,0)到直线2x-y+2=0的距离为|0-0+2|5=255<1,则该直线一定过点(a,b),故B错误;
圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离为|0+0-2|2=1,则该直线过点(a,b),故C错误;
圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离为|0-0+2|2=2>1,则该直线不过点(a,b),故D正确.故选D.
6.(多选题)(2024河北沧州模拟)已知圆C1:x2+y2-2x-2y-2=0,圆C2:x2+y2-8x-10y+32=0,则下列选项正确的是( )
A.直线C1C2的方程为4x-3y-1=0
B.圆C1和圆C2共有4条公切线
C.若P,Q分别是圆C1和圆C2上的动点,则|PQ|的最大值为10
D.经过点C1,C2的所有圆中面积最小的圆的面积为254π
答案ACD
解析由题意得,圆C1:(x-1)2+(y-1)2=4,圆心C1(1,1),半径r1=2,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9,圆心C2(4,5),半径r2=3,由直线方程的两点式可得直线C1C2的方程为y-15-1=x-14-1,即4x-3y-1=0,所以A正确;
因为|C1C2|=(4-1)2+(5-1)2=5且r1+r2=2+3=5,所以|C1C2|=r1+r2,所以圆C1与圆C2外切,所以两圆的公切线共有3条,所以B错误;
因为|C1C2|=5,所以|PQ|的最大值为|C1C2|+r1+r2=10,所以C正确;
当|C1C2|为圆的直径时,该圆在经过点C1,C2的所有圆中面积最小,此时圆的面积为π522=254π,所以D正确.故选ACD.
7.数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(1,3),B(2,4),C(3,2),则△ABC的欧拉线方程是( )
A.x-y+1=0B.x-y+3=0
C.x+y-5=0D.3x+y-9=0
答案C
解析由已知得,△ABC的重心为G(2,3),直线AB的斜率为3-41-2=1,则AB边上高所在的直线斜率为-1,则方程为y=-x+5,直线AC的斜率为3-21-3=-12,则AC边上高所在的直线斜率为2,则方程为y=2x.
联立y=-x+5,y=2x,可得△ABC的垂心为H53,103.则直线GH的斜率为3-1032-53=-1,则可得直线GH的方程为y-3=-(x-2),故△ABC的欧拉线方程为x+y-5=0.故选C.
8.(多选题)(2024湖北荆州模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,则下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点(3,1)
B.直线l被圆C截得的弦最长时,m=-13
C.直线l被圆C截得的弦最短时,m=-34
D.直线l被圆C截得的弦最短弦长为25
答案ABC
解析由题得,圆心C(1,2),半径r=5.
直线l的方程可化为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,令2x+y-7=0,x+y-4=0,解得x=3,y=1,所以直线恒过定点P(3,1),故A正确;
因为(3-1)2+(1-2)2=5<25,即点P(3,1)在圆C内,当直线l过圆心C时,直线被圆截得的弦长最长,将圆心C代入直线l,此时2m+1+2(m+1)-7m-4=0,解得m=-13,故B正确;
当直线l⊥CP时,直线被圆截得的弦长最短,直线l的斜率为k=-2m+1m+1(m≠-1),kCP=1-23-1=-12,由-2m+1m+1×-12=-1,解得m=-34,此时直线l的方程是2x-y-5=0,故C正确;如图,设l与圆C交于A,B两点,圆心C(1,2)到直线2x-y-5=0的距离为d=|2-2-5|5=5,可得|AP|=|BP|=r2-d2=25-5=25,所以最短弦长|AB|=2|AP|=45,故D错误.故选ABC.
9.(5分)(2024湖南怀化模拟)如图,已知两点A(22,0),B(0,11),从点P(2,0)射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上,最后经直线OB上的点N反射后又回到点P,则直线MN的一般式方程为 .
答案4x-3y+8=0
解析由题意知AB所在的直线方程为x22+y11=1,化简可得x+2y-22=0.
设点P(2,0)关于直线AB:x+2y-22=0的对称点P1(a,b),
则b-0a-2×(-12)=-1,a+22+2×b+02-22=0,解得a=10,b=16,所以点P关于直线AB对称的点为P1(10,16),点P关于y轴对称的点为P2(-2,0).
直线MN即直线P1P2,则直线MN的方程为y=1610+2(x+2),化成一般式:4x-3y+8=0.
10.(5分)(2024浙江杭州二模)写出与圆x2+y2=1相切且方向向量为v=(1,3)的一条直线的方程: .
答案y=3x+2或y=3x-2(写出一个即可)
解析因为切线的方向向量为v=(1,3),所以切线的斜率为3,故可设切线方程为y=3x+b,因为直线y=3x+b与圆x2+y2=1相切,又圆x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1,圆心(0,0)到直线y=3x+b的距离等于圆的半径,即|3×0-0+b|(3)2+(-1)2=|b|2=1,解得b=2或b=-2,所以符合条件的直线为y=3x+2或y=3x-2.
11.(5分)(2024山东烟台一模)若圆(x-m)2+(y-1)2=1关于直线y=x对称的圆恰好过点(0,4),则实数m的值为 .
