江西省余干县黄金埠中学2024-2025学年高二上学期十一月月考数学测试卷

这是一份江西省余干县黄金埠中学2024-2025学年高二上学期十一月月考数学测试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知圆的方程为，直线与圆相交于两点，若(为坐标原点)，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则的值等于（ ）
A．3B．5C．8D．5或3
3．已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在长方体中，，，，一质点从顶点射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为（），，将线段，，，竖直放置在同一水平线上，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知正四面体的棱长为6，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（ ）
A．B．4C．6D．
6．甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有（ ）
A．36种B．72种C．144种D．288种
7．在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
8．“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是.最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是.他说谎的概率是（ ）
A．0.1B．0.9C．0.05D．0.14
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C为椭圆
B．若，则曲线C为双曲线
C．若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2
D．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1
10．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ）
A．在中点时，平面平面
B．异面直线所成角的余弦值为
C．不在同一个球面上
D．若，则点轨迹长度为
11．传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（ ）
A．7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840
B．7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720
C．7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480
D．7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知直线，，若，则实数 .
13．已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得的部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是 .
14．已知随机变量服从二项分布，若，，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（13分）已知点在圆上．
(1)求该圆的圆心坐标及半径长；
(2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长．
16．（15分）已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，过点作斜率之积为的两条直线与椭圆的另一交点分别为．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线恒过定点．
17．（17分）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点.
(1)若，求的值；
(2)求的值.
18．（15分）已知的二项式系数之和为4096．
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大项．
19．（17分）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体.
(1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少?
(2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望.
(3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据：若，则：；；.
数学参考答案：
1．C
【分析】将圆的方程与直线方程联立，设Mx1,y1、 Nx2,y2，利用可得 ，利用韦达定理，即可求出.
【详解】由，得，
则，即，
联立，得，
设Mx1,y1，Nx2,y2，则，，
则，
因为，所以，
则，即，解得.
故选：C.
2．B
【分析】根据椭圆焦距的计算列式得出答案.
【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，焦距为2，
则，即，
所以，即.
故选：B.
3．D
【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程.
【详解】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为，
由消去得，，由弦的中点为，
得，此时方程有两个不等实根，
所以直线的方程为，即.
故选：D
4．D
【分析】依次求出各反射点的坐标，利用空间两点之间的距离公式求出线段，，，的长度即可.
【详解】直线的方程为：，
交平面于点，所以；
直线被平面反射，
反射线方程为：，
交平面于点，
所以；
直线被平面反射，反射线方程为：，
交平面于点，
所以；
直线被平面反射，反射线方程为：
交平面于点，
所以.
所以.
故选：D
【点睛】关键点点睛：因为直线是与长方体的各个面相交，所以时刻要注意条件.
5．D
【分析】对结合化简得，从而可知点在平面内，所以当平面时，最小，从而可求得结果.
【详解】
因为，，
所以，
，
所以，
所以，
因为不共线，所以共面，
所以点在平面内，
所以当平面时，最小，
取的中点，连接，则点在上，
且，
所以，
即的最小值为.
故选：D
6．C
【分析】由排列数的计算公式，结合分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果.
【详解】第一步从6个位置中选择2个位置，满足条件的选位可以是，
共有3种不同的方法；
第二步将甲、乙排到所选择的2个位置，共有种不同的方法；
第三步将丙、丁、戊、己排到剩余的4个位置，共有种不同的方法；
由分步计数原理可知，共有种．
故选：C
7．A
【分析】先由二项式系数公式求出n，再由二项式展开式定理即可得解.
【详解】由题得，
所以二项式的展开式的项数是.
故选：A.
8．D
【分析】利用全概率公式直接求得结果.
【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”，
则，，，，
所以，
故选：D
9．BCD
【分析】根据曲线所表示的图形求出对应的参数的取值范围，可判断AB选项的正误；求出椭圆长轴长的表达式，可判断C选项的正误；利用双曲线的离心率公式可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若为椭圆，则，A不正确；
对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确；
对于C选项，当时，椭圆长轴长，
当时，椭圆长轴长，C正确；
对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得，
双曲线的离心率为，
且双曲线的离心率，故D正确.
故选：BCD.
10．AD
【分析】根据正方体图像特征证明面，结合面面垂直的判定定理判断A；根据异面直线所成的角判断B错误；根据五点共圆得到C；分析可知点轨迹是过点与平行的线段，根据轨迹求出长度得到D.
