备战 2025 上海高考数学模拟卷三

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．． 2． 3． 4． 5．45 6．
7．， 8．673 9． 10． 11． 12．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13． 14． 15． 16．
三．解答题（共5小题，满分46分）
17．（14分）解：（1）由余弦定理得，
因为，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
因为，
所以，
所以的最大值为；分
（2）因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以由正弦定理得，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
由（1）知，所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
即的取值范围为．分
18．（14分）（1）证明：连接，交于，连接，
在正方形中，可得为，的中点，为的中点，
在中，可得，
又因为平面，平面，
所以平面；分
（2）解：因为平面，
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为，则，0，，，0，，，4，，，4，，设，0，，
则，4，，，则，0，，
所以，，，，0，，因为，所以，即，解得，
可得，0，，，，，，0，，，0，，，4，，
设，，，
点为线段上，，即，，，，，，，
所以，即，，，
即，，，所以，，，
设平面的法向量为，，，，0，，，4，，
则，即，令，
可得，，，
所以，，．
所以，，
设直线与平面所成的角为，且，，
，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
分
19．（14分）解：（1）方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率的概率为．
由题可知：，
则．
方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，所以． 分
（2）（ⅰ）由题可得的值分别为4000，4500，5000，5500，6000．
，，
，
，，
所以，
取最大值的条件为
所以分布列为：
．分
（ⅱ）解：由题可得，所以，
化简得，即是等比数列，首项为，公比为，
所以，化简得
由题可知：
（1）由题可知：，显然对所有都成立；
（2），也是对所有都成立；
（3）
当为偶数时，上述不等式恒成立；
当为奇数时，，解得即
综上所述，的最小值为5．分
20．（16分）解：（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为．分
（2）设直线的方程为，
联立，得：，△，
设，，，，则，，分
所以
，
同理可得，分
则，
当且仅当，即时取等号．
所以四边形的面积的最小值为．分
21．（18分）解：（1）由题意，得，，得，，，即不动点为0，2，； 分
（2）证明：当时，，，故0为函数的一个不动点，
当时，求的解，即求的解，
令，，求导得，
当时，，，则，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
即对任意，，恒成立，
即对任意，，恒成立，
综上所述，函数恰有一个不动点，为；分
（3）证明：设，则函数有唯一不动点，
由，可得，
则函数的不动点不唯一，必要性不成立，
另一方面，先证不动点是存在的，
不妨设是的唯一不动点，即，
令，则，那么，，
而，故，这说明是的不动点，
由只有一个不动点知，，
从而，这说明是的不动点，存在性得证；
再证唯一性，若还有另一个不动点，即，
则，
这说明还有另一个不动点，与题设矛盾，
综上所述，函数有唯一不动点的充分非必要条件是函数有唯一不动点．
分4000
4500
5000
5500
6000
0.16
0.24
0.33
0.18
0.09