答案4
解析点(0,4)关于直线y=x的对称点为(4,0),由题可知点(4,0)在圆(x-m)2+(y-1)2=1上,则(4-m)2+(0-1)2=1,解得m=4,所以实数m的值为4.
12.(5分)(2024陕西安康模拟)已知直线l1:2x+y-6=0与l2:2x+y+4=0均与圆M相切,点(2,2)在圆M上,则圆M的方程为 .
答案x2+(y-1)2=5
解析由于直线l1:2x+y-6=0与l2:2x+y+4=0平行,且均与圆M相切,所以两平行直线之间的距离为圆M的直径,即2r=1012+22⇒r=5,又圆M上一点(2,2)也在直线l1:2x+y-6=0上,所以(2,2)为l1与圆M的切点,故过点(2,2)且与l1:2x+y-6=0垂直的直线方程为y=12(x-2)+2,联立y=12(x-2)+2,2x+y+4=0⇒x=-2,y=0,所以l2:2x+y+4=0与圆M相切于点(-2,0),故圆心为(2,2)与(-2,0)的中点,即圆心为(0,1),故圆M的方程为x2+(y-1)2=5.
关键能力提升练
13.(2024江苏苏锡常镇一模)莱莫恩(Lemine)定理指出:过△ABC的三个顶点A,B,C作它的外接圆的切线,分别和BC,CA,AB所在直线交于点P,Q,R,则P,Q,R三点共线,这条直线被称为三角形的Lemine线.在平面直角坐标系xOy中,若三角形的三个顶点坐标分别为A(0,1),B(2,0),C(0,-4),则该三角形的Lemine线的方程为( )
A.2x-3y-2=0B.2x+3y-8=0
C.3x+2y-22=0D.2x-3y-32=0
答案B
解析设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∴1+E+F=0,4+2D+F=0,16-4E+F=0,解得D=0,E=3,F=-4,
∴△ABC外接圆方程为x2+y2+3y-4=0,即x2+y+322=254,易知外接圆在点A处的切线方程为y=1,
又直线BC:x2+y-4=1,令y=1,得x=52,∴P52,1,外接圆在C(0,-4)处切线方程为y=-4,又直线AB:x2+y=1,令y=-4得x=10,∴R(10,-4),则△ABC的Lemine线的方程为y+41+4=x-1052-10,即2x+3y-8=0.故选B.
14.(2024山西太原模拟)已知O是坐标原点,若圆C:x2+y2+2x-4y+a=0上有且仅有2个点到直线l:2x-y-1=0的距离为2,则实数a的取值范围为( )
A.(-4-45,45-4)B.[-4-45,45-4]
C.(-2-25,25-2)D.[-2-25,25-2]
答案A
解析由题知,圆心C(-1,2),半径r=5-a.
圆心C到直线l的距离d=|2×(-1)-2-1|22+12=5.
联立圆C与直线l的方程,消去y整理得5x2-10x+5+a=0,若l与圆C有交点,则Δ=-2a≥0,解得a≤0.
此时直线l应满足5-a-5<2,解得a>-4-45.
所以-4-450,即0综上,实数a的取值范围为(-4-45,45-4).故选A.
15.(2024湖北省八市联考)设直线l:x+y-1=0,一束光线从原点O出发沿射线y=kx(x≥0)向直线l射出,经l反射后与x轴交于点M,再次经x轴反射后与y轴交于点N.若|MN|=136,则k的值为( )
A.32B.23C.12D.2
答案B
解析如图,设点O关于直线l的对称点为A(x1,y1),
则x12+y12-1=0,y1x1×(-1)=-1,
得x1=1,y1=1,即A(1,1).
由题意知y=kx(x≥0)与直线l不平行,故k≠-1,联立y=kx,x+y-1=0,得x=1k+1,y=kk+1,即P1k+1,kk+1,故直线AP的斜率为kAP=kk+1-11k+1-1=1k,直线AP的方程为y-1=1k(x-1),令y=0得x=1-k,故M(1-k,0),令x=0得y=1-1k,故由对称性可得N0,1k-1,由|MN|=136,得(1-k)2+1k-12=1336,即k+1k2-2k+1k=1336,解得k+1k=136,得k=23或k=32,若k=32,则第二次反射后光线不会与y轴相交,故不符合条件.
经验证k=23符合条件.故k=23.故选B.
16.(多选题)(2024湖南邵阳一模)设点P(x,y)为圆C:x2+y2=1上一点,已知点A(4,0),B(5,0),则下列结论正确的有( )
A.x+y的最大值为2
B.x2+y2-4x-4y的最小值为8
C.存在点P使|PB|=2|PA|
D.过A点作圆C的切线,则切线长为15
答案AD
解析设x+y=t,t∈R,即x+y-t=0,由|0+0-t|2≤1得-2≤t≤2,所以t的最大值是2,所以A正确;
x2+y2-4x-4y=(x-2)2+(y-2)2+8,当x=2且y=2时,x2+y2-4x-4y取得最小值8,但x2+y2=1时,-1≤x≤1且-1≤y≤1,因此上述最小值取不到,所以B错误;
由|PB|=2|PA|得(x-5)2+y2=2·(x-4)2+y2,整理得(x-3)2+y2=2,因此满足|PB|=2|PA|的点P在圆(x-3)2+y2=2上,此圆圆心为(3,0),半径为2,而2+1<3,因此它与圆C外离,所以圆C上不存在点P使|PB|=2|PA|,所以C错误;
圆C的圆心为C(0,0),半径为r=1,则过A点作圆C的切线的切线长为|AC|2-r2=42-12=15,D正确.故选AD.