【详解】对于选项A：取的中点，连接，
在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，
易知平面在面内，
所以面面，
所以面面，所以，
连接是正方形，，
因为面面，所以，
因为面面，
所以面，因为面，所以，
综上，面面，又，
所以面面，故平面平面，故A正确；
对于选项B：取的中点，连接，则，
所以是异面直线所成的角，
又，则，故B错误；
对于选项C：记正方体的中心为点，则，
所以在以为球心，以为半径的球面上，故C不正确；
对于选项D：因为，且为的中点，
所以，故，
所以点轨迹是过点与平行的线段，且，
所以，故D正确.
故选：AD
11．AD
【分析】A先从7个位置中选3个排小明等3人，随后排列剩下4人，可得排法总数；
B将小明，小红两人捆绑为1人，随后与剩下5人一起排列，可得排法总数；
C先排剩下5人，随后将小明小红排进5人的空隙中，可得排法总数；
D先将7人按2+2+3形式分为3组，再给每组安排训练，可得安排总数.
【详解】A选项，先从7个位置中选3个排小明等3人，有种方法，
随后排列剩下4人，有种方法，则共有种方法，故A正确；
B选项，将小明，小红两人捆绑为1人，有2种排列方法，随后与剩下5人一起排列，
有种方法，则共有种方法，故B错误；
C选项，先排剩下5人，有种方法，再将小明小红排进5人产生的6个空隙中，
有种方法，则共有种方法，故C错误；
D选项，由题分组情况为2人的2组，3人的一组，则有种方法，
随后安排训练，有种方法，则共有种方法，故D正确.
故选：AD
12．或
【分析】根据给定条件，利用直线垂直的充要条件列式计算即得.
【详解】直线，，由，得，
所以或.
故答案为：或
13．2
【分析】由椭圆的定义，可得焦半径的和，整理所求差值为函数，利用分类讨论并结合图象，可得答案.
【详解】由椭圆，则，，
易知为椭圆的左右焦点，
由为椭圆上的点，则，可得，
所以，联立，解得，
当时，取得最小值，则取得最小值
如下图：
；
当时，取得最大值，则取得最大值，如下图：
.
所以的最大值与最小值的比值为.
故答案为：.
14．9
【分析】根据二项分布的期望、方差公式，即可求得答案.
【详解】由题意知随机变量服从二项分布，，，
则，即得，
故答案为：9
15．(1)圆心坐标为，半径长为
(2)
【分析】（1）先根据点在圆上求出参数，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径；
（2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解.
【详解】（1）因为点在圆上，
所以，解得，
所以该圆的标准方程为，
所以该圆的圆心坐标为，半径长为；
（2）因为直线过点，斜率为，
所以直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以.
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率以及顶点坐标即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，即可根据两点斜率公式化简得，即可求解.
【详解】（1）由题意知：，
故椭圆的标准方程为：．
（2）由题意可知，直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：
．联立：
所以
由
即（舍去）或
所以直线的恒过一定点．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为,则直线过定点;
若直线方程为 (为定值),则直线过定点
17．(1)，，；
(2)
【分析】（1）先根据空间向量得线性运算将用表示，再根据空间向量基本定理即可得解；
（2）先利用余弦定理求出，再根据数量积的运算律即可得解.
【详解】（1）
，
又，
∴，，；
（2）由余弦定理得，
易知；
故
，
∴．
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用二项式系数可得，求得，进而求得展开式的通项为，根据题意得，可求得展开式的常数项；
（2）设展开式第项的系数最大，得出不等式组，可求得系数最大的项.
【详解】（1）因为的二项式系数之和为4096．
所以，解得，
所以二项式展开式的通项为，
令，解得，所以展开式的常数项为.
（2）设展开式中第项的系数最大，
则，可得，解得，
因为，所以，所以系数最大的项为.
19．(1)分；
(2)5；
(3)分布列详见解析；
【分析】（1）利用正态分布的对称性和正态曲线的原则，即可求得该校预期的平均成绩；
（2）利用二项分布即可求得随机变量的期望；
（3）先求得随机变量X的各个可能取值对应的概率，进而得到随机变量X的分布列，再利用数学期望的定义即可求得随机变量X的数学期望.
【详解】（1）由，
又的近似值为76.5，的近似值为5.5，
所以该校预期的平均成绩大约是（分）
（2）由，可得，
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人，
该学生笔试成绩高于76.5的概率为
所以随机变量服从二项分布，故
（3）X的可能取值为，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为
所以
X
0
1
2
3
4
P