17.(2023新高考Ⅰ,6)过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=( )
A.1B.154C.104D.64
答案B
解析由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,故圆心C(2,0),半径R=5.
如图,过点D(0,-2)作圆的切线,与圆的两个切点为A,B,连接AC,BC,CD,AB,则AB⊥CD,∠CAD=∠CBD=π2,∠ADC=∠BDC=α2,
由几何知识得,|BC|=|AC|=5,|CD|=(0-2)2+(-2-0)2=22.
由勾股定理得,|AD|=|BD|=|CD|2-R2=3.
(方法一)在Rt△CDB中,csα2=|BD||CD|=322=64,sinα2=|BC||CD|=522=104,sin α=2sinα2csα2=2×104×64=154.
(方法二)由CA⊥DA,∠CDA=∠CDB,可知AB⊥DC,四边形ACBD的面积为12×AB×CD=BD×CB,得AB=302.
在△ADB中,由余弦定理可得cs α=-14,所以sin α=154.故选B.
18.(5分)(2024广东汕头模拟)已知直线l:(m+2)x-(m+1)y-1=0与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,则|AB|的最小值为 .
答案22
解析将直线l的方程变形为m(x-y)+2x-y-1=0,令x-y=0,2x-y-1=0,解得x=1,y=1,所以直线l过定点(1,1),又12+12<4,所以该定点在圆O:x2+y2=4内,由圆O:x2+y2=4可得圆心O(0,0),半径r=2,当圆心O与定点(1,1)的连线垂直于AB时,|AB|取得最小值,圆心O(0,0)与定点(1,1)的距离为d=12+12=2,则|AB|的最小值为2r2-d2=24-2=22.
19.(5分)(2024广东湛江一模)已知点P为直线x-y-3=0上的动点,过点P作圆O:x2+y2=3的两条切线,切点分别为A,B,若点M为圆E:(x+2)2+(y-3)2=4上的动点,则点M到直线AB的距离的最大值为 .
答案7
解析设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则满足x0-y0-3=0,x12+y12=3,x22+y22=3;易知圆O:x2+y2=3的圆心为O(0,0),半径r=3;圆E:(x+2)2+(y-3)2=4的圆心为E(-2,3),半径R=2,如图.
易知OA⊥PA,OB⊥PB,所以OA·PA=0,即x1(x1-x0)+y1(y1-y0)=0,整理可得x1x0+y1y0-3=0;
同理可得x2x0+y2y0-3=0,
即A(x1,y1),B(x2,y2)是方程x0x+y0y-3=0的两组解,可得直线AB的方程为x0x+y0y-3=0,与x0-y0-3=0联立,即x0(x+y)-3y-3=0.
令x+y=0,-3y-3=0,可得x=1,y=-1,所以直线AB恒过定点Q(1,-1),可得|QE|=(-2-1)2+(3+1)2=5.
又Q在圆O内,当AB⊥QE,且点M为QE的延长线与圆E的交点时,点M到直线AB的距离最大,最大值为|QE|+R=5+2=7.
核心素养创新练
20.(多选题)(2024广东汕头一模)如图,OA是连接河岸AB与OC的一座古桥,因保护古迹与发展的需要,现规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:
①新桥BC与河岸AB垂直;
②保护区的边界为一个圆,该圆与BC相切,且圆心M在线段OA上;
③古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.
经测量,点A,C分别位于点O正北方向60 m、正东方向170 m处,tan∠BCO=43.
根据图中所给的平面直角坐标系,下列结论中,正确的是( )
A.新桥BC的长为150 m
B.圆心M可以在点A处
C.圆心M到点O的距离至多为35 m
D.当OM长为20 m时,圆形保护区的面积最大
答案AC
解析如图,以OC,OA所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则C(170,0),A(0,60),
依题意,直线BC的斜率kBC=-43,直线BC方程为y=-43(x-170),直线AB的斜率kAB=-1kBC=34,则直线AB方程为y=34x+60,联立y=-43(x-170),y=34x+60,解得x=80,y=120,
即B(80,120),
|BC|=(80-170)2+1202=150,所以A正确;
设OM=t,即M(0,t)(0≤t≤60),直线BC的一般方程为4x+3y-680=0,
圆M的半径为r=|3t-680|5,显然r-t≥80,r-(60-t)≥80,由0≤t≤60,得r=136-35t,
则136-35t-t≥80,136-35t-(60-t)≥80,解得10≤t≤35,即OM长的范围是10≤|OM|≤35,所以B错误,C正确;
当t=10,即OM长为10 m时,圆M的半径r最大,圆形保护区的面积最大,所以D错误.故选AC.